高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.2 导数及其几何意义学案及答案

6.1.2　导数及其几何意义

最新课程标准

    1.理解瞬时变化率、导数的概念．(难点、易混点)

    2．会用导数的定义求函数的导数．

3．理解导数的几何意义．(重点)能应用导数的几何意义解决相关问题．(难点)

[教材要点]

知识点一　瞬时变化率与导数

　(1)物体运动的瞬时速度

设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当________时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率________________趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．

(2)函数的瞬时变化率

设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率________________趋近于一个常数k，那么常数k称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．

记作：当Δx→0时，→k.

还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率，记作 ＝k.

(3)函数f(x)在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在点x0的________，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作________，即f′(x0)＝________________.

知识点二　导数的几何意义

曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为________________________．

[基础自测]

1．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________________________________________________________________________．

2．函数y＝f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是(　　)

A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)

B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)

C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)

D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)

3．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)等于(　　)

A．1　　  B．－1

C．－3  D．3

4．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么 ＝(　　)

A.  B．1

C．2  D.

题型一　求瞬时速度

例1　以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为________．

　先求出，再求 .

方法归纳

1．求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

(2)求平均速度＝；

(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度.2.

求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法

(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．

(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．

跟踪训练1　 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．

题型二　求函数在某点处的导数

例2　(1)曲线y＝在点处的切线的斜率为(　　)

A．2　　　　　　　　　　　B．－4

C．3  D.

(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．

　求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f ′(x0)．

方法归纳

1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象．

2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤

(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

(2)求平均变化率；

(3)求极限，得导数为f′(x0)＝ .

简记为：一差、二比、三趋近．

跟踪训练2　求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．

题型三　求曲线在某点处切线的方程

例3　已知曲线C：y＝x3.

(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；

(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

　(1)先求切点坐标，再求y ′，最后利用导数的几何意义写出切线方程．

(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．

方法归纳

1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤

(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；

(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以曲线的切线方程为x＝x0.

2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．

跟踪训练3　若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．

题型四　求切点坐标

例4　已知抛物线y＝2x2＋1.求：

(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？

(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

　→→→

跟踪训练4　已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　)

A．(1,1)  B．(－1,1)

C．(1,1)或(－1，－1)  D．(2,8)或(－2，－8)

方法归纳

根据切线斜率求切点坐标的步骤

1．设切点坐标(x0，y0)；

2．求导函数f′(x)；

3．求切线的斜率f′(x0)；

4．由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；

5．点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．

6．1.2　导数及其几何意义

新知初探·自主学习

知识点一

　(1)Δt趋近于0　

(2)＝

(3)瞬时变化率　f′(x0)　li

知识点二

曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率

[基础自测]

1．解析：∵f(x)＝x2，

∴函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是

li ＝li

＝li

＝li (2＋Δx)＝2.

答案：2

2．解析： f′(2)为函数y＝f(x)的图像在点B处的切线的斜率，f′(3)为函数y＝f(x)的图像在点A处的切线的斜率，f(3)－f(2)＝，其几何意义为割线AB的斜率，由图可知，0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选C.

答案：C

3．解析：由题意知f′(2)＝3.

答案：D

4．解析：因为f′(1)＝1，所以li ＝1，

所以li ＝li ＝.

答案：A

课堂探究·素养提升

例1　解析：∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－g(Δt)2，

∴＝v0－gt0－gΔt，

∴li ＝v0－gt0，

即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.

答案：v0－gt0

跟踪训练1　解析：(1)初速度v0＝li

＝li ＝li (3－Δt)＝3，

即物体的初速度为3 m/s.

(2)v瞬＝li

＝li

＝li

＝li (－Δt－1)＝－1，

即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反．

例2　解析：(1)因为y′＝li ＝li ＝li ＝－，

所以曲线在点处的切线斜率为

k＝－4，故选B.

(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，

∴＝6＋3Δx，

∴f′(1)＝li ＝li (6＋3Δx)＝6.

答案：(1)B　(2)见解析

跟踪训练2　解析：∵Δy＝(1＋Δx)－－

＝Δx＋1－＝Δx＋，

∴＝＝1＋，

∴f′(1)＝li ＝li ＝2.

例3　解析：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．

y′＝li

＝li

＝li[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.

∴k＝3.

∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，

即3x－y－2＝0.

(2)由

解得或

从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，

即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．

跟踪训练3　解析：切线的斜率为k＝－1.

∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，

即x＋y－3＝0.

答案：x＋y－3＝0

例4　解析：设切点的坐标为(x0，y0)，则

Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.

∴＝4x0＋2Δx.

∴f′(x0)＝li (4x0＋2Δx)＝4x0.

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan 45°＝1，

即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为.

(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴斜率为4，

即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．

跟踪训练4　解析：因为y＝x3，所以y′＝li ＝li[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.

由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.

当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.

故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.

答案：C