2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十三章第二节　排列与组合

第二节　排列与组合

排列与组合

1.概念(公式)理解

(1)组合与排列问题都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的计数问题,它们的差别是:排列考虑元素顺序,组合不考虑元素顺序.

(2)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)的右边第一个因数为n,后面每个因数都比前面因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘.

(3)公式=体现了组合数与排列数的关系.

(4)当m,n较大或对含有字母的排列数或组合数的式子进行变形和证明时,常用公式=或=.

(5)当m>时,常利用组合数的性质将计算转化为计算.

2.与排列(数)组合(数)有关的结论

(1)若=,则x=y或x+y=n.

(2)=n,=·.

(3)+++…+=.

(4)(n+1)!=(n+1)·n!,(n+1)!-n!=n·n!.

(5)k=n.

1.若=10,则n等于(　B　)

(A)1 (B)8 (C)9 (D)10

解析:=10,

所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),

所以n=8.

2.若=,则的值为(　C　)

(A)1 (B)20 (C)35 (D)7

解析:由=,得n=7,

可求出===35.

3.有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5.

(1)从中任取4张,共有　　　种不同取法; 

(2)从中任取4张,排成一个四位数,共组成　　　个不同的四位数. 

答案:(1)5　(2)120

4.(2019·嘉兴期末联考)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校A,B两个专业各需要一门科目满足要求即可,A专业:物理、化学、技术;B专业:历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有　　　　种.(用数字作答) 

解析:当考生选择技术时,两个专业均可报考,再从剩下的6门选择两科即可,这样有选考方式=15种,当考生不选技术时,可以从物理、化学中选一科,再从历史、地理选一科,最后从政治、生物中选一科,这样有选考方式2×2×2=8种;当考生同时选历史、地理时,还需要从物理、化学中选择一科,这样有选考方式为2种,类似,同时选物理,化学时,还需从历史、地理中选择一科,这样有2种;

故一共有选考方式15+8+2+2=27种.

答案:27

考点一　排列的应用问题

[例1] 有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.

(1)选5人排成一排;

(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;

(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;

(4)全体排成一排,女生必须站在一起;

(5)全体排成一排,男生互不相邻.

解:(1)从7人中选5人排列,

有=7×6×5×4×3=2 520(种).

(2)法一　分两步完成,先选3人站前排,

有种方法,余下4人站后排,有种方法,

共有·=5 040(种).

法二　(分排问题直排法)前排3人,后排4人,可视为7人排成一排,其中前3人为前排,后4人为后排,排法有=5 040(种).

(3)法一　(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有种排列方法,共有5×=3 600(种).

法二　(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人,有种排法,其他有种排法,

共有=3 600(种).

(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有种方法,再将女生全排列,有种方法,共有·=576(种).

(5)(插空法)先排女生,有种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有种方法,

共有·=1 440(种).

求解排列应用问题的主要方法

1.四位男演员与五位女演员(包含女演员甲)排成一排拍照,其中四位男演员互不相邻,且女演员甲不站两端的排法数为(　A　)

(A)-2 (B)-

(C)-2 (D)-

解析:四位男演员互不相邻可用插入法,有种排法,其中女演员甲站在两端的方法有2,因此所求排法数为-2.故选A.

2.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　B　)

(A)36种 (B)42种 (C)48种 (D)54种

解析:分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中间4个节目无限制条件,有种排法;第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有种排法,其他3个节目有种排法,故有种排法.依分类加法计数原理,共有+=42种编排方案.

考点二　组合的应用问题

[例2] 有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数:

(1)有女生但人数少于男生;

(2)某女生一定要担任语文课代表;

(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;

(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.

解:(1)先选后排.符合条件的课代表人员的选法有(+)种,排列方法有种,所以满足题意的选法有(+)·=5 400(种).

(2)除去该女生后,即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表,有=840(种)选法.

(3)先选后排.从剩余的7名学生中选出4名有种选法,排列方法有种,所以选法共有=3 360(种).

(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人,有种选法,该男生的安排方法有种,其余3人全排列,有种,因此满足题意的选法共有=360(种).

组合问题常见以下几个题型

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解,用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.

(3)名额分配问题:将n个名额分给m个单位,每个单位至少有一个名额可以看作将n个相同的小球放入m个盒子里,每个盒子里至少有一个小球,其放法为将n个小球串成一串.从(n-1)个间隙里选(m-1)个插入隔板,有种放法,即名额分配问题隔板法.

1.(2019·温州市2月模拟)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡,若顾客甲只带了现金,顾客乙只用支付宝或微信付款,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有　　　　种. 

解析:这四名顾客购物后,恰好用了其中三种结账方式情况有:

(1)当结账方式为现金、支付宝、微信,则他们的结账方式有(1+)=10种;

(2)当结账方式为现金、支付宝、银联卡,则他们的结账方式有1+=5种;

(3)当结账方式为现金、微信、银联卡,则他们的结账方式有1+=5种;

所以这四名顾客购物后,恰好用了其中三种结账方式为10+5+5=20种.

答案:20

2.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试1人.则不同的安排方式有　　　　种.(用数字作答) 

解析:(分类讨论思想)上午测试安排有种方式,下午测试分为:(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”,其余三位同学有2种安排方式;(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”,则该同学有种安排方式,其余三位同学选1人测试“握力”,有种安排方式,其余两人只有1种安排方式,则共有·=9(种),因此安排方式共有(2+9)=264(种).

答案:264

考点三　分组、分配问题

[例3] 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;

(3)平均分成三份,每份2本;

(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;

(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;

(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.

解:(1)无序不均匀分组问题.

先选1本,有种选法;

再从余下的5本中选2本,有种选法;

最后余下3本全选,有种选法.

故共有=60(种).

(2)有序不均匀分组问题.

由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有=360(种).

(3)无序均匀分组问题.

分配方式有=15(种).

(4)有序均匀分组问题.

在(3)的基础上再分配给3个人,

共有分配方式·==90(种).

(5)无序部分均匀分组问题.

共有=15(种).

(6)有序部分均匀分组问题.

在(5)的基础上再分配给3个人,

共有分配方式·=90(种).

(7)直接分配问题.

甲选1本,有种方法;乙从余下的5本中选1本,有种方法,余下4本留给丙,有种方法,故共有分配方式=30(种).

(1)均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数,还要充分考虑到是否与顺序有关;有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.

(2)分配问题:先将元素分组,再将各组排列,或者逐一分配.

1.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,则不同的分配方案有(　D　)

(A)30种 (B)60种 (C)90种 (D)150种

解析:5名教师分成3组有2,2,1;3,1,1两种情况,

第一种情况的分法有=15(种),

第二种情况的分法有=10(种),

所以5名教师分成3组的分法有15+10=25(种),

3个组分配到3个班的分法有=6(种),

由分步乘法计数原理知不同的分配方案有

25×6=150(种).故选D.

2.(2019·绍兴上虞5月模拟)某市举办全运会开幕式.现从A,B,C,D,E5个节目中任选3个节目进行开幕式表演,若3个节目中有A和B时,A需排在B的前面出场(不一定相邻),则不同的出场方法有　　　　种. 

解析:根据题意分两个情况进行讨论:

(1)在5个节目中任选3个,同时有A,B时,有种选法,要求A需排在B的前面出场,有3种情况,则此时有3×3=9种.

(2)A,B没有同时入选,有-=7种选法,每种选法有=6种情况,则此时有7×6=42种排法,所以一共有9+42=51种排法.

答案:51