苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质精品测试题

这是一份苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质精品测试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第5节 相似三角形的性质








一、单选题（共8小题）


1.已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（ ）


A．1：1B．3：2C．6：2D．9：4


【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3：2，


∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：9：4．


故选：D．


【知识点】相似三角形的性质


2.两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（ ）cm．


A．16B．16或28C．36D．16或36


【解答】解：∵两个相似三角形面积比是4：9，


∴两个相似三角形相似比是2：3，


∴两个相似三角形周长比是2：3，


∵一个三角形的周长为24cm，


∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，


故选：D．


【知识点】相似三角形的性质


3.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝3，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）





A．B．C．D．


【解答】解：∵AD＝1，DB＝3，


∴AB＝4，


∵DE∥BC，


∴△ADE∽△ABC，


∴＝（）2＝，


故选：D．


【知识点】相似三角形的判定与性质


4.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（ ）


A．60B．70C．80D．90


【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，


∴面积比为4：9，


∵△ABC的面积为40，


∴△DEF的面积为90，


故选：D．


【知识点】相似三角形的性质


5.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（ ）





A．∠OAD＝∠OBCB．＝


C．＝D．＝


【解答】解：∵OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，


∴，


∵∠AOD＝∠BOC，


∴△OAD∽△OBC，


∴∠OAD＝∠OBC，，


同理可得△AOB∽△DOC，


，，


故B，C，D选项不正确，


故选：A．


【知识点】相似三角形的判定与性质


6.矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是CD上的动点，当∠APB＝90°时，DP的长是（ ）





A．2B．6C．2 或 6D．2 或 8


【解答】解：如图，以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；


设PC＝x，则PD＝10﹣x，


∵四边形ABCD是矩形，


∴∠D＝∠C＝90°，


∴∠DAP+∠APD＝90°，


∵∠APB＝90°，


∴∠APD+∠BPC＝90°，


∴∠DAP＝∠CPB，


∴△ADP∽△PCB，


∴＝，即＝，


解得：x＝2或8，


PD＝10﹣x＝2或8，即PD＝2或8．


故选：D．





【知识点】相似三角形的判定与性质、矩形的性质


7.如图，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE＝CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF＝10，则AB的长为（ ）





A．12B．10C．8D．5


【解答】解：∵BF∥DE，


∴△ADE∽△ABF，


∴＝，即＝，


解得，DE＝5，


∵CE＝CD，


∴CE＝1，CD＝4，


∵∠ACB＝90°，D为AB中点，


∴AB＝2CD＝8，


故选：C．


【知识点】直角三角形斜边上的中线、相似三角形的判定与性质


8.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则等于（ ）





A．1B．C．D．


【解答】解：∵DE∥BC，


∴△ADDE∽△ABC，


∴＝（）2，


设＝a，


∴＝＝1，


∴a2＝，


∴a＝，a＝（舍去）


故选：B．


【知识点】相似三角形的判定与性质








二、填空题（共6小题）


9.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长 ．





【解答】解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，


∴CD＝BD＝2，


∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝3，


∵CD平分∠ACB，


∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，


∵∠A＝∠A，


∴△ACD∽△ABC，


∴＝，


∴AC2＝AD×AB＝1×3＝3，


∴AC＝，


故答案为：．


【知识点】线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质


10.如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为 ．





【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，


∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝12，∠B＝90°，


∴AC＝＝＝15，


∵E是边AB中点，


∴AE＝6，


∵AB∥CD，


∴△AEF∽△CDF，


∴＝，


∴CF＝2AF，


∵AF+CF＝AC＝15，


∴AF＝5，


∴CF＝10，


故答案为：10．


【知识点】相似三角形的判定与性质、矩形的性质


11.如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝6，BP＝4，则AC的长为 ．





【解答】解：∵AP＝6，BP＝4，


∴AB＝10，


∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，


∴△ACP∽△ABC，


∴，


∴AC2＝6×10，


∴AC＝2，


故答案为：2．


【知识点】相似三角形的判定与性质


12.如果点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点，那么△ADE与△ABC的周长之比是 ．


【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点，


∴DE是△ABC的中位线，


∴，


∴＝＝


故答案为：1：2．


【知识点】相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理


13.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是 ．





【解答】解：∵点A′恰好是△ABC的重心，


∴A'D＝AD，


∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，


∴△ABC∽△A'MN，


∴△A′MN面积与△ABC的面积之比＝（）2＝，


故答案为：．


【知识点】相似三角形的判定与性质


14.如图，7个腰长为1的等腰直角三角形（Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3…）有一条腰在同一条直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，则S1+S2+S3+S4+S5+S6＝ ．





【解答】解：解：连接B1、B2、B3、B4．





∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，


∴＝×1×1＝，＝×2×1＝1，＝×3×1＝，…＝＝3，


连接B1、B2、B3点，显然它们共线且平行于AA1


易知S1＝，


∵B2B3∥AA2，


∴△B2C2B3∽△A2C2A，


∴＝，


∴S2＝＝，


同理可求，S3＝＝，S4＝×2＝，S5＝＝，S6＝＝，


∴S1+S2+S3+S4+S5+S6＝＝，


故答案为：．


【知识点】相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形








三、解答题（共5小题）


15.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．


（1）求证：△ADF∽△EAB；


（2）若DF＝6，直接写出线段EF的长．





【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，


∴∠B＝90°，AD＝BC＝10，AD∥BC，


∵AD∥BC，


∴∠AEB＝∠EAD，


∵DF⊥AE，


∴∠F＝90°，


∵∠F＝∠B，∠FAD＝∠BEA，


∴△ADF∽△EAB；


（2）解：在Rt△ADF中，AF＝＝＝8，


∵△ADF∽△EAB，


∴＝，即＝，解得BE＝4，


在Rt△ABE中，∵AB＝3，BE＝4，


∴AE＝＝5，


∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．


【知识点】相似三角形的判定与性质、矩形的性质


16.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是过点A的⊙O的切线上一点，连接OC，过点A作OC的垂线交OC于点D，交⊙O于点E，连接CE．


（1）求证：CE与⊙O相切；


（2）连结BD并延长交AC于点F，若OA＝5，sin∠BAE＝，求AF的长．





【解答】解：（1）证明：连接OE，





∵OA＝OE，OD⊥AE，


∴∠AOD＝∠EOD，


∵OC＝OC，


∴△AOC≌△EOC（SAS），


∴∠CAO＝∠CEO，


∵CA为⊙O的切线，


∴∠CAO＝90°，


∴∠CEO＝90°，


即OE⊥CE，


∴CE与⊙O相切；


（2）过点D作DH⊥AB于点H，





∵OA＝5，sin∠BAE＝，


∴在Rt△ADO中，sin∠DAO＝，


∴OD＝


∴AD＝＝2，


∵S△ADO＝×OD×AD＝OA×OH，


∴DH＝＝2，


∴OH＝＝1，


∴BH＝5+1＝6，


∵DH⊥AB，AF⊥AB，


∴DH∥AF，


∴△BDH∽△BFA，


∴，


∴，


∴AF＝．


【知识点】切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理


17.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC．


（1）求证：CA平分∠DCE；


（2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．





【解答】（1）证明：∵AB＝AC，


∴∠B＝∠ACB，


∵∠DAE＝∠BAC，


∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，


在△ABD和△ACE中，


，


∴△ABD≌△ACE（SAS），


∴∠B＝∠ACE，


∴∠ACB＝∠ACE，


∴CA平分∠DCE；


（2）证明：∵AB2＝BD•BC，


∴＝，


又∠B＝∠B，


∴△ABD∽△CBA，


∴∠BAD＝∠ACB，


∵△ABD≌△ACE，


∴∠BAD＝∠CAE，


∴∠CAE＝∠ACB，


∴AE∥BD，


∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，


∴∠ACB＝∠ADE，


∴∠BAD＝∠ADE，


∴AB∥DE，


∵AE∥BD，AB∥DE，


∴四边形ABDE是平行四边形．


【知识点】平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质


18.已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．


（1）求证：AD＝DE；


（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．





【解答】证明：（1）∵BC2＝CE•CA，


∴，又∠ECB＝∠BCA，


∴△BCE∽△ACB，


∴∠CBE＝∠CAB，


∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，


∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，


∴∠BEC＝∠DAE，


∵∠BEC＝∠DEA，


∴∠DAE＝∠DEA，


∴AD＝DE；


（2）∵DF⊥AC，AC⊥BC，


∴∠DFE＝∠BCA＝90°，


∴DF∥BC，


∴，


∵DC∥AB，


∴，


∴，


∴CE2＝AE•EF，


∵AD＝DE，DF⊥AC，


∴AF＝EF，


∴CE2＝AE•AF．





【知识点】直角梯形、相似三角形的判定与性质


19.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．


（1）求证：DE⊥AC；


（2）若AB＝10，BF＝，求AE的长．





【解答】解：（1）连接OD、AD，





∵DE切⊙O于点D，


∴OD⊥DE，


∵AB是直径，


∴∠ADB＝90°，


∵AB＝AC，


∴D是BC的中点，


又∵O是AB中点，


∴OD∥AC，


∴DE⊥AC；





（2）∵AB＝10，


∴OA＝OB＝OD＝5，


∴OF＝BO+BF＝，AF＝BF+AB＝，


由（1）得OD∥AC，


∴△ODF∽△AEF，


∴，


∴，


∴AE＝8．


【知识点】等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆周角定理