1.3.2球的表面积与体积-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修2）

专题1.3.2  球的表面积与体积

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·荆州市北门中学高一期末）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.

2．（2020·邯郸市永年区第二中学高一期中）若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得，设截面圆的半径为r，球的半径为R，因为截面圆的面积为，可得，解得，又由，所以，所以球的表面积为.故选：A.

3．（2020·广西北流市实验中学高一期中）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，

在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积，故选A.

4．如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意，设球的半径为，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为，根据中心（重心）的性质可得，球的半径为，

所以球的体积为，即溢出溶液的体积为，故选D.

5．（2020·西藏城关拉萨中学高一期中）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是

A．17π B．18π C．20π D．28π

【答案】A

【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：

是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．

6．（2020·辽宁沈阳高一期末）正四面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为（    ）

A．12π B．24π C．48π D．96π

【答案】B

【解析】如图正四面体棱长为4，平面于，则是中心，，

平面，平面，则，，设外接球球心为，则在，则为外接半径，由得，解得，∴．

7．（2020·河南高一月考）若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意得：，所以是等腰直角三角形，且为斜边，取的中点，连接.

因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，所以点即为球心，则该三棱锥的外接圆半径，故该三棱锥的外接球的表面积为．

8．（2020·西藏城关拉萨中学高一期中）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为．

9．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，

，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ．

10．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作出过正方体的对角面的截面，如图所示，设球的半径为，正方体的棱长为，那么，在直角中，由勾股定理，得,即，解得，所以半球的体积为，正方体的体积为，所以半球与正方体的体积比为，故选B.

11．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高一月考）在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，故，，，故棱锥外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，设长方体的长宽高分别为，，，则，，，即，即长方体的外接球半径满足：

，故三棱锥外接球的表面积为.

12．（2020·遵义市南白中学高一月考）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，为侧棱上的动点，若的周长的最小值为，则三棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，在三棱柱中，沿,展开两个侧面，

当D为棱中点时，的值最小，此时的周长的最小，设则

在直三棱柱中， ，

解得（负值已舍去），，设三棱锥的外接球的半径为,则为以为长、宽、高长方体的对角线，,解得,所以，

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·陕西汉中高一期末）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为__________.

【答案】

【解析】如图有外接球的体积,圆柱的底面直径,故底面半径.故圆柱体积.故球的体积与圆柱的体积的比值为.

14．（2020·宣城市第二中学）在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=4，则V的最大值是________。

【答案】

【解析】∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10．故三角形ABC的内切圆半径r2，又由AA1=4，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值。

15．（2020·夏津第一中学高一月考）已知点，，，均在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积为__________

【答案】

【解析】设的外接圆的半径为，∵，，则，

为直角三角形，且，，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即，解得，∴球的表面积为.
16．（2020·黑龙江让胡路大庆中学高一期末）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的半径为____________.

【答案】

【解析】因为，所以为等边三角形，所以，等边外接圆的半径为，如图，三棱锥外接球球心为，半径为，设球心到平面的距离为，外接圆圆心为，连接，则平面，取中点，所以，又平面，所以，则四边形是矩形，所以在和中，

由勾股定理可得，解得：.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2020·江苏沭阳高一期中）据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．

（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；

（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.

【答案】（1）（2）体积：. 表面积：

【解析】（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为，圆柱的体积

球的体积 ，圆柱与球的体积比为：

（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为

圆锥的母线长：

圆锥体积：.

圆锥表面积：.

18．如图所示，某铁制零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为2cm.现有这种零件一盒共50kg，取铁的密度为，.

（1）估计有多少个这样的零件；

（2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料（球与棱柱接口处的面积不计，结果精确到）？

【答案】（1）个（2）需要能涂的材料

【解析】（1）每个零件的体积为，因此每个零件的质量为.因此可估计出零件的个数为.

（2）每个零件的表面积为，

因此零件的表面积之和约为.即需要能涂的材料.

19．（2020·福建省安溪第一中学高一月考）如图所示，半径为R的半圆内（其中）的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积及体积。

【答案】

【解析】如图所示，过C作于，在半圆中可得，又，，∴，，，∴，，∴，

∴旋转所得到的几何体的表面积为.又，，，∴.

20．已知正三棱锥的高为1，底面边长为，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求球的表面积与体积．

【答案】，．

【解析】如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．

是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，

∴，∴，可以得到，，由等体积法，，

∴，解得：，

∴，．