人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算同步达标检测题
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6.2平面向量的运算同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是
A. B. C. D.
- 已知非零向量满足，且则的夹角为
A. B. C. D.
- 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
A. B. C. D.
- 若向量，，满足且，则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
- 设向量，且，则向量与的夹角为
A. B. C. D.
- 设向量，满足，，则．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
- 若非零向量，满足，且，则与的夹角为
A. B. C. D.
- 已知单位向量满足，则与的夹角为
A. B. C. D.
- 已知向量，满足，，，则，
A. B. C. D.
- 设，是向量，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 设，是向量，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 若是夹角为的两个单位向量，则夹角为
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 设向量满足，，，则的最大值 ．
- 设，为单位向量，且，则 ．
- 已知单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知正三角形ABC的边长为4，P是平面ABC内一点，且满足，则的最大值是 ，最小值是 ．
- 已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是
- 中，D为AC上的一点，满足若P为BD上的一点，满足，则mn的最大值为 ；的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 如图，在中，，，，D是边BC上一点，．
求的值；
若，求实数t的值．
- 已知平面向量满足，且的夹角为．
求的值；
求和夹角的余弦值．
- 如图，在四边形ABCD中，，．
若为等边三角形，且，E是CD的中点，求；
若，，，求
- 已知向量与的夹角，且，．
求，
求与的夹角的余弦值．
- 已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且与垂直，求与的夹角．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是中档题．
画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．
【解答】
解：画出图形如图，
，
等价于 与在向量上投影的乘积，
当点P在正六边形ABCDEF内或边长上运动时，
显然，P在C处时，取得最大值，
可得，即的最大值为6，
在F处取得最小值，，即的最小值为，
又因为P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，
所以的取值范围是．
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．
由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．
【解答】
解：由已知非零向量满足，且，
设两个非零向量的夹角为，
所以，
即，
所以，，
所以．
故选C．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属于基础题．
由，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．
【解答】
解：，
，
，
，
，
故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查两向量平行和垂直，向量的数量积，属于基础题．
首先得到，计算，可得结果．
【解答】解：因为且，
所以，
从而，
所以，
故选D．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的计算，关键是求出x的值．
根据题意，可得，解可得x，即可得向量、的坐标，由向量数量积公式，代入数据计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设向量与的夹角为，
向量，，
若，则有，解得，
即，，
则，
则有，，，
则，
又由，则；
故选D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的基本运算，利用平方之后进行相减是解决本题的关键，比较基础．将等式进行平方，相减即可得到结论．
【解答】
解：，，
分别平方得，，
两式相减得，
即，
故选A．
7.【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．
本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．
【解答】
解：，
，
即，
即，
，，
即，，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的模，向量的数量积，向量的夹角，属于基础题．
可知，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出与的夹角．
【解答】
解：
，
，
，
又，
的夹角为．
故选C．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的模长、数量积、夹角问题，属于基础题．
根据平面向量的夹角定义可知，，由，，可得的值，由，，，可得的值，从而可得答案．
【解答】
解：因为，，，
所以，
，
，，，
，
因为，，
所以，
故选D．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的知识点是充分条件，必要条件的判断，涉及向量的数量积与模的概念，属于基础题．
根据，从而可以判断“”是“”的既不充分也不必要条件．
【解答】
解：因为，
所以，
则，
即，
由，
，
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选D．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由，两边平方可得
，
解得，
即，
由不能得到，反之也不成立，
故是的既不充分也不必要条件．
故选D．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量夹角的计算，牢记公式．
利用向量夹角公式计算即可．
【解答】
解：，
，
得，
同理，，
又
，
与向量的夹角的余弦值为，
解得
故选C．
13.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的模的计算，考查平面向量数量积和夹角的问题，属于拔高题．
由条件可得，，作出示意图，可知A，O，B，C四点共圆，于是当OC为直径时，它的模最大．根据正弦定理即可求解．
【解答】
解：设，，
由条件可得，，由知，．
如图所示：设，，，
则，．
则，，
，
，O，B，C四点共圆．
因为，
所以，．
由三角形的正弦定理得外接圆的直径．
当OC为直径时，它的模最大，最大值为4．
故答案为：4．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的模的求法，数量积的应用，考查计算能力，属于基础题．
直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可．
【解答】
解：，为单位向量，且，
所以，
可得，
，
所以，
则．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题
设、的夹角为，由题意求出；再求，的夹角的余弦值的最小值即可．
【解答】
解：设、的夹角为，由，为单位向量，满足，
所以，
解得；
又，，且，的夹角为，
所以，
，
；
则，
所以时，取得最小值为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量数量积的理解及运算，考查数形结合思想，属于中档题．
先确定点P的轨迹为两段优弧，作出图形，再利用数量积的几何意义得解．
【解答】
解：如图，作的外接圆，取优弧，再作此圆弧关于直线AB对称的优弧，即点P的轨迹由这两段优弧组成，
过点B作直线AC的垂线，垂足为，过点P作直线AC的垂线，垂足为，
设两圆的圆心分别为，，过，分别作AC的平行线，与对应的优弧的交点分别为，，
为使最大，则点P应处于的位置，
注意到，且由正弦定理可得两圆的半径均为，
所以此时的值为；
同理，为使最小，则点P应处于的位置，则此时的值为；
故答案为：，．
17.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查了利用向量数量积求模，通过向量数量积的运算及性质可得三角函数从而求得最值．
【解答】
解：
是向量，的夹角．
所以当时，取得最小值当时，取得最大值．
18.【答案】
16
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的加减运算及利用基本不等式求最值，同时考查平面向量共线的条件，属于中档题．
由已知结合平面向量的加减运算得m，n的关系，然后利用基本不等式求解即可，注意乘的应用．
【解答】解：由已知，
又，
所以，
因为B，P，D三点共线，不共线，
所以存在，使得，
即
得，
又，，
所以，当即时，取等号，
解得，
，
当即时，取等号，
即mn的最大值为，的最小值为16．
故答案为．
19.【答案】解：是边BC上一点，，
，
，
故．
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查向量线性运算、数量积的运算，属于中档题．
由题意，根据向量的数量积运算计算即可；
由题意，，求出，，再根据数量积运算即可求得．
20.【答案】解：由已知得
，
即，
解得；
，
又，
所以和夹角的余弦值为．
【解析】本题考查向量的模及向量的夹角，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
根据题意利用向量模的公式可得，进而即可求得结果；
根据题意可得
，，进而即可求得结果．
21.【答案】解：因为为等边三角形，且，
所以
又，所以，因为E是CD的中点，所以：
．
又，所以，
．
因为，，
所以：即．
又．
所以．
所以．
故．
【解析】本题主要考查向量的数量积的概念及其运算、利用向量的数量积求向量的模等相关知识，属于拔高题．
根据向量的加减法找到向量的表示，然后求即可
根据数量积，结合向量的表示及向量的数量积运算和利用向量的数量积求向量的模，列式求解即可．
22.【答案】解：由已知，得．
．
设与的夹角为．
则，
与的夹角的余弦值为．
【解析】本题考查向量的数量积，向量的模和向量的夹角，考查了计算能力，属于基础题．
根据向量的数量积进行求解即可；再利用向量的模的公式，根据，代入求解即可；
设与的夹角为，然后根据，将数值代入即可得到答案．
23.【答案】解：，，
设，且，；
；
；
，或；
，且，
；
，
又，
与的夹角为．
【解析】本题考查共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，根据向量坐标求向量长度，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的范围．
根据，，设，进而，这样便可求出k的值，从而得出的坐标；
根据与垂直便可得出，根据条件进行数量积的运算即可求出的值，从而求出与的夹角．
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