2021学年第十章 概率10.2 事件的相互独立性学案设计

10.2　事件的相互独立性

【学习目标】

【自主学习】

一．相互独立事件的定义

对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝          成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

二．相互独立事件的性质

当事件A，B相互独立时，则事件     与事件     相互独立，事件      与事件     相互独立，事件       与事件       相互独立.

三．相互独立事件与互斥事件的概率计算

【小试牛刀】

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(　　)

(2)必然事件与任何一个事件相互独立．(　　)

(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　　)

(4)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立． (　　)

【经典例题】

题型一  相互独立事件的判断

点拨：两种方法判断两事件是否具有独立性

(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.

(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.

例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件．

(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．

【跟踪训练】1 坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)

A．互斥事件　  　　B．相互独立事件      C．对立事件 D．不相互独立事件

题型二　相互独立事件的概率计算

点拨：用相互独立事件的乘法公式解题的步骤

1.用恰当的字母表示题中有关事件,

2. 分析事件间的关系，明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义；

3.将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和；

4.利用乘法公式计算概率.

例2 在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.

(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；

(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．

【跟踪训练】2 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　 　)

A.　　　　　　　　B.         C.     D.

题型三　相互独立事件概率的综合应用

例3 某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．

【跟踪训练】3 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？

【当堂达标】

1.下列事件A，B是相互独立事件的是(　　)

A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”

B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”

C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”

D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时”

2.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为(　　)

A．0.42  B．0.12  C．0.18  D．0.28

3.甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

4.在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：

(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为________；

(2)至少有一个气象台预报准确的概率为________．

5.已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P( )＝________．

6.小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：

(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．

【课堂小结】

1.相互独立事件与互斥事件的区别

2.概率问题中的数学思想

(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．

(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．

【参考答案】

【自主学习】

P(A)P(B)   A         B       

【小试牛刀】

(1)√　(2)√　(3)√  (4)×

【经典例题】

例1 解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

(2)前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

(3)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现3点或6点”，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，

∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.∴P(A∩B)＝P(A)P(B)，

∴事件A与B相互独立．

【跟踪训练】1 D 解析：由于事件A1是否发生对事件A2发生的概率有影响，所以A1与A2是不相互独立事件．

例2 解： (1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝××＝.

(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B ∪C，

则P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝.

【跟踪训练】2 B 解析：设T＝“A与B中至少有一个不闭合”，R＝“E与F至少有一个不闭合”，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率为P＝1－P(T)P(R)P()P()＝1－×××＝，故选B.

例3 解： (1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，.

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.

(2)P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，  P(ξ＝6)＝×＋×＝.

【跟踪训练】3 解：记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，

则P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，

电路不发生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一个正常工作，T2，T3至少有一个正常工作的概率P1＝1－×＝，所以整个电路不发生故障的概率为P＝P(A)×P1＝×＝.

【当堂达标】

1.A

2.B 解析：所求概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，故选B.

3.C 解析：两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

4.(1)　(2)　

解析：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B．

(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.]

5. 　 解析：因为P(A)＝，P(B)＝.所以P()＝，P()＝.

所以P(A )＝P(A)P()＝×＝，P( )＝P()P()＝×＝.

6. 解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．

则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.

(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为

P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()

＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.

(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为

P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.