人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.2.2 导数与函数的极值、最值导学案

6.2.2　导数与函数的极值、最值

最新课程标准

    1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)

    2．会求函数的极值．(重点)

    3．会求函数在闭区间上的最值．

4．能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题．(难点)

[教材要点]

知识点一　极值点和极值的概念

知识点二　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值

假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得________与________，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．

[基础自测]

1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(　　)

A．极大值5，极小值－27  B．极大值5，极小值－11

C．极大值5，无极小值  D．极小值－27，无极大值

3．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　)

A．无最值  B．有极值

C．有最大值  D．有最小值

4．下列说法正确的是________．(填序号)

①函数的最大值一定是函数的极大值；

②开区间上的单调连续函数无最值；

③函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．

题型一　求函数的极值

例1　求下列函数的极值．

(1)f(x)＝x2－2x－1；

(2)f(x)＝－x3＋－6；

(3)f(x)＝|x|.

方法归纳

1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．

2．极值点与导数的关系

(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．

点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：

①f′(x0)＝0；

②点x0两侧f′(x)的符号不同．

(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．

跟踪训练1　已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________．

题型二　利用函数的极值求参数

例2　已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．

(1)求a，b的值；

(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．

　(1)求导函数f ′(x)，则由x＝1和x＝－是f ′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.

(2)由f(－1)＝求出c，再列表求解．

方法归纳

已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：

1．根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

2．因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．

跟踪训练2　已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．

题型三　求函数的最值

　如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．

1．观察[a，b]上函数y＝f(x)的图像，试找出它的极大值、极小值．

[提示]　f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．

2．结合图像判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？

[提示]　存在．f(x)的最小值为f(a)，f(x)的最大值为f(x3)．

3．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？

[提示]　不一定．也可能是区间端点的函数值．

例3　(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(　　)

A．72  B．36

C．12  D．0

(2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)

A．1－e  B．－1

C．－e  D．0

(3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．

方法归纳

求函数最值的四个步骤

第一步，求函数的定义域；

第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；

第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；

第四步，求极值、端点值，确定最值．

跟踪训练3　已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.

6．2.2　导数与函数的极值、最值

新知初探·自主学习

知识点一

f(x)≤f(x0)　y极大＝f(x0)　f(x)≥f(x0)　y极小＝f(x0)　极大值点与极小值点

知识点二

最大值　最小值

[基础自测]

1．解析：依题意，记函数y＝f′(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.

答案：B

2．解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.

当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.

∴当x＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．

答案：C

3．解析：f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．

答案：A

4．答案：②

课堂探究·素养提升

例1　解析：(1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1.

因为当x<1时，f′(x)<0，

当x>1时，f′(x)>0，

所以函数在x＝1处有极小值，且y极小＝－2.

(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.

令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1.

所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝－6.

(3)显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，

当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，

函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；

当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，

函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．

故当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝0.

跟踪训练1　解析：∵f′(x)＝2x－，

且函数定义域为(0，＋∞)，

令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，

∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.

答案：1

例2　解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－为f′(x)＝0的解．

∴

∴a＝－，b＝－2.经检验满足题意．

(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，

由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1.

∴f(x)＝x3－x2－2x＋1.

∴f′(x)＝3x2－x－2.

令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

∴f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，递减区间为.

当x＝－时，f(x)有极大值为f＝；

当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－.

跟踪训练2　解析：f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.

因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，

所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，

如图所示．

所以

解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．

例3　解析：(1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0，故选D.

(2)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1.

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，

∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B.

(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，

令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.

当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；

当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.

答案：(1)D　(2)B　(3)见解析

跟踪训练3　解析：f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，

当x∈(－2,0)时，f′(x)<0，

当x∈(0,2)时，f′(x)>0，

∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．

∴f(0)＝m＝1.

答案：1