人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念综合训练题

6.1平面向量的概念同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若  且，则四边形ABCD的形状为   

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形

2. 已知，是单位向量，，若，则

A. 3 B.  C.  D.

3. 设、、是平面内的非零向量，则下列说法中正确是

A.  B.
C. 若，则 D. 若，则

4. 下列说法正确的是     

A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小．
B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小．
C. 向量的大小与方向有关．
D. 向量的模可以比较大小．

5. 已知两点，，则与向量同向的单位向量是       

A.  B.  C.  D.

6. 下图中与向量相等的向量是     

A.  B.  C.  D.

7. 如图是的格点图每个小方格都是单位正方形，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有       

A. 12个
B. 18个
C. 24个
D. 36个

8. 下列命题中正确的是   

A. 若与是共线向量，则四点共线；
B. 若，，则；
C. 不相等的两个向量一定不平行；
D. 两个相等向量的模相等．

9. 下面几个命题：
   若，则；  
   若，则；
   若，则； 
   若向量，满足则．
   其中正确命题的个数是       

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

10. 给出下列命题：

若，则向量与的长度相等且方向相同或相反

对于任意非零向量，若且与的方向相同，则

非零向量与非零向量满足，则向量与方向相同或相反

向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线

若，且，则．

其中正确的个数为       

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11. 设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是   

A. 且 B.
C.  D.

12. 有关向量和向量，下列四个说法中：
    若，则；
    若，则或；
    若，则；
    若，则．
    其中的正确有     

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知正方形ABCD的边长为1，，，，则          ．
14. 若为任意非零向量，为模为1的向量，下列各式：
    ；；；．
    其中正确的是          填序号．
15. 已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为          ．
16. 给出下列六个命题：

两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

若，则；

若，则四边形ABCD是平行四边形；

平行四边形ABCD中，一定有；

若，，则；

若，，．

其中不正确的命题序号是          ．

17. 如图，在正六边形ABCDEF中，与相等的向量有          填序号 
    
    ．

三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）

18. 若向量，满足，，则的最大值为          最小值为          

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．

按比例作图说明当时，操作几次时赛车的位移为零；

按此法操作使赛车能回到出发点，应满足什么条件？






 

20. 某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点

作出向量，，表示；

求的模．






 

21. 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2千米才到达B地．

在图中作出，，，；

求B地相对于A地的位置．






 

22. 在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离精确到．

23. 图是中国象棋的半个棋盘示意图，“马走日”是象棋中“马”的走法，“马”可从A跳到，也可从A跳到，用向量，表示“马”走了“一步”，试在图中画出“马”分别在B，C处走了“一步”的所有情况．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的相等与平行四边形以及菱形的判定问题，属于基础题．
由向量相等，得出四边形ABCD是平行四边形；由模长相等，得出平行四边形ABCD是菱形．

【解答】

解：四边形ABCD中，
，
，且，
四边形ABCD是平行四边形，
又，
平行四边形ABCD是菱形，
故选C．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由向量垂直得，从而，由此能求出

【解答】

解：，是单位向量，，，
，
，
．
故选：C．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的数量积以及向量共线的应用，属于基础题．
根据向量共线和向量的数量积的应用分别进行判断即可．

【解答】

解：对A选项，与共线，与共线，
故不一定成立，故A错误；
对B选项，当，时，结论不成立，故B错误；
对C选项，若，则，则可能与垂直，故C错误．
对D选项，是非零向量，所以若与共线，与共线，则与共线，故D正确．
故选D．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的一些基本概念，属于基础题．
根据向量的概念一一判断即可．

【解答】

解：数量可以比较大小，向量不可以比较大小，
故A，B，C错误；
D.向量的模是实数，可以比较大小，正确．
故选D．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查单位向量的定义和求法，考查平面向量的模及坐标运算，属于基础题．
由条件求得，，再根据与向量同方向的单位向量为，求得结果．

【解答】

解：因为已知点，，
，，
则与向量同方向的单位向量为．
故选A．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了相等向量的概念，相等向量需要长度相等且方向相同，属于基础题．

【解答】

解：由相等向量的概念可知：
与向量相等的向量是，
故选D．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的有关概念，属于中档题．
利用共线向量、模的计算公式、正方形的对角线即可得出．

【解答】

解：依题意，每个小方格的两条对角线中，
有一条对角线对应的长度相等方向相反的两个向量都和平行且模为，
因为共有12个小方格，
所以满足条件的向量共有24个．
故选C．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟练地掌握向量共线的概念，向量相等与单位向量等知识，属于基础题．
由题逐一求证即可求解．

【解答】A中，与是共线时，A，B，C，D四点不一定共线，判定A错误，
B中，，中，若，则不成立，B错误，
C中，零向量的方向不确定，因此人们规定它可以与任何向量平行，则C错误，
D中，两个相等向量的模是一定相等的，D正确．
故选D．  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线定理和向量模的概念，属于基础题．
根据平面向量的有关概念直接判断即可．

【解答】解：若，则，故正确；
错误，故错误；
若，与方向不确定，
所以不一定成立，如，故错误；
若，则，故错误．
故选B．  

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的基本概念和向量共线的条件，属于基础题．

【解答】

解：若，则向量与的长度相等而方向可以任意，故不正确
根据相等向量的定义可知正确
根据共线向量的定义可知正确
向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线或，故不正确
若，则与不一定共线，故不正确．
综上可知只有正确，故选C．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量相等的条件，属中档题．
若 成立，则向量 、 方向相同，对照各个选项并结合单位向量的含义，可得本题答案．

【解答】解：由得向量方向相同，且均为非零向量，
 对照各个选项，可得：
A项中向量 、 的方向不一定相同，可能相反；
B项中向量、的方向相反； 
C项中向量、的方向相同或相反； 
只有D项能确定向量、方向相同． 
故选D  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的概念，向量相等的概念，属于基础题．
根据向量的概念对各选项逐项进行分析、判断即可．

【解答】

解：若，则，故正确；
若，则或是错误的，因为向量方向可任意，故错误；
若，则向量的长度不一定相等，故错误；
若，则，故正确．
故正确的有，共2个．
故选B ．

13.【答案】0
 

【解析】

【分析】

本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
由题意可得，，，，，，根据，利用两个向量的数量积的定义运算求得结果．

【解答】

解：由题意可得，，，，
即，，，．
再由，可得
．
故答案为0．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目．
根据平面向量的有关概念，对选项中的问题进行分析、判断是否为真命题即可． 

【解答】

解：对于，因为 为任意非零向量， 为模为1的向量，当时，不成立，错误，
对于，与不一定共线，命题错误，
对于，因为 为任意非零向量，，命题正确，
对于，因为为模为1的向量，，则，命题错误，
 综上，正确的命题序号是，
故答案为 

15.【答案】1
 

【解析】

【分析】

本题考查了平行四边形对角线的性质，属于基础题．
利用平行四边形的对角线平分，得出结果．

【解答】

解：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，
所以D为PA的中点，
所以的值为1．
故答案为1．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的基本概念及平行的条件，属基础题．
根据题意逐项判断即可．

【解答】

解： 对于，若两个向量相等，则它们的模，方向相同，与起点终点无关，所以错误

对于，向量模相等，但向量不一定相等，所以错误

对于， 若A、B、C、D四点共线，则不能构成平行四边形，所以错误

对于， 在平行四边形ABCD中，AB与DC平行且相等，所以，即正确

对于， 根据向量相等的定义正确

对于，若，则不一定平行，所以错误．

所以不正确的有．

故答案为．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是向量的基本运算，属于基础题．
首先将化简得，再去判断，哪一个向量和向量相等，从而得到答案。

【解答】

解：，
，
，
，
填．

18.【答案】10

6

【解析】

【分析】

本题考查向量的模，属于基础题．
由题意可得向量同向和反向时，分别求最大值和最小值，计算可得答案．

【解答】

解：由题意可知向量，满足，，
所以当向量，同向时，取最大值为；
当向量，反向时，取最小值为．
故答案为10；6．

19.【答案】解：如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；
 

要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．

按的方式作图，则所作图形是内角为的正多边形，

由多边形的内角和定理可得

，

解得，且．

故应满足的条件为，且．

【解析】本题主要考查向量的应用及多边形的内角和，属于拔高题．
根据要求画出图形，由作出的图形可得操作的次数．
赛车若能回到出发点，则必须满足赛车经过多次方向转变后的位移为零．根据多边形的内角和定理求解可得结论．
 

20.【答案】根据题意，如图所示．

由题意及可得，四边形ABCD为平行四边形，所以．

【解析】本题考查具体方位，用有向线段表示向量，向量的平行四边形法则以及相反向量模相等．属于中档题
利用具体方位，用有向线段表示向量；

借助相反向量模相等，得到．

21.【答案】解：向量，，，，如图所示：

由题意知，
所以ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，
所以，
则B地相对于A地的位移为“在北偏东的方向距A地6千米”．
 

【解析】本题考查向量的概念及几何表示、向量相等的概念，属于基础题．
根据题意直接画图即可；
由题意知，所以ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，得出，即可求出结果．
 

22.【答案】解：A地至B，C两地的位移分别用表示，
图上A，B两点距离、A，C点距离分别为：，
所以A地至B地实际距离为：，

A地至C地的实际距离为：．

【解析】本题考查了向量的实际应用，属于基础题．
用向量的写法写出A地至B，C两地的位移的表示方法，用刻度尺量出图上AB两点距离，AC点距离，最后用根据比例尺计算出实际距离即可．
 

23.【答案】解：如图所示．

在B处“马”有3种走法，而在C处“马”有8种走法．

用有向线段表示向量，一定要注意其方向，并用箭头在图中标出．

【解析】本题考查向量的表示，属于中档题．
根据“马”走“日”得到答案．