2.4有关空间角的专项测试-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修2）
展开专题2.4 有关空间角的专项测试
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·上海市七宝中学）在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是 ( )
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
2．（2020·湖南天心长郡中学高一月考）如图，在直三棱柱中，为的中点，，，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·江苏无锡高一期末）正方体中，下列叙述正确的有（ ）
A．直线与所成角为 B．直线与平面所成角为
C．直线与平面ABCD所成角为 D．直线与所成角为
4．平面⊥平面 ，A∈α，B∈β，AB 与两平面，β所成的角分别为和，过 A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为 ，则等于( )．
A．3∶2 B．3∶1 C．2∶1 D．4∶3
5．（2020·吉化第一高级中学校）已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体，过顶点作平面，使得直线和与平面所成的角都为，这样的平面可以有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2020·曲周县第一中学）如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且,，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为 （ ）
A．2 B． C． D．3
8．（2020·朝阳吉林省实验高一期末）在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·六盘山高级中学高一期末）如图，在正三棱柱中，已知，在棱上，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
12．将正方形沿对角线折成直二面角，
①与平面所成角的大小为； ②是等边三角形；
③与所成的角为； ④； ⑤二面角为
则上面结论正确的为（ ）
A．①③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②⑤
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．如图，在空间四边形ABCD中，且AB与CD所成的角为，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为________.
14．（2020·黑龙江道里哈尔滨三中高一期末）空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD所成角为，设，，则过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的面积为__________.
15．如图，为等边三角形所在平面外一点，且，分别为的中点，则异面直线与所成的角为______.
16．三棱锥中，，平面，，，则和平面所成角的正切值为______.
三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·江苏宝应高一期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题：
（1）求三棱锥的体积.
（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
19．（2020·江苏泰州高一期末）如图，在四面体 中，平面平面 ，．， ，．
（1）求和平面所成角的正弦值：（2）求二面角的正切值．
20．（2020·河南开封高一期末）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，是线段的中点，是线段上的动点.
（1）与所成的角是否为定值，试说明理由；
（2）若二面角为60°，求四面体的体积.
