数学选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题导学案

6.3　利用导数解决实际问题

关键能力·素养形成

类型一　函数的图象问题

【典例】给定函数f=ex-x.

(1)判断函数f的单调性,并求出f的值域;

(2)画出函数f的大致图象;

(3)求出方程f=m在区间[-1,2]的解的个数.

【思维·引】(1)求导数、求极值后确定最值,得到值域;

(2)利用函数的单调性,增长趋势作图;

(3)利用图象的交点个数判断解的个数.

【解析】(1)函数的定义域为R.

f′=ex-1,令f′=0,解得x=0.

f′,f的变化情况如表所示:

所以,f在区间上单调递减,在区间上单调递增.当x=0时,f的极小值f=1.

也是最小值,故函数f的值域为.

(2)由(1)可知,函数的最小值为1.

函数的图象经过特殊点f=+1,f=e2-2,f=1,

当x→+∞时,f→+∞,f′→+∞;

当x→-∞时,指数函数y=ex越来越小,趋向于0,因此函数f图象上的点逐渐趋向于直线y=-x.根据上述信息,画出函数f的大致图象如图所示.

(3)截取函数f在区间[-1,2]上的图象如图所示.

由图象得:当f<m≤f,即m∈时,f与y=m恰有两个不同交点,

即m∈时,方程f=m在区间上恰有两个不同的实根;

同理,当m=1或+1<m≤e2-2时,方程f=m在区间上有唯一的实根;

当m<1或m>e2-2时,方程f=m在区间上无实根.

【内化·悟】

作函数的图象时需要关注哪些方面?

提示:定义域、单调性、极值、最值以及图象的变化趋势等.

【类题·通】

作函数f图象的步骤

(1)求出函数的定义域;

(2)求导数f′及函数f′的零点;

(3)用f′的零点将f的定义域划分为若干个区间,列表给出f′在各个区间上的正负,并得出f的单调性与极值;

(4)确定f的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势;

(5)画出f的大致图象.

【习练·破】

函数f(x)=(x2+tx)ex(实数t为常数,且t<0)的图象大致是 (　　)

【解析】选B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C, 函数的导数f′(x)=(2x+t)ex+(x2+tx)ex=[x2+(t+2)x+t]ex,

当x→-∞时,f′(x)>0,即在x轴最左侧,函数f(x)为增函数,排除D.

类型二　实际生活中的最值问题

【典例】(2020·泰州高二检测)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件.

(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);

(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值.

【思维·引】(1)利润=每件商品的利润×销售量;(2)利用导数求最值.

【解析】(1)该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)= (x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9].

(2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x)

=(10-x)(18+2a-3x),

令L′(x)=0,得x =6+a或x=10(舍去).

因为1≤a≤3,所以≤6+a≤8.

所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a.

当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为(16-4a)万元.

【类题·通】

解决实际优化问题时应注意的问题

(1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域;

(2)一般地,通过函数的极值来求函数的最值.如果函数在给定区间上只有一个极值点,则根据所求即可判断该值是最大值还是最小值.

【习练·破】

(2020·焦作高二检测)欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖),为能使所用的材料最省,它的底面半径应为              (　　)

A.  B.   C.   D.

【解析】选C.设圆柱的底面半径为r,高为h,表面积为y,

则由题意有πr2h=V,所以h=.

蓄水罐的表面积y=πr2+2πrh=πr2+2πr=πr2+(r>0).

令y′=2πr-==0,得r=.

检验得,当r=时表面积取得最小值,即所用的材料最省.

类型三　利用导数研究函数的问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

角度1　恒成立问题

【典例】(2020·龙凤高二检测)函数f(x)=ex-kx,当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则k的取值范围是              (　　)

A.k≤1  B.k≤2  C.k≤e   D.k≤

【思维·引】转化为最值问题.

【解析】选C.依题意,ex-kx≥0在(0,+∞)上恒成立,

即k≤在(0,+∞)上恒成立,

令g(x)=(x>0),则g′(x)==,

当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,所以k≤e.

【素养·探】

将恒成立问题转化为最值问题用到了核心素养中的逻辑推理.

将本例改为在区间上存在x,使f(x)≥0成立,试求k的取值范围.

【解析】在区间上存在x,使f(x)≥0成立,即在区间上存在x,使k≤成立.令g(x)=(x>0),则g′(x)==,

因为当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,

又g=2,g=e3,所以g(x)max=g=e3.

所以k≤e3.

角度2　证明问题

【典例】已知函数f(x)=aex-bln x在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-1)x+1.

(1)求a,b的值;

(2)求证:f(x)>2.

【思维·引】(1)利用切点坐标、切线斜率构造方程(组)求值.

(2)转化为最值进行证明.

【解析】(1)函数f=aex-bln x的导数为f′=aex-,

函数f=aex-bln x在点处的切线斜率为k=ae-b,由切线方程y=x+1,可得

ae-b=e-1,e=ae,解得a=1,b=1.

(2)f=ex-ln x,导数为f′=ex-,x>0,

易知f′为增函数,且f′>0,f′<0.

所以存在m∈,有f′=0,即em=,

且x>m时,f′>0,f递增;

0<x<m时,f′<0,f递减,

可得在x=m处f取得最小值,f=em-ln m=+m>2,可得f>2成立.

【类题·通】

1.关于恒成立问题

注意区分“对于定义域内的任意值”“在定义域内存在值”成立的区别,两种叙述反映了不同的逻辑关系,对应的最值类型不同,要准确判断针对的是最大值还是最小值,确定好最值类型后利用导数求最值解题.

2.关于证明问题

首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关,如果有关则转化为相应的问题证明;其次是针对要证明的命题构造函数,再通过构造的函数性质证明.函数的证明问题往往都比较复杂,需要综合应用函数、导数等知识进行构造、转化等方式证明.

【习练·破】

1.(2020·秦州高二检测)已知函数f(x)=-mx(e为自然对数的底数),若f(x)<0在(0,+∞)上有解,则实数m的取值范围是              (　　)

A.(e,+∞)   B.(-∞,e)

C.  D.

【解析】选C.由f(x)=-mx<0在(0,+∞)上有解,

可得,m>在(0,+∞)上有解,令g(x)=,x>0,

则m>g(x)min,g′(x)=,

则当0<x<2时,g′(x)<0,函数单调递减,

当x>2时,g′(x)>0,函数单调递增,

故当x=2时,函数g(x)取得最小值,g(2)=.故m>.

2.已知函数f(x)=aln x+bx,g(x)=x2-,曲线y=f在点处的切线方程为x-2y-2=0.

(1)求a,b的值;

(2)证明:f(x)≤g(x).

【解析】(1)f′(x)=+b,则a+b=,f(1)=b=-,

解得a=1,b=-.

(2)令h(x)=ln x-x-x2+,

则h′(x)=--x=,又x>0,

则h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,

所以h(x)≤h(1)=0,f(x)≤g(x)成立.

课堂检测·素养达标

1.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为 (　　)

A.4 m2     B.8 m2    C.12 m2   D.16 m2

【解析】选D.设矩形一边长为x m(0<x<8),则另一边长为(8-x)m.S=x(8-x),易知当x=4时,S有最大值16 m2.

2.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2·(0<x<60),则当箱子的容积最大时,x的值为              (　　)

A.30   B.40   C.50   D.60

【解析】选B.V(x)=-x3+30x2,V′(x)=-x2+60x,令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0<x<40时,V′(x)>0,当40<x<60时,V′(x)<0,故V(x)在x=40时取得最大值.

3.函数f(x)=x3-x2-2x+5,若对于任意x∈[-1,2],都有f(x)<m,则实数m的取值范围是________. 

【解析】f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得x=-或x=1.可求得f(x)max=f(2)=7.

所以对于任意x∈[-1,2],f(x)<m恒成立时,m>7.

答案:m>7

4.已知函数f(x)=ex(ln x-1),使得f(m)≥-e成立的实数m的取值范围为________. 

【解析】f′(x)=ex,令g(x)=ln x+-1,

则g′(x)=-=,

当0<x<1时,g′(x)<0,函数单调递减,

当x>1时,g′(x)>0,函数单调递增,

故g(x)≥g(1)=0,即f′(x)≥0恒成立,

从而f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-e,故m≥1.

答案:[1,+∞)

【新情境·新思维】

随着人们生活水平的提高,汽车的拥有量越来越多,据有关统计数据显示,从上午6点到9点,车辆通过某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表示为y=-t3-t2+36t-.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是________. 

【解析】由题意知,所求的量为当y为最大值时的自变量t的取值,y′=-t2-t+36,令y′=0,

得3t2+12t-36×8=0,解得t1=8,t2=-12(舍).

当t∈(6,8)时,y′>0,t∈(8,9)时,y′<0,

所以t=8时,y有最大值.

答案:8点