高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.4 求导法则及其应用学案设计

6.1.4　求导法则及其应用

必备知识·素养奠基

1.导数的四则运算法则

特别地,(1)[cf(x)]′=cf′(x);(2)′=-.

2.复合函数及其导数

(1)定义:一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值.如果此时还能确定y的值,则y可以看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且称y=h(x)=f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数,其中u称为中间变量;

(2)求导法则:h′(x)=[f(g(x))]′=f′(u)g′(x)=f′(g(x))g′(x),这一结论也可以表示为y′x=y′uu′x.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)若y=x+,则y′=1+. (　　)

(2)若y=x2cos x,则y′=-2xsin x. (　　)

(3)若y=,则y′=-cos x. (　　)

(4)若y=3x2-e2x,则y′=6x-2ex. (　　)

提示:(1)×.由y=x+,得y′=1-.

(2)×.由y=x2 cos x,得y′=2x cos x-x2 sin x.

(3)×.由y=,得y′=.

(4)×.根据导数四则运算法则,y′=(3x2)′-(e2x)′=6x-2e2x.

2.已知函数f(x)=,f′(m)=-,则m= (　　)

A.-4  B.4  C.±2  D.-2

【解析】选C.f′(x)=-,所以f′(m)=-=-,解得m=±2.

3.函数y=x2sin x的导数为 (　　)

A.y′=2xsin x+x2cos x  B.y′=2xsin x-x2cos x

C.y′=x2sin x+2xcos x  D.y′=x2sin x-2xcos x

【解析】选A.因为y=x2sin x,所以y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+

x2cos x.

关键能力·素养形成

类型一　利用运算法则求函数的导数

【典例】1.(2020·永州高二检测)已知函数f(x)=ax2+2 020,且f′(1)=4,则a的值为 (　　)

A.2 020  B.2 015  C.2  D.

2.求下列函数的导数:

(1)y=-ln x. (2)y=(x2+1)(x-1).

(3)y=. (4)y=.

【思维·引】1.先求f′(x),再解方程f′(1)=4,求a的值.

2.运用导数的四则运算法则求导.

【解析】1.选C.根据题意,函数f(x)=ax2+2 020,

则f′(x)=2ax,

若f′(1)=4,即2a=4,解得a=2.

2.(1)y′=(-ln x)′=()′-(ln x)′=-.

(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′=(x3)′-(x2)′+x′-1′=3x2-2x+1.

(3)y′==.

(4)y′==.

　【内化·悟】

　运用导数四则运算法则求导需要注意哪些问题?

提示:(1)分清所求导函数由哪些基本初等函数组成,是函数的和、差还是积、商.

(2)准确运用法则求导.

　【类题·通】

　利用导数运算法则的策略

(1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则,基本公式.

(2)如果待求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.

(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.

　【习练·破】

1.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于 (　　)

A.-1  B.-2  C.2  D.0

【解析】选B.因为f′(x)=4ax3+2bx,所以f′(1)=4a+2b=2,所以f′(-1)

=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.

2.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a=________. 

【解析】由函数的解析式可得:

f′==,

则f′==,

所以=,

所以a2-2a+1=0,解得:a=1.

答案:1

【加练·固】

1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于 (　　)

A.-e　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.e

【解析】选B.因为函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+

ln x(x>0),

所以f′(x)=2f′(1)+,把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1,解得

f′(1)=-1.

2.若函数f(x)=在x=x0处的导数值与函数值互为相反数,则x0的值等于 (　　)

A.0 B.1 C.  D.不存在

【解析】选C.由于f(x)=,

得f(x0)=,f′(x)==,

所以f′(x0)=.

依题意知f(x0)+f′(x0)=0,得+=0,

即=0,所以2x0-1=0,得x0=.

类型二　复合函数的导数

【典例】求下列函数的导数.

(1)y=ln (6x+4).

(2)y=sin .

(3)y=5log2(2x-1).

【思维·引】先把复合函数拆分成基本初等函数,再运用复合函数求导法则进行求导.

【解析】(1)设y=ln u,u=6x+4,则

y′x=y′u·u′x=·6==.

(2)设y=sin u,u=3x-,则

y′x=y′u·u′x=cos u·3=3cos.

(3)设y=5log2u,u=2x-1,

则y′=5(log2u)′·(2x-1)′==.

　【类题·通】

求复合函数的导数的步骤

　提醒:(1)内、外层函数通常为基本初等函数.

(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点.

(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理,使导数式尽量简洁.

　【习练·破】

1.(2020·大庆高二检测)已知f(x)=sin 2x+e2x,则f′(x)= (　　)

A.2cos 2x+2e2x  B.cos 2x+e2x

C.2sin 2x+2e2x  D.sin 2x+e2x

【解析】选A.根据题意,f(x)=sin 2x+e2x,则f′(x)=2cos 2x+2e2x.

2.(2020·泉州高二检测)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f′(2)=-1,则a= (　　)

A.  B.  C.-  D.-

【解析】选A.f′(x)=-a,

所以f′(2)=-a=-1,解得a=.

类型三　导数运算法则的综合应用

【典例】1.已知e为自然对数的底数,曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线与直线2ex-y-1=0平行,则实数a=              (　　)

A.  B.  C.  D.

2.已知抛物线y=f(x)=ax2+bx+c过点(1,1),且在点

(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a,b,c的值.

【思维·引】利用切点处的导数等于切线的斜率,切点坐标既满足曲线方程,也满足切线方程.

【解析】1.选B.函数y=aex+x的导数为y′=aex+1,可得曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线的斜率为y′=ae+1,所以ae+1=2e,解得a=.

2.因为f(1)=1,所以a+b+c=1.①

又f′(x)=2ax+b,f′(2)=1,所以4a+b=1.②

又切点(2,-1)在抛物线上,

所以4a+2b+c=-1.③

把①②③联立得方程组

解得即a=3,b=-11,c=9.

　【内化·悟】

　运用导数解有关切线问题应特别注意什么?

提示:(1)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.

　【类题·通】

　关于求导法则的综合应用

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.

(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.

易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.

　【习练·破】

1.若函数f(x)=ex+2ax存在与直线y=5x+6平行的切线,则实数a的取值范围是________. 

【解析】由f(x)=ex+2ax得f′(x)=ex+2a,又函数f(x)=ex+2ax存在与直线y=5x+6平行的切线,即ex+2a=5有解,所以ex=5-2a,所以5-2a>0,所以a<.

答案:a<

2.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=

lg xn,则a1+a2+…+a99的值为________. 

【解析】因为当x=1时,y′=n+1,所以y=xn+1在点(1,1)处的切线方程为y=(n+1)(x-1)+1.

令y=0,得x=xn=,所以an=lg n-lg(n+1),

所以a1+a2+…+a99=lg 1-lg 100=-2.

答案:-2

【加练·固】

若曲线y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为              (　　)

A.(1,1)　　　B.(2,3)　　　C.(3,1)　　　D.(1,4)

【解析】选A.y=x2+aln x的定义域为(0,+∞),由导数的几何意义知y′=2x+≥2=4,得a=2,当且仅当x=1时等号成立,代入曲线方程得y=1,故所求的切点坐标是(1,1).

课堂检测·素养达标

1.已知函数f(x)=sin 2x+ln x,则f′(1)的值为 (　　)

A.1-2sin 2 B.1+2cos 2

C.1+2sin 2 D.1-2cos 2

【解析】选B.因为f′(x)=2cos 2x+,所以f′(1)=2cos 2+1.

2.函数f(x)=ex+xsin x-7x在x=0处的导数等于 (　　)

A.-6  B.6  C.-4  D.-5

【解析】选A.f′(x)=(ex)′+(xsin x)′-(7x)′

=ex+sin x+xcos x-7,

所以f′(0)=e0-7=-6.

3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________. 

【解析】设P(x0,y0)(x0<0),由题意知y′=3-10=2,

即=4,得x0=-2,所以y0=15,故点P的坐标为(-2,15).

答案:(-2,15)

4.(2020·广州高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)x3-2x,则f(1)=________. 

【解析】根据题意,f(x)=f′(1)x3-2x,则f′(x)=3f′(1)x2-2xln 2,当x=1时,有f′(1)=3f′(1)-2ln 2,解得f′(1)=ln 2,则f(x)=ln 2×x3-2x,故f(1)=

ln 2-2.

答案:ln 2-2

【新情境·新思维】

(2020·广州高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),记f1(x)=f′(x),f2(x)=

f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N+).若f(x)=xsin x,则f5(x)+f7(x)= (　　)

A.-2cos x B.-2sin x C.2cos x  D.2sin x

【解析】选B.f(x)=xsin x,则f1(x)=f′(x)=sin x+xcos x,

f2(x)=f1′(x)=cos x+cos x-xsin x=2cos x-xsin x,

f3(x)=f2′(x)=-2sin x-sin x-xcos x=-3sin x-xcos x,

f4(x)=f3′(x)=-3cos x-cos x+xsin x=-4cos x+xsin x,

f5(x)=f4′(x)=4sin x+sin x+xcos x=5sin x+xcos x,

f6(x)=f5′(x)=5cos x+cos x-xsin x=6cos x-xsin x,

f7(x)=f6′(x)=-6sin x-sin x-xcos x=-7sin x-xcos x.

则f5(x)+f7(x)=5sin x+xcos x-7sin x-xcos x

=-2sin x.