高中人教A版 (2019)第四章 数列4.3 等比数列第1课时学案

这是一份高中人教A版 (2019)第四章 数列4.3 等比数列第1课时学案，共9页。

4.3.1 等比数列的概念


第1课时 等比数列的概念及简单表示








传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么．发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒，……按这样的规律放满64格棋盘格．国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了．结果弄得国王倾尽国家财力还不够支付．同学们，这几粒麦子，怎能让国王赔上整个国家的财力？





1．等比数列的概念


2.等比中项


(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．


(2)结论：G叫做a，b的等比中项．


(3)满足的关系式：G2＝ab.


思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？


[提示] 不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．


3．等比数列的通项公式


一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．


4．等比数列与指数函数的关系


等比数列的通项公式可整理为an＝eq \f(a1,q)·qn，而y＝eq \f(a1,q)·qx(q≠1)是一个不为0的常数eq \f(a1,q)与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a1,q)·qn))中的各项的点是函数y＝eq \f(a1,q)·qx的图象上的孤立点．





1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( )


(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( )


(3)常数列一定为等比数列．( )


(4)任何两个数都有等比中项．( )


[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误，当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×


2．下列数列是等比数列的是( )


A．3，9，15，21，27 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464


C．eq \f(1,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,9)，eq \f(1,12)，eq \f(1,15)D．4，－8，16，－32，64


D [A、B、C均不满足定义中eq \f(an＋1,an)＝q，只有D满足eq \f(an＋1,an)＝－2.故选D.]


3．2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项是( )


A．1 B．－1 C．±1 D．2


C [设2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项为a，


则a2＝(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＝1.即a＝±1.]


4．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝( )


A．－4 B．－6 C．－8 D．－10


B [∵a1，a3，a4成等比数列．∴a1a4＝aeq \\al(2,3)，即a1(a1＋6)＝(a1＋4)2，解得a1＝－8，∴a2＝a1＋d＝－8＋2＝－6.故选B.]


5．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________.


8 [由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2.


又a1＝2，∴a3＝2×22＝8.]





【例1】 在等比数列{an}中，


(1)a4＝2，a7＝8，求an；


(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.


[解] 设首项为a1，公比为q.


(1)法一：因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q3＝2 ①，,a1q6＝8 ②.))


由eq \f(②,①)得q3＝4，从而q＝eq \r(3,4)，而a1q3＝2，


于是a1＝eq \f(2,q3)＝eq \f(1,2)，所以an＝a1qn－1＝2eq \s\up12(eq \f(2n－5,3)).


法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝eq \r(3,4).


所以an＝a4qn－4＝2·(eq \r(3,4))n－4＝2eq \s\up12(eq \f(2n－5,3)).


(2)法一：因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18 ③,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9 ④))


由eq \f(④,③)得q＝eq \f(1,2)，从而a1＝32，


又an＝1，∴32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＝1.


即26－n＝20，所以n＝6.


法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，


所以q＝eq \f(1,2).


由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.


由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.





1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．


2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：


(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．


(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．





[跟进训练]


1．在等比数列{an}中，


(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；


(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；


(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．


[解] (1)∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2，


∴4·2n－1＝128，


∴2n－1＝32，


∴n－1＝5，n＝6.


(2)∵an＝a1·qn－1＝625，n＝4，q＝5，∴a1＝eq \f(an,qn－1)＝eq \f(625,54－1)＝5.


(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，


∴q2＝4，∴q＝±2.


当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，


当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·(－2)n－1＝(－1)n－12n，


∴数列{an}的公比q为2或－2，


对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n－12n.


【例2】 已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42.求a5，a7的等比中项．


[思路探究] 根据已知条件列出方程组求解出a1，q，再分别求出a5，a7，最后按照等比中项的概念求出等比中项．


[解] 设该等比数列的公比为q，


∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＋a1q2＝168，,a1q－a1q4＝42，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q＋q2＝168，①,a1q1－q3＝42. ②))


1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，


②÷①得q(1－q)＝eq \f(1,4)⇒q＝eq \f(1,2)，


∴a1＝eq \f(42,q－q4)＝eq \f(42,\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4))＝96.


设G是a5，a7的等比中项，则应有


G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aeq \\al(2,1)q10＝962·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(10)＝9，


∴a5，a7的等比中项是±3.





等比中项应用的三点注意


1由等比中项的定义可知eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)⇒G2＝ab⇒G＝±eq \r(ab)，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.


2在一个等比数列中，从第2项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.


3a，G，b成等比数列等价于G2＝abab>0.





[跟进训练]


2．已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．


[证明] 因为b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，


又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，


(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.


[探究问题]


1．若数列{an}是等比数列，易知有eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数，且q≠0)或aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？


[提示] 能．若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数，q≠0)或aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．


2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？


[提示] 能．根据等比数列的定义可知．


【例3】 已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．


[解] an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2n,2n－1)＝2；


当n＝1时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(2,2＋a).


故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．





1．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．


(1)证明：数列{an－n}是等比数列；


(2)求出{an}的通项公式．


[解] (1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.


因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以eq \f(an＋1－n＋1,an－n)＝4，


所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．


(2)由(1)，可知an－n＝4n－1，


于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.


2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．


[证明] ∵Sn＝2－an，


∴Sn＋1＝2－an＋1，


∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，


∴an＋1＝eq \f(1,2)an.


又∵S1＝2－a1，


∴a1＝1≠0.


又由an＋1＝eq \f(1,2)an知an≠0，


∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2)，


∴{an}是等比数列．





1．有关等比数列的判断证明方法


2．因为等比数列中任一项均不为0，所以由G2＝ab知，ab＞0，即同号的两个数(不为0)才有等比中项，且等比中项是互为相反数的两个值．如eq \r(2)＋1与eq \r(2)－1的等比中项为±1.


3．由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性如下：


(1)当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列{an}为递增数列；


(2)当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}为递减数列；


(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；


(4)当q＜0时，数列{an}是摆动数列．











1．等比中项与等差中项的区别


(1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项．


(2)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个．


2．已知{an}是等比数列


(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.


(2)若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比数列．





1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是( )


A．an＝n B．an＝eq \r(n)


C．an＝2－nD．an＝lg2n


C [只有C具备an＝cqn的形式，故应选C.]


2．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( )


A．－24B．0


C．12D．24


A [由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，故选A.]


3．在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为________数列(填“递增”或“递减”)．


递增 [由8a2－a5＝0，可知eq \f(a5,a2)＝q3＝8，解得q＝2.又a1＞0，所以数列{an}为递增数列．]


4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.


4n－1 [由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1.]


5．已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an.


[解] 由a5≠a7知等比数列{an}的公比q≠1，设其通项公式为an＝c·qn.


由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cq5＝8，,cq7＝2，))解得q2＝eq \f(1,4)，


∵an＞0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝\f(1,2)，,c＝256.))


∴an＝256×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－8).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解等比数列的概念(重点).


2.掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用(重点、难点).


3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点).
1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.


2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.
文字语言
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号语言
eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)
等比数列通项公式的基本运算
等比中项及应用
等比数列的判断与证明
定义法
eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且不为零，n∈N*)⇔{an}为等比数列
中项公式法
aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列
通项公式法
an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列