高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.2.1导数与函数的单调性学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.2.1导数与函数的单调性学案设计，共11页。


6.2　利用导数研究函数的性质
6.2.1　导数与函数的单调性
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
1．通过利用导数判断函数单调性的学习，提升数学抽象素养．
2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养．


图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像．

(1)　　　　　　(2)
问题：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
知识点1　导数与函数的单调性的关系
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．

(1)　　　　　　　(2)
1．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
[提示]　f(x)是常函数．
2．在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？
[提示]　充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0．
1．函数y＝f(x)的图像如图所示，则(　　)

A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的正负不确定
B　[由图像可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0．]
知识点2　利用导数求函数的单调区间
在利用导数讨论函数的单调性时，先要确定函数的定义域，然后在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性．
求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是所求的单调区间．
(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．(2)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点(例如y＝|x|在x＝0处不可导，此处若无特殊说明，函数一般都是连续可导的)．(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0不易求解时，可通过列表的方法求函数f(x)的单调区间．(4)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．
2．若定义域为R的函数f(x)的导数f′(x)＝2x(x－1)，则f(x)在区间________内单调递增，在区间________内单调递减．
(1，＋∞)　(－∞，1)　[由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得x<1，故f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增，在区间(－∞，1)内单调递减．]

类型1　函数与导函数图像间的关系
【例1】　(1)函数y＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法：

①函数y＝f(x)的定义域是[－1，5]；
②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4]；
③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；
④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0．
其中正确的是(　　)
A．①②　　B．①③　　C．②③　　D．②④
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为(　　)

　　
　　 A　　　 　　　B　　　　 　C　　　　　　D
(1)A　(2)D　[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故①②正确，故选A．
(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，故选D．]

研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.

[跟进训练]
1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(　　)

A　　　　B　　　　　　C　　　　D
A　[因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．]
类型2　利用导数求函数的单调区间
　不含参数的函数的单调区间
【例2】　求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2·e－x．
[解]　(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝6x－，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，
令f′(x)<0，则0 令f′(x)>0，则x>，
∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)．
∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′
＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，
令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，
令f′(x)>0，则0 令f′(x)<0，则x<0或x>2，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．
　含参数的函数的单调区间
【例3】　(对接教材P90例5)讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
[思路点拨]　→求f′(x)
→
[解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－＝．
(1)当a＝0时，f′(x)＝，
由f′(x)＞0，得x＞1，
由f′(x)＜0，得0＜x＜1．
∴f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
(2)当a＞0时， f′(x)＝，
∵a＞0，∴－＜0．
由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1．
∴f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．

利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数．
(4)结合定义域写出单调区间．

[跟进训练]
2．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
[解]　f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)，
f′(x)＝ex－a．
若a≤0，则f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0．
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
类型3　已知函数的单调性求参数的范围

1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
[提示]　不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
[提示]　f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．

【例4】　已知函数f(x)＝x3－ax－1在(－∞，＋∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围．
[思路点拨]　→
→
[解]　由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，
因为3x2≥0，所以只需a≤0．
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
此时f(x)＝x3－1在R上是增函数．综上，a≤0．

1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的值．
[解]　f′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．不符题意．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f′(x)＜0．
∴f(x)在上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3．符合题意．
∴a＝3．
2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．
[解]　由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，
∴，即，∴a≥3．
即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．
[解]　∵f(x)＝x3－ax－1，
∴f′(x)＝3x2－a，
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1，1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3．
故a的取值范围为(0，3)．

1．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0．
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，区间(a，b)应是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，可转化为f′(x) ≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．

[跟进训练]
3．“m<4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋ln x在(0，＋∞)上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[若f(x)＝2x2－mx＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝4x－m＋≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，∴有4x＋≥m对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，
即m≤min，而4x＋≥2＝4，当且仅当x＝时等号成立，则m≤4．
∴“m<4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋ln x在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．故选A．]

1．函数f(x)＝ex的图像大致是(　　)
　　　
　　　A　　　　　　　B　　　　　C　　　　　D
B　[f′(x)＝(2x－2) ex＋(x2－2x) ex＝(x2－2) ex，
令f′(x)>0，解得：x>或x<－，令f′(x)<0，解得：－ 所以f(x)＝(x2－2x) ex在(－∞，－)单调递增，在(－，)单调递减，在(，＋∞)单调递增，故排除选项A和选项D，当x<0时，x2－2x>0，ex>0，所以f(x)＝(x2－2x)ex恒为正，排除选项C，即只有选项B符合要求，故选B．]
2．已知函数f(x) ＝ x(ex－e－x)，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D　[因为f(x) ＝ x，x∈R，定义域关于原点对称，
且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，
当x>0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增，故选D．]
3．函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
B　[函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－1，
由f′(x)＝－1>0，得0 所以函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是(0，1)，故选B．]
4．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调递减区间是________．
(1，2)　[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2．]
5．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
[1，＋∞)　[因为f′(x)＝3x2－2ax－1，由题意可知
f′(x)≤0在(0，1)内恒成立．
∴即a≥1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．研究函数与其导函数图像之间的关系的着手点是什么？
[提示]　研究一个函数与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．判断函数单调性的方法有哪些？
[提示]　(1)定义法．在定义域内任取x1，x2，且x1 (2)图像法．利用函数图像的变化趋势进行直观判断：
图像在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．
(3)导数法．利用导数判断可导函数f(x)在区间(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③确定单调性．