专题1.1 集合的概念-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题1.1  集合的含义

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　)

A．P是由元素1，，π组成的集合，Q是由元素π，1，|－|组成的集合

B．P是由π组成的集合，Q是由3.141 59组成的集合

C．P是由2，3组成的集合，Q是由有序数对(2，3)组成的集合

D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数组成的集合，Q是方程x2＝1的解集

【答案】A

【解析】由于A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.

2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)

A．梯形　　　　　　　　 B．平行四边形

C．菱形 D．矩形

【答案】A

【解析】由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．

3．由实数－a，a，|a|， 所组成的集合最多含有的元素个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【解析】当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，，所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素，故选B.

4．方程组的解集是(　　)

A．(－5，4)　　　　　　　 B．(5，－4)

C．{(－5，4)} D．{(5，－4)}

【答案】D

【解析】解方程组得，故解集为{(5，－4)}，选D.

5.集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)

A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B

C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B

【答案】C

【解析】集合A中元素y是实数，不是点，故选项B、D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．

6．对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”：当m，n都为偶数或奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　)

A．18 B．17

C．16 D．15

【答案】B

【解析】因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，且集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.

7．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．N*中最小的数是1

B．若－a∉N*，则a∈N*

C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2

D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素

【答案】AC

【解析】N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．故A、C正确．

8．(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)

A．0∉M B．2∈M

C．－4∈M D．4∈M

【答案】CD

【解析】x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4.故选C、D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．

【答案】3

【解析】方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．

10．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则P*Q中元素的个数是________．

【答案】6

【解析】若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1，2，3；若a＝2，则ab＝2，4，6.故P*Q＝{0，1，2，3，4，6}，共6个元素．

11．集合A中的元素y满足y∈N，且y＝－x2＋1.若t∈A，则t的值为________．

【答案】0或1

【解析】因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，即集合A中的元素为0，1.又t∈A，所以t＝0或1.

12．(一题两空)已知a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，则：

(1)若A中只有1个元素，则a＝________；

(2)若A有且只有2个元素，则集合A的个数是________．

【答案】(1)2　(2)2

【解析】因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，

若a＝0，则4－a＝4，此时A满足要求；

若a＝1，则4－a＝3，

此时A满足要求；若a＝2，则4－a＝2.

此时A含1个元素．

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：

(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

【解析】(1)若a∈A，则∈A.

∵2∈A，∴＝－1∈A.

∵－1∈A，∴∈A.

∵∈A，∴＝2∈A.

∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.

(2)若A为单元素集，则a＝，

即a2－a＋1＝0，方程无解．

∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．

14．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．

【解析】∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，

若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．

若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．

当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．

综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.

15.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．

(1)若集合A中仅有一个元素，求实数a的值；

(2)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；

(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

【解析】(1)当a＝0时，x＝，符合题意；

当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，解得a＝.

综上，集合A中仅含有一个元素时，a＝0或a＝.

(2)集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解，

所以a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，

解得a<且a≠0，

所以实数a的取值范围为.

(3)当a＝0时，x＝，符合题意；

当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a≤0，即a≥.

所以实数a的取值范围为.

16．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．

(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？

(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．

【解析】(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，

令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.

故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．

(2)不一定存在m∈M，使a＋b＝m，证明如下：

设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.

当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．

故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.