高中人教B版 (2019)6.1.2 导数及其几何意义学案

6.1.2　导数及其几何意义

必备知识·素养奠基

1.(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率=无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)=k.

　“当Δx无限接近于0时,无限接近于常数k”还可以怎样表示?

提示:还可以表示为,当Δx→0时,→k,或者写成=k,即f′(x0)=.

(2)瞬时变化率f′(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量Δx很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)Δx.

(1)函数y=f在x=x0处的导数一定存在吗?

提示:当Δx→0时,平均变化率的极限存在,则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数.

(2)函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?

提示:还可以表示为f′==等.

2.导数的几何意义

(1)割线:一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点,P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.

(2)切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率.切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

　(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗?

提示:曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.

(2)曲线的切线与导数有什么关系?

提示:①函数f(x)在x=x0处有导数,则函数f(x)在该点处必有切线,并且导数值就是该切线的斜率.

②函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定可导,例如f(x)=在x=0处有切线,但不可导.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值. (　　)

(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值.              (　　)

(3)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.              (　　)

(4)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率. (　　)

提示:(1)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的导数值.

(2)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线倾斜角的正切值.

(3)√.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.

(4)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,不是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率.

2.函数f(x)在x0处可导,则 (　　)

A.与x0,h都有关　　　　　　 B.仅与x0有关,而与h无关

C.与x0,h均无关     D.仅与h有关,而与x0无关

【解析】选B.因为f′(x0)=,

所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.

3.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y′|x=2等于________. 

【解析】因为直线3x-y-2=0的斜率为3,

所以由导数的几何意义可知y′|x=2=3.

答案:3

关键能力·素养形成

类型一　求函数在某点处的导数

【典例】求函数y=x+在x=1处的导数.

【思维·引】先求,再求得结果.

【解析】因为Δy=(1+Δx)+-(1+1)

=Δx+-1,

所以=1-,

所以==0.

　【素养·探】

　在求函数在某点处的导数时,经常利用核心素养中的数学运算,运用导数定义,通过计算求得.

将本例中的函数改为y=3x+2,结果如何?

【解析】=

==3.

　【类题·通】

　求函数y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的导数的三个步骤

简称:一差、二比、三极限.

　【习练·破】

　利用导数的定义,求函数y=+2在x=1处的导数.

【解析】因为Δy=-

=,

=

=,

所以y′|x=1=

==-2.

【加练·固】

　已知函数f(x)在x=1处存在导数,则= (　　)

A.f′(1)　 　B.3f′(1)　 　C.f′(1)　 　D.f′(3)

【解析】选C.

=

=f′(1).

类型二　导数的意义在实际问题中的应用

【典例】一质点做抛物线运动,已知在t s时,质点的运动路程(单位:m)为s=8-3t2.

(1)求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;

(2)求质点在t=1 s时的瞬时速度,并说明它们的意义.

【思维·引】(1)按照平均速度的定义式计算;

(2)取平均速度的极限即为瞬时速度.

【解析】(1)因为s=8-3t2,

所以Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,

所以质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度为:==-6-3Δt.

(2)质点在t=1 s时的瞬时速度即s′(1).

s′==(-6-3Δt)=-6.

质点在t=1 s时的瞬时速度为-6 m/s,说明在第1 s附近,质点的运动路程每秒大约减少6 m.

　【内化·悟】

本例中当导数值为正或负时,有什么不同的意义?

提示:当导数值为正时,则在某一时刻附近,质点的运动路程是增加的;当导数值为负时,则在某一时刻附近,质点的运动路程是减少的.

　【类题·通】

关于导数的实际意义

根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度、求已知曲线的切线直接促使了导数的产生.可以利用上述实际问题理解导数的实际意义,导数是在某一时刻附近的瞬时变化率,是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小.

　【习练·破】

柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体,如果开始加热后第x h的沥青温度(单位:℃)为y=f(x)=80x2+20,0≤x≤1,求f′(0.25),并说明它的实际意义.

【解析】因为f(x)=80x2+20,0≤x≤1,

所以=

=

==40+80Δx.

所以f′==40.

它的实际意义表示,在x=0.25 h附近,沥青的温度以40 ℃/h速率上升.

【加练·固】

一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T(单位:℃)与时间t(单位:min)之间的关系由函数T=f(t)给出,请问

(1)f′(t)是正数还是负数?有什么实际意义?

(2)f′(3)=-4的实际意义是什么?

【解析】(1)f′(t)<0,其意义为在t附近温度的瞬时变化率,f′(t)为负数,说明f(t)的值在t附近红茶的温度降低.

(2)f′(3)=-4的实际意义是:在3 min附近红茶的温度以4 ℃/min的速率下降.

类型三　导数几何意义的应用

【典例】已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程.

(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.

【思维·引】(1)先由已知求出l1的斜率,再由l1⊥l2,求出l2的斜率,进而求出切点坐标,得出l2的方程.

(2)先求出l1与l2的交点坐标,l1,l2与x轴的交点,进而求出直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.

【解析】(1)y′=

==(2x+Δx+1)=2x+1.

所以y′|x=1=2×1+1=3,

所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.

设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),

则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,

则有2b+1=-,b=-,B,

所以直线l2的方程为y=-x-.

(2)解方程组得

所以直线l1和l2的交点坐标为.

l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),.

所以所求三角形的面积S=××=.

【素养·探】

在导数几何意义的应用问题中,经常利用核心素养中的数学运算,运用导数的双重性和切点的双重性,列方程,通过计算得到答案.

将本例中“l1⊥l2”改为“l1与l2倾斜角互补”结果如何?

【解析】(1)由典例可知直线l1的斜率为3,方程为y=3x-3.

因为l1与l2倾斜角互补,所以直线l2的斜率为-3,

所以2b+1=-3,b=-2,B(-2,0),

所以直线l2的方程为y=-3x-6.

(2)解方程组解得

所以直线l1和l2的交点坐标为,

l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-2,0),

所以所求三角形的面积S=×3×=.

　【类题·通】

利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路

(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线的方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题.

(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点的坐标是常设的未知量.

　【习练·破】

1.若曲线y=x2上的点P处的切线与直线y=-x+1垂直,则在点P处的切线方程为 (　　)

A.2x-y-1=0　　　　　　　B.2x-y-2=0

C.x+2y+2=0     D.2x-y+1=0

【解析】选A.与直线y=-x+1垂直的直线的斜率为k=2.

由y=x2知,y′==(2x+Δx)=2x.

设点P的坐标为(x0,y0),则2x0=2,即x0=1,故y0=1.

所以在点P处的切线方程为y-1=2(x-1),

即2x-y-1=0.

2.求抛物线y=x2上的一点到直线x-y-2=0的最短距离.

【解析】根据题意可得,与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,由y=x2知,y′=

=(2x+Δx)=2x.设切点坐标为(x0,).

根据定义可求导数y′=2x0=1,

所以x0=,所以切点坐标为.

切点到直线x-y-2=0的距离d==.

所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.

课堂检测·素养达标

1.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 (　　)

A.不存在   B.与x轴平行或重合

C.与x轴垂直 D.与x轴斜交

【解析】选B.f′(x0)=0,说明曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,所以与x轴平行或重合.

2.已知函数y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是 (　　)

A.0>f′(xA)>f′(xB)  B.f′(xA)<f′(xB)<0

C.f′(xA)=f′(xB)   D.f′(xA)>f′(xB)>0

【解析】选B.f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故

f′(xA)<f′(xB)<0.

3.若函数y=f(x)在x=1处的导数为1,则= (　　)

A.2  B.1  C.   D.

【解析】选B.根据导数的定义,

=f′(1)=1.

4.已知直线y=3x+1与曲线y=x3+ax+3相切于点(1,4),则a=________. 

【解析】由于切点(1,4)在曲线y=x3+ax+3上,

所以4=13+a+3,解得a=0.

答案:0

【新情境·新思维】

李华在参加一次同学聚会时,用如图所示的圆口杯喝饮料,他想:如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同),那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t),则函数h(t)的图象可能是              (　　)

【解析】选B.由于圆口杯是“下细上粗”,又向杯子中倒饮料的速度一定,则开始饮料高度增加较快,以后饮料高度增加得越来越慢,仅有B符合.