高中数学第四章 数列4.2 等差数列第1课时导学案

这是一份高中数学第四章 数列4.2 等差数列第1课时导学案，共10页。

4.2.1 等差数列的概念


第1课时 等差数列的概念及简单表示











某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，….


思考：第30排有多少个座位？





1．等差数列的概念





2．等差中项


(1)条件：如果a，A，b成等差数列．


(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．


(3)满足的关系式是a＋b＝2A.


思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：


(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.


[提示] 插入的数分别为3，2，eq \f(a＋b,2)，0.


3．等差数列的通项公式


以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.


思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？


[提示] 还可以用累加法，过程如下：


∵a2－a1＝d，


a3－a2＝d，


a4－a3＝d，


…


an－an－1＝d(n≥2)，


将上述(n－1)个式子相加得


an－a1＝(n－1)d(n≥2)，


∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，


当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，


∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．


4．从函数角度认识等差数列{an}


若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．


(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；


(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.


思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？


[提示] 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．





1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )


(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．( )


(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( )


[提示] (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．


[答案] (1)× (2)√ (3)√


2．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝( )


A．22 B．24 C．26 D．28


D [a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.]


3．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为( )


A．－1B．1


C．3D．4


D [由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.]


4．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于________．


60° [因为三内角A，B，C成等差数列，


所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，


所以3B＝180°，所以B＝60°.]


5．已知数列{an}的首项a1＝eq \f(1,3)，且满足eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋5(n∈N*)，则a6＝________.


eq \f(1,28) [由条件知，eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝5，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))为等差数列，且eq \f(1,a1)＝3，∴eq \f(1,a6)＝3＋5×5＝28，即a6＝eq \f(1,28).]





【例1】 已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.


[解] 法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))


故a75＝a1＋74d＝eq \f(64,15)＋74×eq \f(4,15)＝24.


法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq \f(20－8,60－15)＝eq \f(4,15)，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq \f(4,15)＝24.


法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15k＋b＝8，,60k＋b＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(4,15)，,b＝4.))∴a75＝75×eq \f(4,15)＋4＝24.





等差数列通项公式的妙用


1等差数列{an}的通项公式an＝a1＋n－1d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.


2从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式an＝a1＋n－1d可得an＝dn＋a1－d，当d≠0时，an是关于n的一次函数.


3由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项.





[跟进训练]


1．在等差数列{an}中，


(1)已知a1＝6，d＝3，求a8；


(2)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；


(3)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n：


(4)已知a7＝eq \f(1,2)，d＝－2，求a1.


[解] (1)∵a1＝6，d＝3，


∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3.


∴a8＝3×8＋3＝27.


(2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝eq \f(a10－a4,10－4)＝eq \f(－6,6)＝－1，


∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14，


∴a7＝－7＋14＝7.


(3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14，


∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18.


(4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝eq \f(1,2)，∴a1＝eq \f(25,2).


【例2】 (1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．


(2)已知eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)是等差数列，求证：eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)也是等差数列．


[思路探究] (1)eq \x(列方程组)―→eq \x(求解m，n)―→


eq \x(求m，n的等差中项)


(2)





(1)6 [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋2n＝8×2＝16，,2m＋n＝10×2＝20，))


∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴eq \f(m＋n,2)＝6.]


(2)[证明] ∵eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，


∴eq \f(2,b)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．


∵eq \f(b＋c,a)＋eq \f(a＋b,c)＝eq \f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq \f(a2＋c2＋ba＋c,ac)＝eq \f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq \f(2a＋c2,ba＋c)＝eq \f(2a＋c,b)，


∴eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)成等差数列．





等差中项应用策略


1求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝eq \f(x＋y,2).


2证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.





[跟进训练]


2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．


[解] ∵－1，a，b，c，7成等差数列，


∴b是－1与7的等差中项，


∴b＝eq \f(－1＋7,2)＝3.


又a是－1与3的等差中项，


∴a＝eq \f(－1＋3,2)＝1.


又c是3与7的等差中项，


∴c＝eq \f(3＋7,2)＝5.


∴该数列为：－1，1，3，5，7.


[探究问题]


1．在数列{an}中，若an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N*)，则{an}是等差数列吗？为什么？


[提示] 由等差数列的定义可知满足an－an－1＝d(常数)(n≥2)是等差数列．


2．在数列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)成立，则{an}是等差数列吗？为什么？


[提示] 是，由等差中项的定义可知．


3．若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？


[提示] ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.


∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．


【例3】 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2).


(1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由；


(2)求an.


[解] (1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：


∵a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,an)，


∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)，


即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，公差为d＝eq \f(1,2)的等差数列．


(2)由(1)可知eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝eq \f(n,2)，∴an＝eq \f(2,n).





1．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换为“a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq \f(1,an－2)”．


(1)试证明数列{bn}为等差数列；


(2)求数列{an}的通项公式．


[解] (1)证明：bn＋1－bn＝eq \f(1,an＋1－2)－eq \f(1,an－2)


＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(4,an)))－2)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an,2an－2)－eq \f(1,an－2)


＝eq \f(an－2,2an－2)＝eq \f(1,2).


又b1＝eq \f(1,a1－2)＝eq \f(1,2)，


∴数列{bn}是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列．


(2)由(1)知bn＝eq \f(1,2)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)n.


∵bn＝eq \f(1,an－2)，


∴an＝eq \f(1,bn)＋2＝eq \f(2,n)＋2.


∴数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2,n)＋2.


2．(变条件)将本例中条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换成“a1＝eq \f(1,5)，n≥2时有eq \f(an－1,an)＝eq \f(2an－1＋1,1－2an)(n＞1，n∈N*)”，结论如何？


[解] (1)证法一：eq \f(an－1,an)＝eq \f(2an－1＋1,1－2an)(n＞1，n∈N*)


∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，


即an－1＝an(4an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，


∴an＝eq \f(an－1,4an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，


∴eq \f(1,an)＝eq \f(4an－1＋1,an－1)＝4＋eq \f(1,an－1)(n＞1，n∈N*)，


∴eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝4(n＞1，n∈N*)，


∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列且公差为4，首项为5.


证法二：当n＞1，n∈N*时，eq \f(an－1,an)＝eq \f(2an－1＋1,1－2an)⇔eq \f(1－2an,an)＝eq \f(2an－1＋1,an－1)⇔eq \f(1,an)－2＝2＋eq \f(1,an－1)⇔eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝4，且eq \f(1,a1)＝5.


∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为4，首项为5.


(2)由(1)及等差数列的通项公式得


eq \f(1,an)＝5＋(n－1)×4＝4n＋1，∴an＝eq \f(1,4n＋1).





等差数列的三种判定方法


1定义法：an＋1－an＝d常数n∈N*⇔{an}为等差数列；


2等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N*⇔{an}为等差数列；


3通项公式法：an＝an＋ba，b是常数，n∈N*⇔{an}为等差数列.


但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.











1．在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件．


2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．


3．等差数列的单调性


d＞0⇔等差数列是递增数列．


d＜0⇔等差数列是递减数列．


d＝0⇔等差数列是常数列．





1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列( )


A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列


C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列


A [等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.]


2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )


A．8 B．12 C．16 D．24


C [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，


则由a2＝2，a5＝8，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.]


3．已知a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为______．


eq \r(3) [eq \f(a＋b,2)＝eq \f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq \f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq \r(3).]


4．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．


[解] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1a1＋d＝a1＋3d.))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.


故数列{an}的通项公式为an＝2n.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解等差数列的概念(难点).


2.掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点).


3.掌握等差数列的判定方法(重点).
1.通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养.


2.借助等差数列的判断与证明，培养学生的逻辑推理素养.
文字语言
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
符号语言
an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
等差数列的通项公式
等差中项的应用
等差数列的判定与证明