4.2.1直线与圆的位置关系-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修2）

专题4.2.1  直线与圆的位置关系

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·青海平安一中）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直线的倾斜角为，则其斜率，则过原点且斜率为的直线方程为

由圆可得:圆心坐标为，半径为2，则圆心到直线的距离为：，故所截得的弦长为。

2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校）圆上到直线的距离等于的点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】由题意，圆心坐标为，半径为，∴圆心到直线的距离为，

如图所示：

∴圆上到直线的距离等于的点共有3个：.

3．圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线截得的弦长为6，则圆C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设圆心为()，圆C的半径为5，弦长为6，圆心到直线的距离为.又圆心到直线的距离为，，解得.

圆C的方程为，即.

4．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一期末）已知定点在单位圆内部，则直线与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【答案】C

【解析】在圆的内部，，因为圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离，直线与圆相离。

5．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（  ）

A．-2 B．-4 C．-6 D．-8

【答案】B

【解析】圆心，，设圆心到直线的距离为，∴，

∵，∴，∴．

6．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）

A．2 B． C．6 D．

【答案】C

【解析】直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.

7．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【解析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3＝k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3＝0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d1，化为24k2+50k+24＝0，∴k，或k．

8．（2020·江苏省响水中学高一月考）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是(    )

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】，所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形， 即，在直线上，圆心距

计算得到。

9．（2020·浙江杭州高一期末）若圆与直线相切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可得：，故圆心为，半径为，

又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，

10．已知圆的标准方程是，直线，若直线被圆所截得的弦长为，则直线与直线的关系为（    ）

A．平行 B．垂直 C．平行或相交 D．相交

【答案】C

【解析】由题知直线被圆所截得的弦长为，解得或，

所以直线的方程为或，所以直线与要么平行，要么相交。

11．（2020·开鲁县第一中学高一期末）已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】圆的圆心，半径是，由圆的性质知：，四边形的最小面积是，的最小值是切线长）.所以|PC|的最小值为，所以。

12．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆作切线，，，为切点，则直线经过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为是直线的任一点，所以设，因为圆的两条切线、，切点分别为、，所以，，则点、在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，，且半径的平方是，所以圆的方程是，①，又，②，②①得，，

即公共弦所在的直线方程是：，即，由得，，所以直线恒过定点，。

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·浙江宁波高一期末）过点的直线与圆相交于、两点，且圆上一点到直线的距离的最大值为，则直线的方程是_____________．

【答案】或

【解析】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由题意可知，圆心到直线的距离满足，.①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心在直线上，不合乎题意；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可得，解得.综上所述，直线的方程为或.

14．已知圆，当圆的面积最小时，直线被圆截得的弦长为__________．

【答案】

【解析】圆即，故当当圆的面积最小时，，此时圆方程为，圆心为半径为，圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为.

15．（2020·嘉祥县第一中学）已知直线与圆交于、两点，直线垂直平分弦，则的值为____________，弦的长为____________.

【答案】     

【解析】由题意可知，直线与直线垂直，，可得，由于方程表示的曲线为圆，则，解得，且圆的圆心坐标为，圆心在直线上，所以，，解得，所以，圆的方程为，即，圆心坐标为，半径长为，

圆心到直线的距离为，因此，.

16．（2020·邢台市第八中学）同时满足条件：①与轴相切，②圆心在直线上，③直线被截得的弦长为的圆的方程为                        ．

【答案】（x－1）2＋（y－3）2＝9或（x＋1）2＋（y＋3）2＝9.

【解析】设所求的圆的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则圆心到直线的距离为，

∴2r2＝（a－b）2＋14  ①，由于所求的圆与x轴相切，所以r2＝b2  ②，又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，则3a－b＝0  ③，联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.，故所求的圆的方程是（x－1）2＋（y－3）2＝9或（x＋1）2＋（y＋3）2＝9.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2020·河北省盐山中学高一期末）已知圆，过点作直线交圆于、两点．

（1）当经过圆心时，求直线的方程；

（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长；

（3）求直线被圆截得的弦长时，求以线段为直径的圆的方程．

【答案】（1）；（2） ；（3）.

【解析】（）圆的方程可化为，圆心为，半径为．

当直线过圆心，时，，∴直线的方程为，即．

（）因为直线的倾斜角为且过，所以直线的方程为，即．

圆心到直线的距离，∴弦．

（）由于，而弦心距，

∴，∴是的中点．故以线段为直径的圆圆心是，半径为．

故以线段为直径的圆的方程为．

18．（2020·莆田第二十五中学高一月考）已知圆心在直线：上的圆经过点和，且过点的直线与圆相交于不同的两点.

（1）求圆的标准方程；

（2）若，求直线的方程.

【答案】（1）（2）或

【解析】（1）易求得的中点为，且，的中垂线方程为

由，得圆心的坐标为，半径，

故圆的标准方程为：

（2）当时，则圆心到直线的距离为，

若直线的斜率存在，设直线，即

圆心到直线的距离，解得，直线的方程为

若直线的斜率不存在，则直线，符合题意，

综上所述：所求直线的方程为：或

19．（2020·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．

（1）求圆的方程；

（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值．

【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为．

【解析】（1）设圆心，由已知得圆心到直线的距离为，

∴，又∵圆心在直线的下方，∴，∴．

故圆的方程为．

（2）由题意设的斜率为的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为．由方程组，得点的横坐标为．

∵，∴，由于圆与相切，所以，∴；同理，，∴，

∴，∵，∴，∴，

∴，∴的面积的最大值为，最小值为．

20．（2020·广东高一期末）在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．

（1）求圆C的方程；

（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；

（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为，

∴圆C的半径，则圆C的方程为；

（2）∵直线y＝kx+2与圆C没有公共点，∴点到直线的距离，

解得，∴k的取值范围为；

（3）联立，得，由，

解得，设，则，

∵，∴，，即，

即，∴，

解得，符合题意，∴．