高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精品课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精品课时训练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(25分钟·50分)


一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)


1.数列,,,,…的递推公式可以是( )


A.an=(n∈N*)


B.an=(n∈N*)


C.a1=,an+1=an(n∈N*)


D.a1=,an+1=2an(n∈N*)


【解析】选C.数列从第2项起,后一项是前一项的,故递推公式为a1=,an+1=an(n∈N*).


2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=( )


A.-3B.-11C.-5D.19


【解析】选D.a3=a2+a1=5+2=7,


a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19.


3.(多选题)如果{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为( )


A.an=2n+3B.an=-n2-3n+1


C.an=D.an=1+lg2n


【解析】选AD.A是n的一次函数,一次项系数为2,所以为递增数列;


B是n的二次函数,二次项系数为-1,且对称轴为n=-,所以为递减数列;


C是n的指数函数,且底数为,是递减数列;


D是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.


【加练·固】


在递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是( )


A.R B.(0,+∞)


C.(-∞,0)D.(-∞,0]


【解析】选C.因为{an}是递减数列,


所以an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.


4.已知数列{an},a1=1,ln an+1-ln an=1,则数列{an}的通项公式是( )


A.an=nB.an=


C.an=en-1D.an=


【解析】选C.因为ln an+1-ln an=1,所以ln=1.所以=e.由累乘法可得an=en-1.


二、填空题(每小题5分,共10分)


5.已知数列{an}满足a1=1,an=nan-1(n≥2),则a5=________.


【解析】因为an=nan-1,且n≥2,所以


当n=2时,a2=2a1=2;


当n=3时,a3=3a2=6;


当n=4时,a4=4a3=24;


当n=5时,a5=5a4=120.


故a5=120.


答案:120


6.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=________.


【解析】由题意a1a2a3=32,a1a2=22,


a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,


则a3==,a5==.故a3+a5=.


答案:


三、解答题(每小题10分,共20分)


7.根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.


(1)a1=1,an+1=an+(n∈N*).


(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).


【解析】(1)a1=1,a2=,a3==2,a4=.猜想an=.


(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.


8.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,求{an}的通项公式an.


【解析】因为数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,


所以a1=S1=2×12-3×1+1=0,


当n≥2时,an=Sn-Sn-1


=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2-3(n-1)+1]


=4n-5.


n=1时,4n-5=-1≠a1,


所以{an}的通项公式an=(n∈N*).


(15分钟·30分)


1.(5分)已知,在数列{an}中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2 012=( )


A.3B.-3C.6D.-6


【解析】选C.由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,


…


故知{an}是周期为6的数列,


所以a2 012=a2=6.


2.(5分)已知数列{an}满足an=若对于任意的n∈N*都有an

A.(1,4)B.(2,5)C.(1,6)D.(4,6)


【解析】选A.因为对于任意的n∈N*都有an

所以应满足解得1

故实数a的取值范围是(1,4).


3.(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn=n2+n(n∈N*),则S3=________,数列{an}的通项公式an=________.


【解析】由Sn=n2+n,所以S3=9+3=12.


当n=1时,a1=S1=1+1=2,


当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当n=1时,得a1=2成立,所以an=2n.


答案:12 2n


4.(5分)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:


(1)该数列有无限多个正数项.


(2)该数列有无限多个负数项.


(3)该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值.


(4)-70是该数列中的一项.


其中正确说法的序号为________.


【解析】令-2n2+13n>0,得0

令-2n2+13n=-70,得n=10,或n=-(舍去).


即-70是该数列的第10项,所以(4)正确.


答案:(2)(4)


5.(10分)已知数列{an}满足a1=,n≥2时,anan-1=an-1-an,求数列{an}的通项公式.


【解析】因为anan-1=an-1-an,所以-=1.


所以n≥2时,=+++…+=2+


=n+1.所以=n+1,所以当n≥2时,an=.当n=1时,a1=也适合上式,所以an=(n∈N*).





1.(2020·辛集高二检测)已知an=(n∈N*),则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是( )


A.a1,a50B.a1,a44


C.a45,a50D.a44,a45


【解析】选D.an==1+,


因为442=1 936,452=2 025,


所以n≤44时,数列{an}单调递减,且01.


所以在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44,a45.


2.设an=n2-2kn+6(n∈N*,k∈R)


(1)证明:k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件;


(2)若对任意的n∈N*,≥1,求k的取值范围.


【解析】(1)an+1-an=(n+1)2-2k(n+1)+6-(n2-2kn+6)=2n+1-2k>0,


解得k<,所以k<.


所以k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件.


(2)因为对任意的n∈N*,≥1,


所以n+-2k≥1,即n+≥2k+1,


因为n+≥5,


所以2k+1≤5,所以k≤2.


所以k的取值范围是k≤2.





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