高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.2.1导数与函数的单调性导学案

6.2　利用导数研究函数的性质

6.2.1　导数与函数的单调性

必备知识·素养奠基

1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系

在区间(a,b)内

　(1)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上是增函数”,反之,若f(x)在(a,b)上是增函数,能推出在(a,b)上恒有f′(x)>0吗?

提示:不能,若f(x)在(a,b)上是增函数,则在(a,b)上恒有f′(x)≥0.

(2)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)<0,则f(x)在(a,b)上是减函数”,反之,若f(x)在(a,b)上是减函数,能推出在(a,b)上恒有f′(x)<0吗?

提示:不能,若f(x)在(a,b)上是减函数,则在(a,b)上恒有f′(x)≤0.

(3)在(a,b)上存在f′(x)恒等于0的函数吗?

提示:存在,这样的函数是常数函数f(x)=C.

2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一个函数f在某一范围内导数的绝对值为,则

　为什么|f′(x)|越大,函数递增(或递减)越快,其图象越陡峭?

提示:|f′(x)|越大,说明函数的瞬时变化率越大,即函数值的变化越快,其图象越陡峭.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)因为′=-<0恒成立,所以函数y=在(-∞,+∞)上单调递减. (　　)

(2)因为′=1+>0,所以函数y=x-在(-∞,+∞)上单调递增. (　　)

(3)函数f(x)=x2+2x-3的导数f′(x)=2x+2是增函数,所以函数f(x)=x2+2x-3在(-∞,+∞)上是增函数.              (　　)

提示:(1)×.因为函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

由′=-<0恒成立,

所以函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数.

(2)×.因为函数y=x-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由′=1+>0恒成立,

所以函数y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数.

(3)×.因为f′(x)=2x+2,

所以当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,

当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,

即函数f(x)=x2+2x-3在x∈(-∞,-1)上是减函数,在x∈(-1,+∞)上是增函数.

2.函数y=x-ln x的单调递减区间为 (　　)

A.(-1,1]　　　　　　 B.(0,+∞)

C.[1,+∞)    D.(0,1]

【解析】选D.函数的定义域为(0,+∞),

令y′=1-=≤0,

解得x∈(0,1],

所以函数的单调递减区间为(0,1].

关键能力·素养形成

类型一　导数与函数图象的关系

【典例】1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是              (　　)

2.函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是 (　　)

3.函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)<0的解集为________. 

【思维·引】导函数图象在x轴下方,函数递减,导函数图象在x轴上方,函数递增.

【解析】1.选B.在区间(-1,1)上,f′(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f′(x)是增函数,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加得越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)上,

f′(x)是减函数,故y=f(x)在区间(0,1)上增加得越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.

2.选D.从函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.

3.函数y=f(x)在区间和区间(2,3)上是减函数,所以在区间和区间(2,3)上,y=f′(x)<0,

所以f′(x)<0的解集为∪(2,3).

答案:∪(2,3)

　【内化·悟】

　结合图象来研究导数与函数的关系,需注意哪些问题?

提示:(1)函数的定义域.

(2)导数的符号与函数单调性的关系.

【类题·通】

　函数与导数图象间的关系

　　判断函数与导数图象间的对应关系时,首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象,其次再注意以下两个方面:

(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上是增函数;如果f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上是减函数;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.

(2)导数与函数图象的关系

　【习练·破】

　已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f′(x)的图象可能是 (　　)

【解析】选B.由函数y=f(x)的图象及其导数的意义可知,当x<0时,f′(x)>0,当x=0时,f′(x)=0,当x>0时,f′(x)<0.

【加练·固】

设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是 (　　)

【解析】选C.由y=f′(x)的图象可知,当x<0或x>2时,f′(x)>0;当0<x<2时,f′(x)<0,

所以函数y=f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为增函数,在(0,2)上为减函数.

类型二　利用导数求函数的单调区间

【典例】1.(2020·南平高二检测)函数f(x)=xex+1的单调递减区间是(　　)

A.(-∞,1)  B.(1,+∞)

C.(-∞,-1)  D.(-1,+∞)

2.(2020·金安高二检测)函数f(x)=x-2sin x+1在(0,π)上的单调递增区间是 (　　)

A.  B.  C.  D.

【思维·引】1.求导,解使f′(x)<0的区间.

2.求导,解使f′(x)>0的区间.

【解析】1.选C.f′(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f′(x)<0,函数单调递减.

2.选D.f(x)=x-2sin x+1,令f′(x)=1-2cos x>0,可得π<x<π,

故f(x)在(0,π)上的单调递增区间为.

【内化·悟】

　求函数的单调区间需要特别关注什么?

提示:求函数的单调区间需要特别关注函数的定义域.

　【类题·通】

　求函数y=f(x)单调区间的步骤

(1)确定函数y=f(x)的定义域.

(2)求导数y′=f′(x).

(3)解不等式f′(x)>0,函数在解集所表示定义域内为增函数.

(4)解不等式f′(x)<0,函数在解集所表示定义域内为减函数.

如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.

　【习练·破】

1.(2020·渝中高二检测)函数f(x)=(1-x)ex的单调递减区间是 (　　)

A.(-∞,2) B.(2,+∞)

C.(-∞,0) D.(0,+∞)

【解析】选D.f′(x)=-xex.当x>0时,f′(x)=-xex<0,函数单调递减.即函数的单调递减区间是(0,+∞).

2.函数f(x)=2x2-ln x,x∈(0,+∞)的单调递减区间为________. 

【解析】由题意得f′(x)=4x-,令f′(x)=4x-<0且x∈(0,+∞),则x∈.

答案:

【加练·固】

　判断函数f(x)=ax3-1的单调性.

【解析】因为f′(x)=(ax3-1)′=3ax2.

①当a>0时,f′(x)≥0,函数在R上单调递增;

②当a<0时,f′(x)≤0,函数在R上单调递减;

③当a=0时,f′(x)=0,函数在R上不具备单调性.

类型三　利用导数求参数的取值范围

角度1　已知函数单调性求参数的取值范围

【典例】1.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是 (　　)

A.(-∞,-2]  B.(-∞,-1]

C.[2,+∞)  D.[1,+∞)

2.函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)上是减函数,则实数m的范围是________. 

【思维·引】1.f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上是增函数,f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立.

2.函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)上是减函数,g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立.

【解析】1.选D.f′(x)=k-,因为函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上是增函数,所以f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立,所以k≥,而y=在区间(1,+∞)上是减函数,所以k≥1,故实数k的取值范围是[1,+∞).

2.由g′(x)=-3x2+4x+m≤0对x∈R恒成立.

即Δ=16+4×3m≤0,解得m≤-.

答案:

　【素养·探】

　已知函数单调性求参数的取值范围时,经常利用核心素养中的逻辑推理,将函数单调性问题转化为恒成立问题.

将本例1条件改为:函数f(x)=kx-ln x在区间(0,e)上是减函数,求实数k的取值范围.

【解析】函数f(x)=kx-ln x在区间(0,e)上是减函数,

即f′(x)=k-≤0在区间(0,e)上恒成立,所以k≤.

角度2　求参数范围的综合问题

【典例】已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.

【思维·引】函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,即在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.

【解析】方法一:由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)

=-3x2+2x+t.

若f(x)在(-1,1)上是增函数,

则在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.

即t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立.

设函数g(x)=3x2-2x,

由于g(x)的图象是对称轴为x=且开口向上的抛物线,

故t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立⇔t≥g(-1),

即t≥5.而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,

即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是[5,+∞).

方法二:由题意得f(x)=-x3+x2+tx+t,

则f′(x)=-3x2+2x+t.

若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.

因为f′(x)的图象是开口向下的抛物线,所以当且仅当f′(1)=t-1≥0,

且f′(-1)=t-5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.

故t的取值范围是[5,+∞).

　【类题·通】

1.利用导数法解决参数范围问题的两个基本思路

(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.

(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.

2.恒成立问题的重要思路

(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.

(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.

　【习练·破】

1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.a≥1  B.a=1  C.a≤1  D.0<a<1

【解析】选A.由已知得f′(x)=3x2-2ax-1,

又f(x)在(0,1)上是减函数,

所以不等式3x2-2ax-1≤0在 (0,1)内恒成立,

即f′(0)≤0且f′(1)≤0,解得a≥1.

2.若函数f(x)=(mx-1)ex在(0,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________. 

【解析】f′(x)=(mx-1)′ex+(mx-1)·(ex)′

=mex+(mx-1)ex=ex(mx+m-1).

由于f(x)在(0,+∞)上是增函数,

所以f′(x)≥0,

即mx+m-1≥0对x∈(0,+∞)恒成立,

即m≥对x∈(0,+∞)恒成立,

又当x∈(0,+∞)时,<1,故m≥1.

答案:[1,+∞)

课堂检测·素养达标

1.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 (　　)

A.y=sin 2x  B.y=xex

C.y=x3-x   D.y=-x+ln(1+x)

【解析】选B.y=xex,则y′=ex+xex=ex(1+x)在(0,+∞)上恒大于0.

2.若函数f(x)=-cos x+ax为增函数,则实数a的取值范围为 (　　)

A.[-1,+∞) B.[1,+∞)

C.(-1,+∞) D.(1,+∞)

【解析】选B.由题意可得,f′(x)=sin x+a≥0恒成立,

故a≥-sin x恒成立,

因为-1≤-sin x≤1,所以a≥1.

3.如果函数f(x)=2x3+ax2+1(a≠0)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上是增函数,且在区间(0,2)上是减函数,则常数a的值为________. 

【解析】f′(x)=6x2+2ax,令6x2+2ax<0,

当a>0时,解得-<x<0,不合题意;

当a<0时,解得0<x<-,

由题意知-=2,a=-6.

答案:-6

【新情境·新思维】

已知定义在区间(-2,2)上的函数y=f(x)的图象如图所示,若函数f′(x)是f(x)的导函数,则不等式>0的解集为              (　　)

A.(-2,1)  B.(-2,-1)∪(-1,1)

C.(1,2)  D.(-,-1)∪(0,).

【解析】选B.结合导数与单调性关系可知,-2<x<-1,1<x<2时,函数单调递减,此时f′(x)<0,

当-1<x<1时,函数单调递增,

此时f′(x)>0,由不等式>0可得,(x+1)f′(x)>0,

解得,-1<x<1或-2<x<-1,

故不等式的解集为(-2,-1)∪(-1,1).