2.1空间点、直线、平面之间的位置关系-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修2）

专题2.1  空间点、直线、平面之间的位置关系

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·进贤县第一中学）若a，b是异面直线，则与a，b都平行的平面

A．不存在 B．有无穷多个 C．有且仅有一个 D．不一定存在

【答案】B

【解析】在空间任取一点P（不在两异面直线上），过P分别作直线与a，b平行，由于a，b是异面直线，所以为相交直线，确定一个平面，由线面平行判定定理得平面与a，b都平行，再由于P点任意性，所以平面有无穷多个，

2．（2020·青海平安一中）下面四种说法：

①若直线异面，异面，则异面；②若直线相交，相交，则相交；

③若，则与所成的角相等；   ④若，，则.其中正确的个数是(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】对于①，直线a，c的关系为平行、相交或异面．故①不正确．对于②，直线a，c的关系为平行、相交或异面．故②不正确．对于③，由异面直线所成角的定义知正确．对于④，直线a，c的关系为平行、相交或异面．故④不正确．综上只有③正确．选D．

3．（2020·南昌市新建一中）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么　(　　)

A．M一定在直线AC上                           B．M一定在直线BD上

C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上       D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上

【答案】A

【解析】如图，因为EF∩HG=M，

所以M∈EF，M∈HG，又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，故M∈平面ABC，M∈平面ADC，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A.

4．（2020·辽宁和平沈阳铁路实验中）对于平面和共面的直线，，下列命题是真命题的是　　

A．若，与所成的角相等，则    B．若，，则

C．若，，则           D．若，，则

【答案】D

【解析】由于平面和共面的直线，，若，与所成的角相等，则直线，平行或相交，故A不正确．若，，则，则共面直线，平行或相交，故B不正确．若，，则与平面平行或在平面内，故C不正确．若，，根据直线，是共面的直线，则一定有，故D正确，

5．（2020·陕西渭南高一期末）垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交 C．异面 D．A、B、C均有可能

【答案】D

【解析】如图，在正方体中，平面，，，又，

选项有可能；平面，，，又，选项有可能；平面，平面，平面，平面，，，又与不在同一平面内，选项有可能．

6．（2019·合肥市第十中）我国古代数学专著《九章算术》中的“堑堵”是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，三棱柱为堑堵，其中，，，则直线BC与所成角是（    ）

A．60° B．30° C．120° D．150°

【答案】B

【解析】在三棱柱中，，所以为异面直线与所成的角，

在中，，，，所以，所以，故异面直线与所成的角为，

7．（2020·广西崇左高一期末）过直线外两点作与平行的平面，则这样的平面（    ）

A．不存在 B．只能作一个 C．能作无数个 D．以上都有可能

【答案】D

【解析】①当过直线外两点的直线与直线相交时，满足过直线外两点作与平行的平面不存在；

②当过直线外两点的直线与直线异面时，满足过直线外两点作与平行的平面有且仅有一个；

③当过直线外两点的直线与直线平行时，满足过直线外两点作与平行的平面有无数个；

8．下列说法中正确的个数是（    ）

①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；

②平行四边形可以确定一个平面；

③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；

④若，且，则在上.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确；对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确；对于④，由公理可得，若，则，故④正确.

9．异面直线、分别在平面、内，若，则直线必定是（    ）

A．分别与、相交 B．与、都不相交

C．至少与、中之一相交 D．至多与、中之一相交

【答案】C

【解析】由题意直线与、可都相交，也可只与一条相交，故A、B错误；但直线不会与两条都不相交，若与、都不相交，因为与都在内，所以，同理，所以，这与、异面直线矛盾，故直线至少与、中之一相交．

10．如图，在长方体中，、分别是棱和的中点，过的平面分别交和于点、，则与的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面

【答案】A

【解析】在长方体中，，、分别为、的中点，，

四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，平面，平面平面，，又，。

11．（2018·武邑宏达学校）如图，在正方体中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；       ②直线BN与MB1是异面直线；

③直线AM与BN是平行直线；        ④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为（      ）

A．③④ B．①② C．①③ D．②④

【答案】D

【解析】

四点不共面，直线与是异面直线，故①错误；直线与不同在任何平面内，是异面直，故②正确；直线与不同在任何平面内，是异面直线，故③错误；直线与不同在任何平面内，是异面直，故④正确，故选D.

12．（2020·江苏省邗江中学高一期中）在长方体中，为上任意一点，则一定有（    ）

A．与异面 B．与垂直

C．与平面相交 D．与平面平行

【答案】D

【解析】如下图所示：

对于A选项，当点为的中点时，平面，则直线与相交，A选项错误；

对于B选项，当点为的中点时，为锐角，与不垂直，B选项错误；对于C选项，当点为的中点时，连接、交于点，则为的中点，在长方体中，且，则四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，则且，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，C选项错误；对于D选项，在长方体中，且，则四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，同理可证平面，，平面平面，平面，平面.D选项正确.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·河南洛阳高一期末）过正方体的顶点作直线，使与棱、、所成的角都相等，这样的直线可以作_________条.

【答案】

【解析】设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1．第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1C2＝1，AC2是满足条件的直线；第三条：延长C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是满足条件的直线；第四条：延长C1A1到C4且C4A1，AC4是满足条件的直线．

14．（2020·河北运河沧州市一中高一期末）如图，圆柱中，两半径，等于1，且，异面直线与所成角的正切值为，则该圆柱的体积为______．

【答案】

【解析】过作于点，则即为异面直线与所成角，则，

由平行等于，且，可得，得，又,

所以圆柱的高，所以圆柱的体积为．

15．如图所示，在棱长为2的正方体中，的中点是P，过点作与截面平行的截面，则截面的面积为__________.

【答案】

【解析】取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1．由于A1N∥PC1∥MC且A1N=PC1=MC，

∴四边形A1MCN是平行四边形．又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M=A1，PC1∩BP=P，∴平面A1MCN∥平面PBC1因此，过A1点作与截面PBC1平行的截面是平行四边形．又连结MN，作A1H⊥MN于H，由于A1M=A1N=，MN=2，则AH=．∴=，故=2=2．

16．（2020·江西省南城一中）如图，正方体的棱长为，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是______________.

①与所成角为；                ②平面；

③存在点，使得平面平面； ④三棱锥的体积为定值.

【答案】②④

【解析】对于①，、分别为、的中点，，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，，异面直线与所成的角为，在中，，所以，为等边三角形，则，即①错误；

对于②，，，，，，，又因为平面，且平面，所以，因为，所以平面，即②正确；对于③，若平面平面，因为平面平面，

所以平面平面，但平面与平面有公共点，所以③错误；对于④，（定值），即④正确.故答案为：②④.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2020·泉州第十六中学高一月考）如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.

求证：（1）四点共面；（2）三线共点.

【答案】（1）见证明 （2）见证明

【解析】证明：（1）连接.

∵分别是和的中点，∴.又，

∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴与确定一个平面，

∴四点共面．

（2）由（1）知，，且，∴直线与必相交，设.

∵平面，，∴平面.又平面，，

∴平面，即是平面与平面的公共点，又平面平面，

∴，∴三线共点．

18．（2020·广西北海高一期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，.

（Ⅰ）求异面直线与所成角的正弦值；

（Ⅱ）若三棱锥体积为2，求的长.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由已知，故或其补角即为异面直线与所成的角

因为平面，所以.在中，由已知，得，故.所以异面直线与所成角的正弦值为.

（Ⅱ）因为平面，直线平面，所以.又因为，所以，又，所以平面.所以，在中，由，，可得.又因为平面，所以，

所以，所以.

19．（2020·琼山海南中学高一期中）如图，正方体中，，，分别在棱，，上，且，相交于点.

（1）求证：，，三线共点.

（2）若正方体的棱长为2，且，分别是线段，的中点，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

（1），相交于点，即，，因为平面，平面，

所以平面，平面，即点是平面与平面的公共点，因为平面平面，所以，所以，，三线共点

（2）因为，分别是线段，的中点，，所以，

因为正方体的棱长为2，所以，所以

所以。

20．如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题：

（1）求三棱锥的体积.

（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在，点M为AP的中点

【解析】（1）由题意，得，解得.由，，得，，，∴，

∴三棱锥的体积.

（2）当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为.证明如下：

∵，分别为，的中点，∴，∴就是异面直线与所成的角.

∵，，，∴.又，∴，

∴当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为.