高中数学第七章 复数7.2 复数的四则运算一课一练

7.2复数的四则运算同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设，则

A.  B.  C.  D.

2. 设有下面四个命题：
   ：若复数z满足，则；
   ：若复数z满足，则；
   ：若复数，满足，则；
   ：若复数，则．
   其中的真命题为     

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是     

A. 复数z的模为
B. 复数z的共轭复数为
C. 复数z的虚部为
D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限

4. 已知，则

A.  B. 2 C.  D. 3

5. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则z等于   

A.  B.  C.  D.

6. 欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当时，被称为数学上的优美公式．根据欧拉公式，表示复数z，则     

A.  B.  C. 2 D.

7. 任意复数为虚数单位都可以写成的形式，其中，，称该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值．若复数，则z的辐角主值为   

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则

A.  B.  C.  D.

9. 已知复数z满足为虚数单位，则

A.  B.  C.  D.

10. 设复数为虚数单位，则       

A.  B.  C.  D.

11. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则 

A.  B.  C.  D.

12. 复数为虚数单位的虚部是

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知a，，i是虚数单位，若，则的值为          ．
14. i是虚数单位，则的值为          ．
15. 已知是虚数单位，则复数的实部是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 设复数其中i是虚数单位，，若复数z在复平面上对应的点位于第三象限，则m的取值范围是          ；复数z的模的取值范围是          ．
17. 若复数z满足，则z的实部为          ，          ．
18. 已知a，，是虚数单位，则          ；          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 求的值；
    若关于x的一元二次方程的一个根是，其中m，，i是虚数单位，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 设复数其中，．
    Ⅰ若是实数，求的值；
    Ⅱ若是纯虚数，求
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知复数i是虚数单位．

若z是纯虚数，求实数m的值；

设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．






 

22. 已知复数z满足，的虚部为2，
    求z；
    设z，，在复平面对应的点分别为A，B，C，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
23. 计算．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】

解：由，得．
故选：C．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查命题的真假判断，考查了复数的运算，复数的概念，共轭复数，属于基础题．
根据复数的概念和复数的运算，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．

【解答】
解：设，则，
若复数z满足，则，则，
故命题为真命题；
：复数满足，但，
故命题为假命题；
：复数，满足，但，
故命题为假命题；
：若复数，则，
故命题为真命题．
故选B．  

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了复数除法运算、复数的模、共轭复数、复数的概念以及复数的几何意义，属于基础题．
化简复数z，然后依次判断各个选项即可．

【解答】

解：，则，
，故A错，

复数z的共轭复数为，故B错；
复数z的虚部为，故C错；
复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选D．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的四则运算和复数的模的求法，属于基础题．
先求出复数z的代数形式，利用模长公式即可求出结果．

【解答】

解：，
．
故选C．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数相等的条件和共轭复数，属于基础题．
设，，利用复数相等求出a，b，即可求解．

【解答】

解：由题意得，设，，
则

得出，

所以，

故选B．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的欧拉公式、特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，再由复数运算法则以及复数的求模公式求解即可．

【解答】

解：因为，
所以，
则．
故选B．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的除法运算，考查复数的三角形式，属于基础题．
首先利用复数的除法法则化简复数z，再求出z的模，再表示成的形式，再由辐角主值的正弦和余弦值，求出在范围的辐角主值．

【解答】
解：，
，，
又，．
故选D．  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．
利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可．

【解答】

解：因为，
所以．
故选：B．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了共轭复数，复数的模，复数的四则运算，属于基础题．
由已知复数z满足，利用复数的模与复数的四则运算，得到，即可求出．

【解答】

解：由已知复数z满足，
则，
则．
故选C．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的加法、乘法运算，考查共轭复数的知识．
先求出共轭复数，再根据复数的运算得到答案．

【解答】

根据题意，由于，则，，
故答案为B．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查复数的运算，结合复数的几何意义求出复数的表达式是解决本题的关键，属于基础题．
根据复数的几何意义先求出z的表达式，结合复数的运算法则进行计算即可．
【解答】
解：复数z对应的点的坐标是，

，
则，
故选B．

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】

解：．
复数的虚部为．
故选：A．

13.【答案】2
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件．
根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程组，解得a，b的值，进而可得答案．

【解答】

解：，a，，

解得：
，
故答案为2．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的模及复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．
利用复数四则运算先化简，再求模长．

【解答】

解：由题意，可知：
，
．
故答案为．

15.【答案】3
 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】

解：，
复数的实部为3．
故答案为3．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的四则混合运算模长的取值范围，属于简单题．
由题意求得z在复平面上对应的点为，即可求解m的取值范围，结合二次函数的性质可求模长的取值范围．

【解答】

解：因为，
所以复数z在复平面上对应的点为，
则有，
解得，
因为，又，
所以，
则，
即复数z的模的取值范围是．
故答案为；．

17.【答案】4

5

【解析】

【分析】

本题主要考查的是复数的运算及复数的概念与模的求解，属于基础题．
利用复数的除法化简得到，结合虚部概念以及复数的模长公式即得解．

【解答】

解：由于

故z的实部为4，
 

故答案为4；5．

18.【答案】5

2

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算法则、复数相等的相关知识，属于基础题．
a，，是虚数单位，可得，可得，，解出即可得出．

【解答】解：a，，是虚数单位，
，
，，
解得，，或．
则，
故答案为：5；2．  

19.【答案】解：
；

由题得，
因为，

所以，解得
所以．

【解析】本题考查复数相等的充要条件，虚数单位i的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根，考查运算化简的能力，属于中档题．
根据虚数单位i的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
将代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得m，n可得结论．
 

20.【答案】解：Ⅰ其中，，
，
由是实数，得．
，，
则；
Ⅱ由是纯虚数，
得，即．
．
 

【解析】Ⅰ由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算求的值；
Ⅱ利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a，则可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
 

21.【答案】解：，
因为z为纯虚数，所以，解得
因为是z的共轭复数，所以，
所以
因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，
所以
解得．
 

【解析】本题考查复数的概念，共轭复数，复数的四则运算和复数的几何意义，属于中档题．

先化简复数z，再由z为纯虚数得出关系式求出m的值；

由得出复数z的共轭复数，得出，再由复数在复平面上对应的点在第二象限，即可求解m的取值范围．

22.【答案】解：设，
由题意得，

则，
，将其代入，得，

即或；
故或．
当时，，，
所以，，；
，
即．
当时，得，
即，
所以，，；
故
 

【解析】本题考查复数的基本概念，模的计算，四则运算以及几何意义，属于中档题．
设，运用待定系数法求出
求出相应复数，得到对应点坐标，进而求出三角形的面积．
 

23.【答案】解：

．

【解析】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
利用复数的乘除法运算法则以及i的幂运算的周期性进行计算．