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必刷卷08 2020-2021学年高二年级数学上学期期末仿真必刷模拟卷（人教A版2019）（解析版）
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2020-2021学年高二上学期数学期末仿真必刷模拟卷【人教A版2019】
期末检测卷08
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BC﹣D1的大小是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），
=（1，0，0），=（0，﹣1，1），
设平面BCD1的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（0，1，1），
平面ABC的法向量=（0，0，1），
设二面角A﹣BC﹣D1的平面角为θ，
则cosθ===，
∴θ=．
∴二面角A﹣BC﹣D1的大小是．
故选：C．
【知识点】二面角的平面角及求法
2.如图，已知点P在正方体ABCD﹣A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDC＝60°．设＝λ，则λ的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，
点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，且∠PDA＝60°，
∵＝λ，（0＜λ＜1），则A（1，0，0），C（0，1，0），D′（0，0，1），B（1，1，0），P（λ，λ，1﹣λ），
∴＝（λ，λ，1﹣λ），＝（0，1，0），
∴cos＜，＞＝||＝||＝cos60°＝，
由0＜λ＜1，解得λ＝．
故选：C．
【知识点】共线向量与共面向量
3.如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2＝1于点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【解答】解：方法一：特殊化，抛物线x2＝4y的焦点是F（0，1），
取过焦点的直线y＝1，依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2＝1的点是
A（﹣2，1）、B（﹣1，1）、C（1，1）、D（2，1），
∴|AB|×|CD|＝1×1＝1；
法二：∵抛物线焦点为F（0，1），
∴设直线为y＝kx+1，
直线与x2＝4y联立得：
y2﹣（4k2+2）y+1＝0；
∵|AB|＝|AF|﹣1＝yA，
|CD|＝|DF|﹣1＝yB；
∴|AB|•|CD|＝yAyB＝1．
故选：D．
【知识点】直线与圆的位置关系
4.过三点A（1，﹣7），B（1，3），C（4，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（ ）
A． B． C．4 D．2
【解答】解：∵过三点A（1，﹣7），B（1，3），C（4，2）的圆交x轴于M，N两点，
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，
令y=0，可得 x2 ﹣2x﹣20=0，
∴y=1±，∴|MN|=2．
故选：D．
【知识点】圆的标准方程
5.已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，
与以点B为圆心，半径为4的圆外切，
故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，
故选：C．
【知识点】点到直线的距离公式
6.已知椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于||，e1，e2分别是椭圆C1和双曲线C2的离心率，则9e12+e22的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【解答】解：如图所示，设半焦距为c．
∵点P是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于||，
∴PF1⊥PF2．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n．
则m+n＝2a1，m﹣n＝2a2．
∴mn＝＝﹣．
在△PF1F2中，由勾股定理可得：4c2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝﹣2（﹣）．
∴2c2＝+．
两边同除以c2，得2＝+，可得：＝．
9e12+e22＝+．
令e12＝t∈（0，1）．
则g（t）＝9t+，t∈（0，1）．
g′（t）＝9+＝＝．
可知：t＝时，函数g（t）取得极小值即最小值．
g（）＝+＝8．
因此9e12+e22的最小值是8．
故选：C．
【知识点】椭圆的性质、双曲线的性质
7.已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°＜∠PF1F2＜120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（，1） B．（，） C．（，1） D．（0，）
【解答】解：△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，
∴|PF1|＝|F1F2|＝2c，
由椭圆的定义可得：|PF2|＝2a﹣2c．
设∠PF1F2＝θ，
∵60°＜∠PF1F2＜120°，∴cosθ∈．
在△PF1F2中，由余弦定理可得：cosθ＝＝∈．
解得e∈．
故选：B．
【知识点】椭圆的性质
8.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，P到其y轴的距离为d，Q为圆（x+1）2+（y﹣4）2＝1上一个动点，d+|PQ|的最小值是（ ）
A．2﹣1 B．2﹣2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：点P是抛物线y2＝4x上的点，
点P到y轴的距离为d，则点P到抛物线准线的距离为d+1；
又点P到圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1上的动点Q的距离为|PQ|，
由抛物线定义知：点P到准线的距离等于P到焦点F的距离，
如图所示，连结圆心C与F，交圆于Q，
FC交抛物线的点即为使（d+1）+|PQ|的最小时P的位置；
∴（d+1+|PQ|）min＝|FQ|，
∵C（﹣1，4），F（1，0），
∴|FC|＝＝2，|CQ|＝1，
∴|FQ|＝2﹣1，
∴（d+|PQ|）min＝2﹣2．
故选：B．
【知识点】抛物线的性质
9.已知|x|＞y＞0．将四个数按照一定顺序排列成一个数列，则（ ）
A．当x＞0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
B．当x＞0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
C．当x＜0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
D．当x＜0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
【解答】解：当x＞0时，x＞y＞0，此时四个数的大小关系为x﹣y＜＜x＜x+y，
若x﹣y，，x，x+y成等比，则满足（）2＝（x﹣y）x，即x2﹣y2＝x2﹣xy，此时﹣y2＝﹣xy，则x＝y，不满足条件．故A错误，
若x﹣y，，x，x+y成等差，则满足2x＝+x+y，即＝x﹣y，平方得（x2﹣y2）＝（x﹣y）2，即（x﹣y）（x+y）＝（x﹣y）2，
则x+y＝x﹣y，即y＝0，不满足条件．故B错误，
当x＜0时，﹣x＞y＞0，则y＞0，x＜0，x+y＜0，x﹣y＜0，此时四个数x﹣y，，x，x+y，中三个为负数，一个为正数，不可能为等比数列，故C错误，
当x＜0时，四个数的大小为x﹣y＜x＜x+y＜，
若x﹣y，x，x+y，，成等差，
2x＝x﹣y+x+y，此时恒成立，同时2（x+y）＝x+，即＝x+2y，
平方得x2﹣y2＝x2+4y2+4xy，
即5y2＝﹣4xy，即x＝﹣y时，满足等差数列，故D正确．
故选：D．
【知识点】等差数列的性质、等比数列的性质
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an＝f（n）及Sn＝g（n）的部分图象如图所示，则（ ）
A．当n＝4时，Sn取得最大值 B．当n＝3时，Sn取得最大值
C．当n＝4时，Sn取得最小值 D．当n＝3时，Sn取得最小值
【解答】解：根据题意，由图象可知有4种可能：
①，a7＝0.7，S7＝﹣0.8，a8＝﹣0.4，由a7＝0.7，a8＝﹣0.4，可得d＝﹣1.1，a1＝7.3；
分析可得S7＝＝28＞0，与S7＝﹣0.8，矛盾，舍去；
②，a7＝0.7，S7＝﹣0.8，S8＝﹣0.4．由S7＝﹣0.8，S8＝﹣0.4，可得a8＝0.4，则═﹣0.4，
解得a1＝﹣0.5，∴a8＝﹣0.5+7d，解得d＝≠0.4﹣0.7＝﹣0.3，矛盾，舍去；
③，a7＝﹣0.8，S7＝0.7，a8＝﹣0.4．由a7＝﹣0.8，S7＝0.7，可得＝0.7，
解得a1＝1，∴﹣0.8＝1+6d，解得d＝﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）＝0.4，矛盾，舍去．
④，a7＝﹣0.8，S7＝0.7，S8＝﹣0.4，由a7＝﹣0.8，S7＝0.7，可得＝0.7，
∴﹣0.8＝1+6d，解得d＝﹣0.3，∴a8＝﹣0.8﹣0.3＝﹣1.1，∴S8＝0.7﹣1.1＝﹣0.4，满足条件．
∴an＝a1+（n﹣1）d＝1﹣0.3（n﹣1）＝1.3﹣0.3n≥0，
解可得n≤＝4+，
当n＝4时，Sn取得最大值；
故选：A．
【知识点】等差数列的性质
11.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且，当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞2（其中f'（x）为f（x）的导函数）．则不等式|x|•f（x）＞2|x|+1的解集为（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【解答】解：令g（x）=xf（x）﹣2x，g′（x）=xf'（x）+f（x）﹣2，
∵当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞2，
∴x＞0时，g′（x）＞0，
∴x＞0时，函数g（x）单调递增．
∵，
∴g（2）=2f（2）﹣4=5﹣4=1．
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（|x|）．
∴不等式|x|•f（x）＞2|x|+1，即不等式|x|•f（|x|）﹣2|x|＞1，
∴g（|x|）＞g（2），
∴|x|＞2．
解得x＜﹣2，或x＞2．
∴不等式|x|•f（x）＞2|x|+1的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
12.已知函数f（x）＝x2﹣2aex+b（a，b∈R），若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x2＜2x1，则a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（﹣∞， C．（， D．（0，）
【解答】解：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝2x﹣2aex＝0有两个零点x1，x2，
∴ae＝x1，ae＝x2，
a＝，令g（x）＝，则，
可得g（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴．x1＜x＜x2
∵x2＜2x1，则．
令x2﹣x1＝t．则et＜2，0＜t＜ln2，可得，
令g（t）＝．则g′（t）＝，
令h（t）＝et﹣1﹣tet，则h′（t）＝﹣tet＜0，
∴h（t）单调递减，∴h（t）＜h（0）＝0，
∴g（t）单调递减，∴g（t）＞g（ln2）＝ln2，即x1＞ln2，
a＝＜．
故选：A．
【知识点】利用导数研究函数的极值
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.已知球O内切于正四面体A﹣BCD，且正四面体的棱长为2，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则的最大值是 ．
【解答】解：由正四面体棱长为2，的其内切圆的半径为1，
由题意，M，N是直径的两端点，可得，，
则＝+•（+）+•＝+0﹣1＝﹣1，
当点P在正四面体顶点时，最大，且最大值为9，
则﹣1的最大值为8，
故答案为：8．
【知识点】空间向量的数量积运算
14.已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．
（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；
（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．
【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），
直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），
∴直线l1与l3交于点A；
又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，
且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，
则B（，）；
又l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；
∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，
即这三条直线共有三个不同的交点；
（2）根据题意，画出图形如图所示；
AB⊥BC，
∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；
则△ABC的面积最大值为
S=•|AC|•d=|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．
【知识点】两条直线的交点坐标
15.已知直线l：x＝﹣2，圆C：x2+y2＝4，动圆P恒与l相切，动圆P与圆C相交于A、B两点，且AB恒为圆C的直径，动圆P圆心的轨迹构成曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）已知Q（﹣1，0）、F（1，0），过Q的直线m与曲线E交于M、N两点，设直线FM，FN的倾斜角分别为θ1、θ2，问θ1+θ2是否为定值，如果是定值，求出该定值，如果不是，请说明理由．
【解答】解：（I）由题意，设点P（x，y），
则点P到直线l的距离d＝|x+2|＝r，
|PC|＝；
|AC|＝2；
则|x+2|2＝（）2+22；
故曲线E的轨迹方程为y2＝4x（x≠0）；
（II）设直线m的方程为y＝k（x+1）；
与y2＝4x（x≠0）联立得，
k2x2+（2k2﹣4）+k2＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2）；
则x1+x2＝﹣；
则tanθ1＝，tan
则tan（θ1+θ2）＝
＝
其中y1（x2﹣1）+y2（x1﹣1）
＝k（x1+1）（x2﹣1）+k（x2+1）（x1﹣1）
＝k（x1x2﹣x1+x2﹣1+x1x2﹣x2+x1﹣1）
＝k（2x1x2﹣2）
＝k（2﹣2）＝0；
故tan（θ1+θ2）＝0，
又∵θ1，θ2是直线的倾斜角，
故θ1+θ2＝π．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合
16.设等比数列{an}的前n项和为Sn，8a2﹣a5＝0，则公比q的值为 ，若﹣有最大值﹣2，则a1的值为 ．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，8a2﹣a5＝0，
则8a1q＝，
解得公比q＝2，
若﹣有最大值﹣2，则有最小值2，
则＝＝a1（1﹣）≥2，
分析可得：1﹣有最小值，
则有a1＝4，
故答案为：2；4．
【知识点】等比数列的前n项和
三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB＝a，点E在棱PC上．
（1）问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明；
（2）求二面角C﹣PA﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）当E为PC中点时，PA∥平面EBD
连接AC，EO，且AC∩BD＝O
∵四边形ABCD为正方形，
∴O为AC的中点，又E为中点，
∴OE为△ACP的中位线，
∴PA∥EO
又PA⊄面EBD，EO⊂平面EBD
∴PA∥平面EBD
（2）取PA的中点F，连接OF，BF，
∵，∴CP⊥AP
∵O，F为中点，
∴OF∥CP，即OF⊥PA，
又∵BP＝BA，F为PA中点∴BF⊥PA，
所以∠BFO为二面角C﹣PA﹣B的平面角．
在正四棱锥P﹣ABCD中易得：
∴BF2＝FO2+BO2，
∴△BOF为Rt△，
∴
【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面平行
18.棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是CG1的中点．
（1）证明：EF⊥B1C．
（2）求cos＜＞．
（3）求FH的长．
【解答】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示；
则E（0，0，1），F（1，1，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），C1（0，2，2）；
（1）∵＝（1，1，﹣1），＝（﹣2，0，﹣2），
∴•＝1×（﹣2）+1×0﹣1×（﹣2）＝0，
∴⊥，
∴EF⊥B1C；
（2）由CG＝CD知，C（0，2，0），∴G（0，，0），∴＝（0，﹣，﹣2），
∴•＝1×0+1×（﹣）﹣1×（﹣2）＝，
||＝，||＝＝，
∴cos＜，＞＝＝＝；
（3）∵H为C1G的中点，∴H（0，，1），F（1，1，0），
∴＝（﹣1，，1），
∴||＝＝，
即FH的长为．
【知识点】空间向量的数量积运算
19.在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y＝x（x≥0）上，且．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，
∵．
∴＝a，则a＝2，即圆心C（2，2），．
则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1．
（Ⅱ）若直线斜率不存在，
则直线方程为x＝1，圆心到直线x＝1的距离d＝2﹣1＝1＝r，
此时满足直线和圆相切，
若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y＝k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k＝0，
∵直线和圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝＝1，
即|k﹣2|＝，平方得k2﹣4k+4＝1+k2，
即k＝，此时直线方程为x﹣y﹣＝0，即3x﹣4y﹣3＝0，
则对应的切线方程为x＝1或3x﹣4y﹣3＝0．
【知识点】圆的标准方程
20.已知椭圆C：的离心率是，以C的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是．
（1）求C的方程；
（2）直线y＝2x+m与C交于A，B两点，M是C上一点，N（﹣4，1），若四边形AMBN是平行四边形，求M的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：＝，＝4，a2＝b2+c2，
联立解得：a＝2，b＝＝c．
∴椭圆C的方程为：＝1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
∵四边形AMBN是平行四边形，
∴＝，
∴＝+＝（x1+x2+4，y1+y2﹣1），
联立，化为：9x2+8mx+2m2﹣4＝0，
△＝64m2﹣36（2m2﹣4）＞0，化为：m2＜18．
∴x1+x2＝﹣，y1+y2＝2（x1+x2）+2m＝，
∴＝（4﹣，﹣1），
代入椭圆方程可得：+2＝4，
化为：（2m﹣9）2＝18．又m2＜18．
解得m＝．
∴M（，）．
【知识点】椭圆的性质
21.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过焦点F且斜率存在的直线l与抛物线C交于B，D两点，且B点在D点上方，A点与D点关于x轴对称．
（1）求证：直线AB过某一定点Q；
（2）当直线l的斜率为正数时，若以BD为直径的圆过M（3，﹣1），求△BDQ的内切圆与△ABD的外接圆的半径之比．
【解答】解：（1）设BD：x＝my+1（m≠0），B（x1，y1），D（x2，y2），
联立，消x得y2﹣4my﹣4＝0；
∴△＝16m2+16恒正，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4；
∴，
即4x﹣（y1﹣y2）y﹣y1y2＝0；
令y＝0，得，
∴定点Q（﹣1，0）；………………………………………………………………………………………………（4分）
（2）由题＝（x1﹣3，y1+1）•（x2﹣3，y2+1）
＝，
∴12m2﹣4m﹣1＝0，
解得m＝或m＝﹣（不合题意，舍去）；
∴直线BD的方程为：2x﹣y﹣2＝0；……………………………………………………………………………………………（6分）
由题意知，△BDQ的内心必在x轴上，设内心I（t，0），（﹣1＜t＜1）；
则，
∴；
由I到直线BQ与到直线BD的距离相等，得，
解得t＝或t＝（不合题意，舍去），
所以内心为，
∴△BDQ内切圆半径为；…………………………………………………………（9分）
由对称性，△ABD的外心应在x轴上，设外心P（a，0），
则BD中垂线方程为2x+4y﹣7＝0，解得；
联立，解得，
∴△BAD的外接圆半径为，……………………………………………（11分）
则．………………………………………………………………………………………………（12分）
【知识点】抛物线的性质
22.设{an}是公比为正整数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1a2a3＝64，b1+b2+b3＝﹣42，6a1+b1＝2a3+b3＝0．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设pn＝，数列{pn}的前n项和为Sn．
①试求最小的正整数n0，使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立；
②是否存在正整数m，n（m＜n），使得Sm＝Sn成立？若存在，请求出所有满足条件的m，n；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q＞0，等差数列{bn}的公差为d，∵a1a2a3＝64，b1+b2+b3＝﹣42，6a1+b1＝2a3+b3＝0．
∴＝64，3b2＝﹣42，+b2﹣d＝2a2q+b2+d＝0，
联立解得a2＝4，b2＝﹣14，q＝2，d＝﹣2．
∴an＝＝4×2n﹣2＝2n，bn＝b2+（n﹣2）d＝﹣14﹣2（n﹣2）＝﹣2n﹣10．
（2）①∵pn＝，
数列{pn}的前2n项和S2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）
＝﹣14n+＝﹣﹣2n2﹣12n．
n＝1，2，3时，S2n＜0．n≥4时，都有S2n＞0．∴最小的正整数n0＝4，使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立．
②由S1＝2，S2＝﹣12，S3＝﹣12+23＝﹣4，S4＝﹣22，S5＝﹣22+25＝10，
S6＝﹣12，S7＝﹣12+27＝116．
由①可知：使得当n≥4时，都有S2n＞0成立，而an＝2n＞0．
因此n≥8时，都有Sn＞0，且Sn单调递增．
假设存在正整数m，n（m＜n），使得Sm＝Sn成立，
则取m＝2，n＝6时，Sm＝Sn＝﹣12成立，
由n≥8时，都有Sn＞0，且Sn单调递增，S8＝90．因此Sm＝Sn不可能成立．
综上可得：只有m＝2，n＝6时，使得Sm＝Sn成立．
【知识点】等比数列的前n项和
23.已知函数（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当函数f（x）与函数g（x）＝lnx图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；
（3）证明：当a∈（0，）时，函数h（x）＝f（x）﹣ax有两个零点x1，x2，且满足．
【解答】解：（1）对求导，得，
令f′（x）＝0，解得x＝e1﹣a，
当x∈（0，e1﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
当x∈（e1﹣a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
（2）设公切线l与函数g（x）＝lnx的切点为（x0，y0），则公切线l的斜率k＝g′（x0）＝，
公切线l的方程为：，将原点坐标（0，0）代入，得y0＝1，解得x0＝e．
公切线l的方程为：，将它与联立，整理得．
令，对之求导得：，令m′（x）＝0，解得．
当时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，值域为；
当时，m′（x）≥0，m（x）单调递增，值域为．
由于直线l与函数f（x）相切，即只有一个公共点，因此．
故实数a的取值集合为{}．
（3）证明：，要证h（x）有两个零点，只要证k（x）＝ax2﹣lnx﹣a有两个零点即可．k（1）＝0，
即x＝1时函数k（x）的一个零点．
对k（x）求导得：，令k′（x）＝0，解得 ．当时，k′（x）＞0，k（x）单调递增；
当0＜x＜时，k′（x）＜0，k（x）单调递减．当x＝时，k（x）取最小值，，
k（x）＝ax2﹣lnx﹣a＞ax2﹣（x﹣1）﹣a＝ax2﹣x+1﹣a＞ax2﹣x+，必定存在使得二次函数，
即k（x0）＞u（x0）＞0．因此在区间上必定存在k（x）的一个零点．
综上所述，h（x）有两个零点，一个是x＝1，另一个在区间上．
下面证明．
由上面步骤知h（x）有两个零点，一个是x＝1，另一个在区间上．
不妨设x1＝1，x2＞则，下面证明即可．
令，对之求导得，
故v（a）在定义域内单调递减，，即．
证明完毕．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程
期末检测卷08
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BC﹣D1的大小是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），
=（1，0，0），=（0，﹣1，1），
设平面BCD1的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（0，1，1），
平面ABC的法向量=（0，0，1），
设二面角A﹣BC﹣D1的平面角为θ，
则cosθ===，
∴θ=．
∴二面角A﹣BC﹣D1的大小是．
故选：C．
【知识点】二面角的平面角及求法
2.如图，已知点P在正方体ABCD﹣A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDC＝60°．设＝λ，则λ的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，
点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，且∠PDA＝60°，
∵＝λ，（0＜λ＜1），则A（1，0，0），C（0，1，0），D′（0，0，1），B（1，1，0），P（λ，λ，1﹣λ），
∴＝（λ，λ，1﹣λ），＝（0，1，0），
∴cos＜，＞＝||＝||＝cos60°＝，
由0＜λ＜1，解得λ＝．
故选：C．
【知识点】共线向量与共面向量
3.如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2＝1于点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【解答】解：方法一：特殊化，抛物线x2＝4y的焦点是F（0，1），
取过焦点的直线y＝1，依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2＝1的点是
A（﹣2，1）、B（﹣1，1）、C（1，1）、D（2，1），
∴|AB|×|CD|＝1×1＝1；
法二：∵抛物线焦点为F（0，1），
∴设直线为y＝kx+1，
直线与x2＝4y联立得：
y2﹣（4k2+2）y+1＝0；
∵|AB|＝|AF|﹣1＝yA，
|CD|＝|DF|﹣1＝yB；
∴|AB|•|CD|＝yAyB＝1．
故选：D．
【知识点】直线与圆的位置关系
4.过三点A（1，﹣7），B（1，3），C（4，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（ ）
A． B． C．4 D．2
【解答】解：∵过三点A（1，﹣7），B（1，3），C（4，2）的圆交x轴于M，N两点，
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，
令y=0，可得 x2 ﹣2x﹣20=0，
∴y=1±，∴|MN|=2．
故选：D．
【知识点】圆的标准方程
5.已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，
与以点B为圆心，半径为4的圆外切，
故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，
故选：C．
【知识点】点到直线的距离公式
6.已知椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于||，e1，e2分别是椭圆C1和双曲线C2的离心率，则9e12+e22的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【解答】解：如图所示，设半焦距为c．
∵点P是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于||，
∴PF1⊥PF2．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n．
则m+n＝2a1，m﹣n＝2a2．
∴mn＝＝﹣．
在△PF1F2中，由勾股定理可得：4c2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝﹣2（﹣）．
∴2c2＝+．
两边同除以c2，得2＝+，可得：＝．
9e12+e22＝+．
令e12＝t∈（0，1）．
则g（t）＝9t+，t∈（0，1）．
g′（t）＝9+＝＝．
可知：t＝时，函数g（t）取得极小值即最小值．
g（）＝+＝8．
因此9e12+e22的最小值是8．
故选：C．
【知识点】椭圆的性质、双曲线的性质
7.已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°＜∠PF1F2＜120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（，1） B．（，） C．（，1） D．（0，）
【解答】解：△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，
∴|PF1|＝|F1F2|＝2c，
由椭圆的定义可得：|PF2|＝2a﹣2c．
设∠PF1F2＝θ，
∵60°＜∠PF1F2＜120°，∴cosθ∈．
在△PF1F2中，由余弦定理可得：cosθ＝＝∈．
解得e∈．
故选：B．
【知识点】椭圆的性质
8.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，P到其y轴的距离为d，Q为圆（x+1）2+（y﹣4）2＝1上一个动点，d+|PQ|的最小值是（ ）
A．2﹣1 B．2﹣2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：点P是抛物线y2＝4x上的点，
点P到y轴的距离为d，则点P到抛物线准线的距离为d+1；
又点P到圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1上的动点Q的距离为|PQ|，
由抛物线定义知：点P到准线的距离等于P到焦点F的距离，
如图所示，连结圆心C与F，交圆于Q，
FC交抛物线的点即为使（d+1）+|PQ|的最小时P的位置；
∴（d+1+|PQ|）min＝|FQ|，
∵C（﹣1，4），F（1，0），
∴|FC|＝＝2，|CQ|＝1，
∴|FQ|＝2﹣1，
∴（d+|PQ|）min＝2﹣2．
故选：B．
【知识点】抛物线的性质
9.已知|x|＞y＞0．将四个数按照一定顺序排列成一个数列，则（ ）
A．当x＞0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
B．当x＞0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
C．当x＜0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
D．当x＜0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
【解答】解：当x＞0时，x＞y＞0，此时四个数的大小关系为x﹣y＜＜x＜x+y，
若x﹣y，，x，x+y成等比，则满足（）2＝（x﹣y）x，即x2﹣y2＝x2﹣xy，此时﹣y2＝﹣xy，则x＝y，不满足条件．故A错误，
若x﹣y，，x，x+y成等差，则满足2x＝+x+y，即＝x﹣y，平方得（x2﹣y2）＝（x﹣y）2，即（x﹣y）（x+y）＝（x﹣y）2，
则x+y＝x﹣y，即y＝0，不满足条件．故B错误，
当x＜0时，﹣x＞y＞0，则y＞0，x＜0，x+y＜0，x﹣y＜0，此时四个数x﹣y，，x，x+y，中三个为负数，一个为正数，不可能为等比数列，故C错误，
当x＜0时，四个数的大小为x﹣y＜x＜x+y＜，
若x﹣y，x，x+y，，成等差，
2x＝x﹣y+x+y，此时恒成立，同时2（x+y）＝x+，即＝x+2y，
平方得x2﹣y2＝x2+4y2+4xy，
即5y2＝﹣4xy，即x＝﹣y时，满足等差数列，故D正确．
故选：D．
【知识点】等差数列的性质、等比数列的性质
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an＝f（n）及Sn＝g（n）的部分图象如图所示，则（ ）
A．当n＝4时，Sn取得最大值 B．当n＝3时，Sn取得最大值
C．当n＝4时，Sn取得最小值 D．当n＝3时，Sn取得最小值
【解答】解：根据题意，由图象可知有4种可能：
①，a7＝0.7，S7＝﹣0.8，a8＝﹣0.4，由a7＝0.7，a8＝﹣0.4，可得d＝﹣1.1，a1＝7.3；
分析可得S7＝＝28＞0，与S7＝﹣0.8，矛盾，舍去；
②，a7＝0.7，S7＝﹣0.8，S8＝﹣0.4．由S7＝﹣0.8，S8＝﹣0.4，可得a8＝0.4，则═﹣0.4，
解得a1＝﹣0.5，∴a8＝﹣0.5+7d，解得d＝≠0.4﹣0.7＝﹣0.3，矛盾，舍去；
③，a7＝﹣0.8，S7＝0.7，a8＝﹣0.4．由a7＝﹣0.8，S7＝0.7，可得＝0.7，
解得a1＝1，∴﹣0.8＝1+6d，解得d＝﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）＝0.4，矛盾，舍去．
④，a7＝﹣0.8，S7＝0.7，S8＝﹣0.4，由a7＝﹣0.8，S7＝0.7，可得＝0.7，
∴﹣0.8＝1+6d，解得d＝﹣0.3，∴a8＝﹣0.8﹣0.3＝﹣1.1，∴S8＝0.7﹣1.1＝﹣0.4，满足条件．
∴an＝a1+（n﹣1）d＝1﹣0.3（n﹣1）＝1.3﹣0.3n≥0，
解可得n≤＝4+，
当n＝4时，Sn取得最大值；
故选：A．
【知识点】等差数列的性质
11.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且，当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞2（其中f'（x）为f（x）的导函数）．则不等式|x|•f（x）＞2|x|+1的解集为（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【解答】解：令g（x）=xf（x）﹣2x，g′（x）=xf'（x）+f（x）﹣2，
∵当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞2，
∴x＞0时，g′（x）＞0，
∴x＞0时，函数g（x）单调递增．
∵，
∴g（2）=2f（2）﹣4=5﹣4=1．
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（|x|）．
∴不等式|x|•f（x）＞2|x|+1，即不等式|x|•f（|x|）﹣2|x|＞1，
∴g（|x|）＞g（2），
∴|x|＞2．
解得x＜﹣2，或x＞2．
∴不等式|x|•f（x）＞2|x|+1的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
12.已知函数f（x）＝x2﹣2aex+b（a，b∈R），若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x2＜2x1，则a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（﹣∞， C．（， D．（0，）
【解答】解：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝2x﹣2aex＝0有两个零点x1，x2，
∴ae＝x1，ae＝x2，
a＝，令g（x）＝，则，
可得g（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴．x1＜x＜x2
∵x2＜2x1，则．
令x2﹣x1＝t．则et＜2，0＜t＜ln2，可得，
令g（t）＝．则g′（t）＝，
令h（t）＝et﹣1﹣tet，则h′（t）＝﹣tet＜0，
∴h（t）单调递减，∴h（t）＜h（0）＝0，
∴g（t）单调递减，∴g（t）＞g（ln2）＝ln2，即x1＞ln2，
a＝＜．
故选：A．
【知识点】利用导数研究函数的极值
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.已知球O内切于正四面体A﹣BCD，且正四面体的棱长为2，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则的最大值是 ．
【解答】解：由正四面体棱长为2，的其内切圆的半径为1，
由题意，M，N是直径的两端点，可得，，
则＝+•（+）+•＝+0﹣1＝﹣1，
当点P在正四面体顶点时，最大，且最大值为9，
则﹣1的最大值为8，
故答案为：8．
【知识点】空间向量的数量积运算
14.已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．
（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；
（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．
【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），
直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），
∴直线l1与l3交于点A；
又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，
且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，
则B（，）；
又l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；
∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，
即这三条直线共有三个不同的交点；
（2）根据题意，画出图形如图所示；
AB⊥BC，
∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；
则△ABC的面积最大值为
S=•|AC|•d=|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．
【知识点】两条直线的交点坐标
15.已知直线l：x＝﹣2，圆C：x2+y2＝4，动圆P恒与l相切，动圆P与圆C相交于A、B两点，且AB恒为圆C的直径，动圆P圆心的轨迹构成曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）已知Q（﹣1，0）、F（1，0），过Q的直线m与曲线E交于M、N两点，设直线FM，FN的倾斜角分别为θ1、θ2，问θ1+θ2是否为定值，如果是定值，求出该定值，如果不是，请说明理由．
【解答】解：（I）由题意，设点P（x，y），
则点P到直线l的距离d＝|x+2|＝r，
|PC|＝；
|AC|＝2；
则|x+2|2＝（）2+22；
故曲线E的轨迹方程为y2＝4x（x≠0）；
（II）设直线m的方程为y＝k（x+1）；
与y2＝4x（x≠0）联立得，
k2x2+（2k2﹣4）+k2＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2）；
则x1+x2＝﹣；
则tanθ1＝，tan
则tan（θ1+θ2）＝
＝
其中y1（x2﹣1）+y2（x1﹣1）
＝k（x1+1）（x2﹣1）+k（x2+1）（x1﹣1）
＝k（x1x2﹣x1+x2﹣1+x1x2﹣x2+x1﹣1）
＝k（2x1x2﹣2）
＝k（2﹣2）＝0；
故tan（θ1+θ2）＝0，
又∵θ1，θ2是直线的倾斜角，
故θ1+θ2＝π．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合
16.设等比数列{an}的前n项和为Sn，8a2﹣a5＝0，则公比q的值为 ，若﹣有最大值﹣2，则a1的值为 ．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，8a2﹣a5＝0，
则8a1q＝，
解得公比q＝2，
若﹣有最大值﹣2，则有最小值2，
则＝＝a1（1﹣）≥2，
分析可得：1﹣有最小值，
则有a1＝4，
故答案为：2；4．
【知识点】等比数列的前n项和
三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB＝a，点E在棱PC上．
（1）问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明；
（2）求二面角C﹣PA﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）当E为PC中点时，PA∥平面EBD
连接AC，EO，且AC∩BD＝O
∵四边形ABCD为正方形，
∴O为AC的中点，又E为中点，
∴OE为△ACP的中位线，
∴PA∥EO
又PA⊄面EBD，EO⊂平面EBD
∴PA∥平面EBD
（2）取PA的中点F，连接OF，BF，
∵，∴CP⊥AP
∵O，F为中点，
∴OF∥CP，即OF⊥PA，
又∵BP＝BA，F为PA中点∴BF⊥PA，
所以∠BFO为二面角C﹣PA﹣B的平面角．
在正四棱锥P﹣ABCD中易得：
∴BF2＝FO2+BO2，
∴△BOF为Rt△，
∴
【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面平行
18.棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是CG1的中点．
（1）证明：EF⊥B1C．
（2）求cos＜＞．
（3）求FH的长．
【解答】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示；
则E（0，0，1），F（1，1，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），C1（0，2，2）；
（1）∵＝（1，1，﹣1），＝（﹣2，0，﹣2），
∴•＝1×（﹣2）+1×0﹣1×（﹣2）＝0，
∴⊥，
∴EF⊥B1C；
（2）由CG＝CD知，C（0，2，0），∴G（0，，0），∴＝（0，﹣，﹣2），
∴•＝1×0+1×（﹣）﹣1×（﹣2）＝，
||＝，||＝＝，
∴cos＜，＞＝＝＝；
（3）∵H为C1G的中点，∴H（0，，1），F（1，1，0），
∴＝（﹣1，，1），
∴||＝＝，
即FH的长为．
【知识点】空间向量的数量积运算
19.在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y＝x（x≥0）上，且．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，
∵．
∴＝a，则a＝2，即圆心C（2，2），．
则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1．
（Ⅱ）若直线斜率不存在，
则直线方程为x＝1，圆心到直线x＝1的距离d＝2﹣1＝1＝r，
此时满足直线和圆相切，
若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y＝k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k＝0，
∵直线和圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝＝1，
即|k﹣2|＝，平方得k2﹣4k+4＝1+k2，
即k＝，此时直线方程为x﹣y﹣＝0，即3x﹣4y﹣3＝0，
则对应的切线方程为x＝1或3x﹣4y﹣3＝0．
【知识点】圆的标准方程
20.已知椭圆C：的离心率是，以C的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是．
（1）求C的方程；
（2）直线y＝2x+m与C交于A，B两点，M是C上一点，N（﹣4，1），若四边形AMBN是平行四边形，求M的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：＝，＝4，a2＝b2+c2，
联立解得：a＝2，b＝＝c．
∴椭圆C的方程为：＝1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
∵四边形AMBN是平行四边形，
∴＝，
∴＝+＝（x1+x2+4，y1+y2﹣1），
联立，化为：9x2+8mx+2m2﹣4＝0，
△＝64m2﹣36（2m2﹣4）＞0，化为：m2＜18．
∴x1+x2＝﹣，y1+y2＝2（x1+x2）+2m＝，
∴＝（4﹣，﹣1），
代入椭圆方程可得：+2＝4，
化为：（2m﹣9）2＝18．又m2＜18．
解得m＝．
∴M（，）．
【知识点】椭圆的性质
21.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过焦点F且斜率存在的直线l与抛物线C交于B，D两点，且B点在D点上方，A点与D点关于x轴对称．
（1）求证：直线AB过某一定点Q；
（2）当直线l的斜率为正数时，若以BD为直径的圆过M（3，﹣1），求△BDQ的内切圆与△ABD的外接圆的半径之比．
【解答】解：（1）设BD：x＝my+1（m≠0），B（x1，y1），D（x2，y2），
联立，消x得y2﹣4my﹣4＝0；
∴△＝16m2+16恒正，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4；
∴，
即4x﹣（y1﹣y2）y﹣y1y2＝0；
令y＝0，得，
∴定点Q（﹣1，0）；………………………………………………………………………………………………（4分）
（2）由题＝（x1﹣3，y1+1）•（x2﹣3，y2+1）
＝，
∴12m2﹣4m﹣1＝0，
解得m＝或m＝﹣（不合题意，舍去）；
∴直线BD的方程为：2x﹣y﹣2＝0；……………………………………………………………………………………………（6分）
由题意知，△BDQ的内心必在x轴上，设内心I（t，0），（﹣1＜t＜1）；
则，
∴；
由I到直线BQ与到直线BD的距离相等，得，
解得t＝或t＝（不合题意，舍去），
所以内心为，
∴△BDQ内切圆半径为；…………………………………………………………（9分）
由对称性，△ABD的外心应在x轴上，设外心P（a，0），
则BD中垂线方程为2x+4y﹣7＝0，解得；
联立，解得，
∴△BAD的外接圆半径为，……………………………………………（11分）
则．………………………………………………………………………………………………（12分）
【知识点】抛物线的性质
22.设{an}是公比为正整数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1a2a3＝64，b1+b2+b3＝﹣42，6a1+b1＝2a3+b3＝0．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设pn＝，数列{pn}的前n项和为Sn．
①试求最小的正整数n0，使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立；
②是否存在正整数m，n（m＜n），使得Sm＝Sn成立？若存在，请求出所有满足条件的m，n；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q＞0，等差数列{bn}的公差为d，∵a1a2a3＝64，b1+b2+b3＝﹣42，6a1+b1＝2a3+b3＝0．
∴＝64，3b2＝﹣42，+b2﹣d＝2a2q+b2+d＝0，
联立解得a2＝4，b2＝﹣14，q＝2，d＝﹣2．
∴an＝＝4×2n﹣2＝2n，bn＝b2+（n﹣2）d＝﹣14﹣2（n﹣2）＝﹣2n﹣10．
（2）①∵pn＝，
数列{pn}的前2n项和S2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）
＝﹣14n+＝﹣﹣2n2﹣12n．
n＝1，2，3时，S2n＜0．n≥4时，都有S2n＞0．∴最小的正整数n0＝4，使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立．
②由S1＝2，S2＝﹣12，S3＝﹣12+23＝﹣4，S4＝﹣22，S5＝﹣22+25＝10，
S6＝﹣12，S7＝﹣12+27＝116．
由①可知：使得当n≥4时，都有S2n＞0成立，而an＝2n＞0．
因此n≥8时，都有Sn＞0，且Sn单调递增．
假设存在正整数m，n（m＜n），使得Sm＝Sn成立，
则取m＝2，n＝6时，Sm＝Sn＝﹣12成立，
由n≥8时，都有Sn＞0，且Sn单调递增，S8＝90．因此Sm＝Sn不可能成立．
综上可得：只有m＝2，n＝6时，使得Sm＝Sn成立．
【知识点】等比数列的前n项和
23.已知函数（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当函数f（x）与函数g（x）＝lnx图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；
（3）证明：当a∈（0，）时，函数h（x）＝f（x）﹣ax有两个零点x1，x2，且满足．
【解答】解：（1）对求导，得，
令f′（x）＝0，解得x＝e1﹣a，
当x∈（0，e1﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
当x∈（e1﹣a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
（2）设公切线l与函数g（x）＝lnx的切点为（x0，y0），则公切线l的斜率k＝g′（x0）＝，
公切线l的方程为：，将原点坐标（0，0）代入，得y0＝1，解得x0＝e．
公切线l的方程为：，将它与联立，整理得．
令，对之求导得：，令m′（x）＝0，解得．
当时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，值域为；
当时，m′（x）≥0，m（x）单调递增，值域为．
由于直线l与函数f（x）相切，即只有一个公共点，因此．
故实数a的取值集合为{}．
（3）证明：，要证h（x）有两个零点，只要证k（x）＝ax2﹣lnx﹣a有两个零点即可．k（1）＝0，
即x＝1时函数k（x）的一个零点．
对k（x）求导得：，令k′（x）＝0，解得 ．当时，k′（x）＞0，k（x）单调递增；
当0＜x＜时，k′（x）＜0，k（x）单调递减．当x＝时，k（x）取最小值，，
k（x）＝ax2﹣lnx﹣a＞ax2﹣（x﹣1）﹣a＝ax2﹣x+1﹣a＞ax2﹣x+，必定存在使得二次函数，
即k（x0）＞u（x0）＞0．因此在区间上必定存在k（x）的一个零点．
综上所述，h（x）有两个零点，一个是x＝1，另一个在区间上．
下面证明．
由上面步骤知h（x）有两个零点，一个是x＝1，另一个在区间上．
不妨设x1＝1，x2＞则，下面证明即可．
令，对之求导得，
故v（a）在定义域内单调递减，，即．
证明完毕．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程
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