高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.2.1导数与函数的单调性教课内容课件ppt

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MTF是目前分析镜头的解像力跟反差再现能力使用比较科学的方法.这种测定光学频率的方式是以一个mm的范围内能呈现出多少条线来度量,其单位以line/mm来表示.右图是三只不同镜头的MTF与空间频率的关系图.随着频率增加的变化,MTF发生了什么变化?如何来研究这种变化呢?
用导数研究函数的单调性一般地,(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态,因此f(x)在(a,b)上是增函数,如图(1)所示.(2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态,因此f(x)在(a,b)上是减函数,如图(2)所示.
名师点析 导数与函数单调性关系的深入理解(1)若在区间(a,b)上有f'(x)>0,则f(x)在该区间上单调递增;若在区间(a,b)上有f'(x)<0,则f(x)在该区间上单调递减.(2)若函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,则f'(x)≥0在x∈(a,b)内恒成立;同理,若函数f(x)在区间(a,b)上是减函数,则f'(x)≤0在x∈(a,b)内恒成立.(3)对于函数f(x)来说,f'(x)>0是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件;f'(x)<0是f(x)在(a,b)上单调递减的充分不必要条件.如f(x)=x3在R上为增函数,但f'(0)=0,所以在x=0处不满足f'(x)>0.(4)当函数f(x)的单调递增(或递减)区间有多个时,各区间之间不能用“∪”连接,用“,”或“和”连接.
微思考1函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系?
微思考2如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特征?提示:f(x)是常数函数.
微练习函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是(　　)A.增函数　　　　　B.减函数C.先增后减 D.不确定
解析:∵f(x)=2x-sin x,∴f'(x)=2-cs x>0在(-∞,+∞)上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.答案:A
函数与导函数图像间的关系例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f'(x)的图像可能为(　　)
(2)已知f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)的图像如图所示,则f(x)的图像只可能是(　　)
解析:(1)由函数的图像可知,当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正.对照选项,应选D.
答案:(1)D　(2)D
反思感悟 研究函数与导函数图像之间关系的方法研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图像在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
变式训练1已知y=xf'(x)的图像如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图像中,y=f(x)的图像大致是(　　)
解析:当01时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数.故选C.
利用导数求函数的单调区间例2求下列各函数的单调区间:(1)f(x)=2x3-3x2;
(4)f(x)=ex+ax.
思路分析可按照求函数单调区间的步骤进行求解,其中:(1)要注意单调区间的写法;(2)要注意导数的求法;(3)要注意正弦函数的性质;(4)要注意对参数a进行讨论.
解:(1)函数定义域为R,且f'(x)=6x2-6x.令f'(x)>0,即6x2-6x>0.解得x>1或x<0;令f'(x)<0,即6x2-6x<0,解得0(4)函数定义域为R,且f'(x)=ex+a.①当a≥0时,f'(x)=ex+a>0恒成立,f(x)在R上单调递增;②当a<0时,由f'(x)=ex+a>0,得ex>-a,所以x>ln(-a),由f'(x)=ex+a<0,得ex<-a,所以x反思感悟 1.利用导数求函数单调区间的步骤如下:(1)求函数f(x)的定义域.(2)求导数f'(x).(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间;在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.2.与利用函数单调性的定义判断函数的单调性或求函数的单调区间相比,利用导数求函数的单调区间显得更加简单易行,其实质是转化为解不等式问题,但也必须首先求出函数的定义域,在定义域内解不等式.另外,利用导数适合求一些高次函数的单调区间,其单调区间有时不止一个,这时在写出它们的单调区间时,不能将各个区间用并集符号连接.3.当函数f(x)的解析式中含有参数时,可能需要对参数进行分类讨论才能确定其单调区间.
由f'(x)<0,得0已知函数的单调性求参数的范围例3已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.思路分析f(x)单调递增→f'(x)≥0恒成立→分离参数求a的范围
解:由已知,得f'(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立,因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0.
反思感悟 已知f(x)在区间(a,b)上的单调性求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
延伸探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求a的取值范围.
解:f'(x)=3x2-a.①当a≤0时,f'(x)≥0,∴f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.此时不满足题意.
延伸探究2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.
延伸探究3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
利用导数证明不等式典例已知x>1,求证:x>ln(1+x).思路分析构造函数f(x)=x-ln(1+x),只要证明在x∈(1,+∞)上,f(x)>0恒成立即可.
证明:设f(x)=x-ln(1+x)(x≥1).
∴当x≥1时,f'(x)>0,∴f(x)在[1,+∞)上是增函数.又f(1)=1-ln 2>1-ln e=0,即f(1)>0,∴当x>1时,f(x)>0,故当x>1时,x>ln(1+x).
方法点睛 1.利用导数证明不等式,是不等式证明的一种重要方法,其关键是构造函数.2.要证不等式f(x)>g(x),可构造函数φ(x)=f(x)-g(x),只需证明φ(x)在其定义域上满足φ(x)>0即可,根据函数的单调性,借助于导数求解.
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(　　)
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,令f'(x)>0,即-3x2-2x+1>0,
2.(2020吉林吉化高二月考)若函数f(x)= x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(　　)A.(-∞,-1)∪[3,+∞)B.[-1,3]C.[0,3] D.[3,+∞)
3.函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是(　　)A.[3,+∞)B.[-3,+∞)C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)解析:f'(x)=3x2+a.令3x2+a≥0,得a≥-3x2.由题意,得a≥-3x2在x∈(1,+∞)上恒成立,所以a≥-3.答案:B
4.若函数f(x)=x3+ax+5的单调递减区间是[-2,2],则实数a的值为　　　　. 解析:f'(x)=3x2+a,依题意,3x2+a<0的解集为(-2,2),故a=-12.答案:-12
5.设f'(x)是函数f(x)的导数,y=f'(x)的图像如右图所示,则f(x)的图像最有可能是下列给出的四个图像中的　　　　　. 
解析:由f'(x)的图像知,x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数.只有③符合题意.答案:③