人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.3 基本初等函数的导数学案设计

6.1.3　基本初等函数的导数

必备知识·素养奠基

1.导函数

一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一个点x都可导,则称f(x)可导,此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f′(x),于是,在f(x)的定义域内,f′(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作:f′(x)(或y′,y′x),即f′(x)=y′=y′x=.

2.几个常用函数的导数

3.常用函数的导数公式,其中C,α,a均为常数,a>0,且a≠1

(1)函数f(x)=ax的导数与函数f(x)=ex的导数之间有什么关系?

提示:f(x)=ex是底数为e的指数函数,是特殊的指数函数,所以其导数f′(x)=ex也是f′(x)=axlna当a=e时的特殊情况.

(2)函数f(x)=logax与f(x)=lnx的导数之间有何关系?

提示:f(x)=lnx是f(x)=logax的一个特例,f(x)=lnx的导数也是f(x)=logax的导数的特例.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)(sinx)′=-cos x. (　　)

(2)′=. (　　)

(3)(log5x)′=. (　　)

(4)(lnx)′=. (　　)

提示:(1)×.(sin x)′=cos x.

(2)×.′=(x-1)′=-x-2=-.

(3)×.(log5x)′=.

(4)√.

2.已知f(x)=x2,则f′(3)等于 (　　)

A.0　　　　B.2x　　　　C.6　　　　D.9

【解析】选C.因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x,所以f′(3)=6.

关键能力·素养形成

类型一　利用导数公式计算导数

【典例】1.f(x)=a3(a>0,a≠1),则f′(2)= (　　)

A.8　　　　B.12　　　　C.8ln 3　　　　D.0

2.已知f(x)=,则f′(1)= (　　)

A.1  B.-1  C.3  D.-3

3.求下列函数的导数.

(1)y=x6. (2)y=2x. (3)y=log3x. (4)y=.

【思维·引】运用基本初等函数的导数公式.

【解析】1.选D.f(x)=a3(a>0,a≠1)是常数函数,

所以f′(x)=0.所以f′(2)=0.

2.选D.f(x)==x-3,所以f′(x)=-3x-4,

所以f′(1)=-3.

3.(1)y′=(x6)′=6x5.

(2)y′=(2x)′=2xln 2.

(3)y′ =(log3x)′ = .

(4)y′=′=(x-2)′=-2x-3.

　【内化·悟】

　运用导数公式求导需注意什么问题?

提示:认真审题,确定函数类型,准确选择公式计算.

　【类题·通】

　运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项

(1)对于简单的函数,直接套用公式;

(2)对于较为复杂,不能直接套用公式的,可先把题中函数恒等变形为基本初等函数,再求导.

　【习练·破】

1.已知函数f(x)=cos,则f′(x)= (　　)

A.sin　　　B.-sin　　　C.cos　　D.0

【解析】选D.f(x)=cos=-,所以f′(x)=0.

2.已知f(x)=,则f′=________. 

【解析】因为f(x)=,所以f′(x)=,

所以f′=×=.

答案:

【加练·固】

若函数f(x)=,则f′(1)= (　　)

A.0　　　　B.-　　　　C.1　　　　D.

【解析】选B.因为f(x)=,

所以f′(x)=-,f′(1)=-.

类型二　导数公式的应用

【典例】1.曲线y=在点处的切线方程为 (　　)

A.4x-4y+2-1=0

B.4x-4y+1=0

C.4x-4y+2-=0

D.4x+4y-3=0

2.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P处的切线方程为________. 

【思维·引】1.求函数y=在x=处的导数,即为切线的斜率.

2.先求函数y=ex在x=0的导数,依题意求出函数y=(x>0)上点P处的导数,从而求出点P的坐标.

【解析】1.选B.由于y=,所以y′=,于是y′=1,所以曲线在点处的切线的斜率等于1,切线方程为4x-4y+1=0.

2.由题意知,y′=ex,曲线在点(0,1)处的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y=(x>0)的导数为y′=-(x>0),曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-(m>0),由题意知k1k2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即点P的坐标为(1,1),k2=-1.点P处的切线方程为x+y-2=0.

答案:x+y-2=0

　【内化·悟】

　应用导数公式求切线方程的关键是什么?

提示:确定切点,求函数在切点处的导数,即切线的斜率.

　【类题·通】

　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.

(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.

【习练·破】

(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)

A.y=-2x-1  B.y=-2x+1

C.y=2x-3   D.y=2x+1

【解题指南】求得函数f(x)的导数f′(x),计算出f(1)和f′(1)的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.

【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.

【加练·固】

函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有________条. (　　) 

A.1　　　B.2　　　C.多于两个　　　D.不能确定

【解析】选B.因为f′(x)=3x2,所以令3x2=1,得x=±.

所以可得切点坐标为和.

所以f(x)=x3有两条斜率为1的切线.

课堂检测·素养达标

1.下列结论不正确的是 (　　)

A.若y=3,则y′=0

B.若y=,则y′=-

C.若y=-,则y′=-

D.若y=3x,则y′=3

【解析】选B.y′=′=()′=-=- .

2.若y=ln x,则其图象在x=2处的切线斜率是 (　　)

A.1　　　　　B.0　　　　　C.2　　　　　D.

【解析】选D.因为y′=,所以y′x=2=,

故图象在x=2处的切线斜率为.

3.若y=sin x,则y′= (　　)

A.   B.-  C.  D.-

【解析】选A.y′=cos x,y′=cos=.

4.曲线y=ln x与x轴交点处的切线方程是________. 

【解析】因为曲线y=ln x与x轴的交点为(1,0),

所以y′=1,切线的斜率为1,

所求切线方程为y=x-1.

答案:y=x-1