人教A版 (2019)4.1 数列的概念优秀第1课时学案及答案

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4.1 数列的概念


第1课时 数列的概念及简单表示法








1．一尺之棰，日取其半，万世不竭．





1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…


2．三角形数





3．正方形数





思考：这些数有什么规律？与它所表示图形的序号有什么关系？





1．数列的概念及一般形式





思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？


(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？


[提示] (1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．


(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．


2．数列的分类


3．数列的通项公式


如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．


4．数列与函数的关系


从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：


思考：数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？


[提示] 如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．








1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)数列2，4，6，8，…2n是无穷数列．( )


(2)通项公式为an＝n＋1的数列是递增数列．( )


(3)数列4，0，－2，－4，－6的首项是4．( )


(4)30是数列an＝2n－1中的某一项．( )


[提示] (1)× 无穷数列的末尾带有….


(2)√ an＝n＋1对应的函数y＝x＋1是增函数，所以an＝n＋1是递增数列．


(3)√ 第一个位置的项是首项．


(4)× 当2n－1＝30时，n值不是正整数．


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×


2．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于( )


A．2 B．3 C．9 D．32


B [将n＝2代入通项公式，得a2＝32－1＝3.]


3．下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2…的通项公式的是( )


A．an＝1B．an＝eq \f(－1n＋1,2)


C．an＝2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(nπ,2)))D．an＝eq \f(－1n－1＋3,2)


C [代入验证可知C正确．]


4．数列1，2， eq \r(7)，eq \r(10)，eq \r(13)，…中的第26项为________．


2eq \r(19) [因为a1＝1＝eq \r(1)，a2＝2＝eq \r(4)，


a3＝eq \r(7)，a4＝eq \r(10)，a5＝eq \r(13)，所以an＝eq \r(3n－2)，


所以a26＝eq \r(3×26－2)＝eq \r(76)＝2eq \r(19).]


5．(一题两空)填空：2，3，____，5，2，____，2，9，2，11，…


2 7 [观察发现规律an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n为奇数，,n＋1，n为偶数.))]





【例1】 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )


A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…


B．sineq \f(π,7)，sineq \f(2π,7)，sineq \f(3π,7)，…


C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，…


D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(21)


(2)(一题多空)已知下列数列：


①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020；


②1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…；


③1，－eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，…，eq \f(－1n－1·n,2n－1)，…；


④1，0，－1，…，sineq \f(nπ,2)，…；


⑤2，4，8，16，32，…；


⑥－1，－1，－1，－1.


其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．


(1)C [ABC为无穷数列，其中A是递减数列，B是摆动数列，C是递增数列，故选C.]


(2)①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]





1．有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．


2．数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列；若an与an＋1的大小不确定，则{an}是摆动数列．





[跟进训练]


1．(一题多空)给出下列数列：


①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；


②无穷多个eq \r(3)构成数列eq \r(3)， eq \r(3)， eq \r(3)， eq \r(3)，…；


③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….


其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．


① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]


【例2】 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．


(1)1，3，7，15，31，…；


(2)4，44，444，4 444，…；


(3)－1eq \f(1,4)，3eq \f(2,9)，－5eq \f(3,16)，7eq \f(4,25)，－9eq \f(5,36)，…；


(4)2，－eq \f(4,5)，eq \f(1,2)，－eq \f(4,11)，eq \f(2,7)，－eq \f(4,17)，…；


(5)1，2，1，2，1，2，….


[思路探究] 观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系．


[解] (1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1.


(2)各项乘eq \f(9,4)，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝eq \f(4,9)(10n－1)．


(3)所给数列有这样几个特点：


①符号正、负相间；


②整数部分构成奇数列；


③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；


④分数部分的分子依次大1.


综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为


an＝(－1)neq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n－1＋\f(n,n＋12)))，


所以an＝(－1)neq \f(2n3＋3n2＋n－1,n＋12).


(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为eq \f(4,2)，－eq \f(4,5)，eq \f(4,8)，－eq \f(4,11)，…，再把各分母分别加上1，数列又变为eq \f(4,3)，－eq \f(4,6)，eq \f(4,9)，－eq \f(4,12)，…，所以an＝eq \f(4×－1n＋1,3n－1).


(5)法一：可写成分段函数形式：


an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n为奇数，n∈N*，,2，n为偶数，n∈N*.))


法二：an＝eq \f(1＋2＋－1n＋11－2,2)


＝eq \f(3＋－1n＋1－1,2)


即an＝eq \f(3,2)＋eq \f(－1n,2).





1．常见数列的通项公式归纳


(1)数列1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n；


(2)数列1，3，5，7，…的一个通项公式为an＝2n－1；


(3)数列2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n；


(4)数列1，2，4，8，…的一个通项公式为an＝2n－1；


(5)数列1，4，9，16，…的一个通项公式为an＝n2；


(6)数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n；


(7)数列1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…的一个通项公式为an＝eq \f(1,n).


2．复杂数列的通项公式的归纳方法


①考察各项的结构；②观察各项中的“变”与“不变”；③观察“变”的规律是什么；④每项符号的变化规律如何；⑤得出通项公式．





[跟进训练]


2．写出下面各数列的一个通项公式：


(1)9，99，999，9 999，…；


(2)1，－3，5，－7，9，…；


(3)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)，…；


(4)3，5，9，17，33，….


[解] (1)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.


(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1，考虑到(－1)n＋1具有转换正、负号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．


(3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，….所以，它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2).


(4)3可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，…，所以原数列的一个通项公式为an＝2n＋1.


[探究问题]


1．根据通项公式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？若是，是第几项？


[提示] 根据an，求第几项，采用的是代入法，如第5项就是令n＝5，求a5.判断某项是否是数列中的项，就是解方程．令an等于该项，解得n∈N*即是，否则不是．


2．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．


[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．





【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.


(1)写出此数列的第4项和第6项；


(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？


[思路探究] (1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可；


(2)令3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断．


[解] (1)a4＝3×42－28×4＝－64，


a6＝3×62－28×6＝－60.


(2) 令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝eq \f(7,3)(舍去)，


所以－49是该数列的第7项；


令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝eq \f(34,3)，均不合题意，所以68不是该数列的项．





1．(变结论)若本例中的条件不变，


(1)试写出该数列的第3项和第8项；


(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？


[解] (1)因为an＝3n2－28n，


所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.


(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－eq \f(2,3)(舍去)，


所以20是该数列的第10项．


2．(变条件，变结论)若将例题中的“an＝3n2－28n”变为“an＝n2＋2n－5”，试判断数列{an}的单调性．


[解] ∵an＝n2＋2n－5，


∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)


＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.


∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.


∴数列{an}是递增数列．





1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．


2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．


3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．











1．数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N*(或它的一个子集{1，2，3，…，n})．


2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式，也并不是通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，n为奇数，,1，n为偶数.))


3．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．


4．数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．





1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于( )


A．11 B．12


C．13D．14


C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.]


2．已知数列1，eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7)，…，eq \r(2n－1)，则3eq \r(5)是它的( )


A．第22项B．第23项


C．第24项D．第28项


B [令eq \r(2n－1)＝3eq \r(5)，解得n＝23.所以3eq \r(5)是它的第23项，故应选B.]


3．数列{an}：－eq \r(3)，3，－3eq \r(3)，9，…的一个通项公式是( )


A．an＝(－1)neq \r(3n)(n∈N*)


B．an＝(－1)neq \r(3n)(n∈N*)


C．an＝(－1)n＋1eq \r(3n)(n∈N*)


D．an＝(－1)n＋1eq \r(3n)(n∈N*)


B [该数列的前几项可以写成－eq \r(3)，eq \r(32)，－eq \r(33)，eq \r(34)，…，故可以归纳为an＝(－1)neq \r(3n).故选B.]


4．(一题两空)已知数列{an}的通项公式an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 020－a2 019＝________.


27 4 [a7＝4×7－1＝27，a2 020－a2 019＝(4×2 020－1)－(4×2 019－1)＝4(2 020－2 019)＝4.]


5．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,nn＋2)(n∈N*)，则


(1)计算a3＋a4的值；


(2)eq \f(1,120)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．


[解] (1)∵an＝eq \f(1,nn＋2)，


∴a3＝eq \f(1,3×5)＝eq \f(1,15)，a4＝eq \f(1,4×6)＝eq \f(1,24)，


∴a3＋a4＝eq \f(1,15)＋eq \f(1,24)＝eq \f(13,120).


(2)是．若eq \f(1,120)为数列{an}中的项，则eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,120)，


∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，


∴n＝10或n＝－12(舍)，即eq \f(1,120)是数列{an}的第10项．





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解数列的概念．(重点)


2.掌握数列的通项公式及应用．(重点)


3.理解数列是一种特殊的函数．理解数列与函数的关系．(易混点、难点)


4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点)
1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养.


2.借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.


3.借助数列与函数关系的理解，提升学生的数学建模和直观想象素养.
类别
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
定义域
正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
数列的概念与分类
由数列的前几项求通项公式
通项公式的应用