2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十三章第四节　随机事件的概率与古典概型

第四节　随机事件的概率与古典概型

一、事件的概念与性质

1.事件的相关概念

(1)必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件;

(2)不可能事件:在一定条件下,一定不会发生的事件;

(3)随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.

2.频率与概率

(1)频率

在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.

(2)概率

对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.

3.事件的关系与运算

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(E)=1.

(3)不可能事件的概率P(F)=0.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).

②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).

1.概念理解

(1)随机试验的所有结果是明确可知的,但不止一个,每次试验总是出现这些结果中的一个.

(2)频率是随机的,而概率是一个确定的值,概率是大量重复试验事件发生频率的期望值,常常通过做大量重复试验用频率来估计概率.

(3)互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.在一次试验中,两个互斥的事件有可能都不发生,也可能有一个发生;而两个对立的事件则必有一个发生,但不可能同时发生.所以,两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.也就是说,两事件对立是两事件互斥的一种特殊情况.

(4)并(和)事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.

2.概率加法公式的推广

若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则

(1)P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);

(2)P()=1-P(A1)-P(A2)-…-P(An).

二、古典概型

1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

②每个基本事件出现的可能性相等.

(2)计算公式:P(A)= .

概念理解

(1)判断一个试验是否是古典概型,关键看这个试验是否具有有限性和等可能性两个特征.

(2)使用古典概型概率公式时,首先判断是否为古典概型,再计算.

1.装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是(　D　)

(A)“至少有一个黑球”与“都是黑球”

(B)“至少有一个黑球”与“都是红球”

(C)“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

(D)“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

解析:A选项中的两个事件是包含关系;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.

故选D.

2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为50%,那么乙不输的概率是(　B　)

(A)20% (B)70% 

(C)80% (D)30%

3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b≥a的概率是(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:所有的选法共有5×3=15种,其中满足b≥a的选法有1+2+3=6种,故b≥a的概率是=.

4.若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人,这5人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:甲、乙都未被录用的概率为=,所以甲或乙被录用的概率为1-=.

5.下列说法正确的是(　C　)

(A)任一事件的概率总在(0,1)内

(B)不可能事件的概率不一定为0

(C)必然事件的概率一定为1

(D)以上均不对

解析:任一事件的概率总在[0,1]内,所以A错.

不可能事件的概率一定为0,所以B错.

必然事件的概率一定为1,C正确.

故选C.

6.(2019·宁波市高三上期末联考)新春将近,为了迎接新年,小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡,设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入,则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为　　　　. 

解析:为了迎接新年,五人写好心愿卡随机放入一个漂流瓶的基本事件总数为N==120种,事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件总数为M=++=31种,所以事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为P==.

答案:

7.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率为0.42,摸出白球的概率为0.28,若红球有21个,则黑球有　　　　个. 

答案:15

考点一　随机事件的关系判断

[例1] 从6件正品与3件次品中任取3件.观察正品件数与次品件数,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.

(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”;

(2)“至少有1件次品”和“全是次品”;

(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”.

解:从6件正品与3件次品中任取3件共有4种情况:

①3件全是正品,②2件正品1件次品,③1件正品2件次品,④3件全是次品.

(1)“恰好有1件次品”即②;“恰好有2件次品”即③,它们是互斥事件但不是对立事件,

(2)“至少有1件次品”包括②,③,④,“全是次品”即④,所以它们不是互斥事件.

(3)“至少有2件次品”包括③,④;“至多有1件次品”包括①,②,它们是互斥事件且是对立事件.

判断是否为互斥事件的关键是看两个事件能否同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件.具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而判断出所给事件的关系.

从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:

①至少有1个白球与至少有1个黄球;

②至少有1个黄球与都是黄球;

③恰有1个白球与恰有1个黄球;

④恰有1个白球与都是黄球.

其中互斥而不对立的事件共有(　B　)

(A)0组 (B)1组 (C)2组 (D)3组

解析:①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰好1个白球和1个黄球,故两个事件不是互斥事件;②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,故两个事件不互斥;③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球,故两个事件是同一事件;④中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选B.

考点二　互斥事件与对立事件的概率

[例2] 某战士射击一次,问:

(1)若中靶的概率为0.95,则不中靶的概率为多少?

(2)若命中10环的概率是0.27,命中9环的概率为0.21,命中8环的概率为0.24,则至少命中8环的概率为多少?不够9环的概率为多少?

解:(1)设中靶为事件A,则不中靶为.

则由对立事件的概率公式可得,

P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.

(2)设命中10环为事件B,命中9环为事件C,命中8环为事件D,由题意知P(B)=0.27,P(C)=0.21,P(D)=0.24.

记至少命中8环为事件E,

则P(E)=P(B+C+D)

=P(B)+P(C)+P(D)

=0.27+0.21+0.24

=0.72.

记至少命中9环为事件F,

则P(F)=P(B+C)

=P(B)+P(C)

=0.27+0.21=0.48.

故不够9环为,则P()=1-P(F)=1-0.48=0.52.

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法

(1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算.

(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就显得较简便.

某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:

(1)P(A),P(B),P(C);

(2)1张奖券的中奖概率;

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

解:(1)P(A)=,

P(B)==,

P(C)==.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.

设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.

因为A,B,C两两互斥,

所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)==.故1张奖券的中奖概率为.

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,

所以P(N)=1-P(A∪B)=1-(+)=.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

考点三　简单古典概型

[例3] (1)无重复数字的五位数a1a2a3a4a5,当a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4>a5时称为波形数,则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是　　　　; 

(2)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n=　　　　. 

解析:(1)因为a2>a1,a2>a3,a4>a3,a4>a5,所以a2只能是3,4,5中的一个.

①若a2=3,则a4=5,a5=4,a1与a3是1或2,这时共有=2(个)符合条件的五位数.

②若a2=4,则a4=5,a1,a3,a5可以是1,2,3,共有=6(个)符合条件的五位数.

③若a2=5,则a4=3或4,此时分别与①②中的个数相同.

所以满足条件的五位数有2(+)=16(个).

又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有=120(个),故所求概率为=.

(2)由题意知n>4,取出的两数之和等于5的有两种情况:1+4,2+3.

从n个数中取出两数,不同的结果为.

所以取出两数之和等于5的概率为P==.

即=28,

解得n=8.

答案:(1)　(2)8

有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.

(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出.

(2)基本事件总数较多时,常利用排列、组合以及计数原理求基本事件数.

提醒:使用古典概型概率公式时,每个基本事件发生必须是等可能的.

1.从3名男同学,2名女同学中任选2人参加知识竞赛,则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是　　　　. 

解析:都是女同学的概率是=,

所以至少有1名男同学的概率是1-=.

答案:

2.在集合{1,2,3,4}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量m=(a,b),从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,则平行四边形的面积等于2的概率为　　　　. 

解析:因为a的取法有2种,b的取法有2种,

所以向量m=(a,b)有4个,分别为m1=(2,1),m2=(2,3),m3=(4,1),m4=(4,3),从中任取两个向量,共=6(种)取法.设选取的两个向量为a,b,它们的夹角为θ,则cos θ=,所以以a,b为邻边的平行四边形的面积S=2×|a|·|b|sin θ=,若S=2,则(|a|·|b|)2-(a·b)2=4.当a=(2,1),b=(4,1)时,满足条件,当a=(2,1),b=(4,3)时,满足条件,所以满足条件的向量有2组,所以所求概率P=.

答案:

考点四　复杂的古典概型的概率

[例4] 现有一个质地均匀的正四面体骰子,每个面上分别标有数字1,2,3,4,将这个骰子连续投掷两次,朝下一面的数字分别记为a,b,试计算下列事件的概率:

(1)事件A:a=b;

(2)事件B:函数f(x)=ax2-bx+1在区间[,+∞)上为增函数.

解:将骰子投掷一次有4种结果,所以投掷两次有16种结果.

(1)事件A包含4种结果.

由古典概型的概率计算公式可得P(A)=.

(2)因为函数f(x)=ax2-bx+1在区间[,+∞)上为增函数,

所以即b≤a(a>0).

所以记投掷结果为(a,b),事件B包含6种结果:(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3).

由古典概型的概率计算公式可得P(B)=.

(1)当所求事件情况较复杂时,常把所求事件转化为彼此互斥事件的和,或考虑其对立事件求解.

(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时,通常考虑用对立事件的概率加法公式P(A)=1-P()求解.