1.1空间几何体的结构-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修2）

专题1.1  空间几何题的结构

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列说法正确的是（    ）

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．三棱锥的四个面都可以是直角三角形

C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

【答案】B

【解析】如图所示

对，如图（1），将两个相同的斜平行六面体叠放，符合条件但却不是棱柱，故错误；对，如图（2），底面，是圆的直径，点是圆上一点，则三棱锥的四个面都是直角三角形.故正确；对，如图（3），延长其侧棱不交于一点，符合条件但却不是棱台，故错误；对，如图（4），以直角的斜边为轴旋转得到的是两个对底的圆锥，故错误.

2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是

A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

【答案】D

【解析】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个面都是三角形．所以选项A、B、C正确，选项D错误．

3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）

A．一个圆台、两个圆锥          B．两个圆台、一个圆柱

C．两个圆台、一个圆锥             D．一个圆柱、两个圆锥

【答案】D

【解析】把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥.故选D.

4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ）

A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤

【答案】D

【解析】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；故选:D。

5．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】圆锥的表面积是其侧面积与底面积之和,根据题意有侧面积是底面积的2倍.又因为圆锥的侧面展开图是扇形,其圆心角,半径为,且其弧长等于圆锥底面周长,所以,根据扇形面积公式有,代入,得.即圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，故选C.

6．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有（ ）个面，其棱长为（  ）

A．26， B．24， C．26， D．24，

【答案】C

【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，，，即该半正多面体棱长为．

7．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(  )

A．0 B．9 C．快 D．乐

【答案】B

【解析】根据一个正方体的表面展开图以及图中“”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为：

由直观图可得这个正方体的下面是，故选B．

8．已知四棱锥的四个侧面均是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的高为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图所示，设底面，因为四边形两组对边分别相等，所以四边形为平行四边形.因为，所以，所以四边形为边长为2的正方形，且顶点在底面的投影是正方形的中心.所以该四棱锥的高为．

9．已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，则两平行截面间的距离是(    )

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】设两平行截面圆的半径分别为，则.球心到两个截面的距离分别为.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为；当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为.

10．圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，过A作AD⊥PC于D，

弧PC的长是2π⋅1=2π，则侧面展开图的圆心角是，∴∠DAC=，∵AC=3，∴，所以.即蚂蚁爬行的最短路程是.

11．如下图，在一个棱长为2的正方体内挖去一个倒置圆锥，圆锥的上底圆周与正方体底面正方形相切，圆锥的顶点在正方体的底面上，用一个与正方体下底面平行且距离为d的平面去截这个几何体，截得的图形面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】用一个与正方体下底面平行且距离为d的平面去截这个几何体，所截得的图形为一个正方形挖去一个圆，由题圆锥底面半径CD=1，OA=d，设截面小圆半径为AB=r,由三角形相似，得，故所截得的面积S＝。

12．已知正方体的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段的中点，若平面AMN截正方体所得的截面为五边形，则线段BM的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】    正方体棱长为，当，即为中点时，，截面为如下图所示的四边形

当时，截面为如下图所示的四边形

当时，截面为如下图所示的五边形

的取值范围为。

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为，上、下底面的半径分别为，，则球的表面积为__________．

【答案】

【解析】设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式，解得，所以半径，因而表面积。

14．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长丈尺，圆周为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长______尺.（注：丈等于尺）

【答案】

【解析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示：

一条直角边（即圆木的高）长尺，另一条直角边长尺，因此葛藤长为尺.

15．正方体的棱长为，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为________.

【答案】

【解析】如图所示，取棱中点，连接，由正方体的性质可得，，则，即几何体的棱长为，故答案为.

16．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________.

【答案】.

【解析】如图（2），作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，过点，分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F.设球的半径为r，球的半径为R，由，，得，，∴，∴.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两相互垂直，求球心到截面的距离.

【答案】

【解析】如图所示：把正三棱锥补成一个正方体，设正方体的棱长为，则，

，的外接圆半径，

球心到截面的距离.

18．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体内接于圆锥，求这个正方体的棱长.

【答案】

【解析】过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.

因为△VA1C1∽△VMN，所以=.所以hx=2rh-2rx，所以x==.

即圆锥内接正方体的棱长为.

19．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和．

（1）求圆台的高；（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．

【答案】(1) . (2) .

【解析】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，，分别为，的中点，作于点，连接.由已知可得上底半径，下底半径，且腰长，∴，即圆台的高为.

（2）如图，延长，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，得，即，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

20．如图，圆台的上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点.求：

（1）绳子的最短长度；

（2）在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.

【答案】（1）50cm；（2）4cm

【解析】（1）如图,绳子的最短长度为侧面展开图中的长度.

因为圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm，所以,母线长,代入可得,所以.设,由,解得.所以.即绳子的最短长度为50cm.

（2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离.因为,所以.故,即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.