第二章 2.7函数图像-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测



1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的图象相同．(　×　)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)
(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　×　)
2、函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
答案　C
解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.
3、函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　)

答案　D
解析　f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；在x>0时，f(x)＝2x2－ex，
f′(x)＝4x－ex，当x∈时，f′(x)<×4－e0＝0，因此f(x)在上单调递减，排除C，故选D.

4、函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝ex＋1 B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1
答案　D
解析　与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得
y＝e－x的图象，∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
5、已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________．
答案　(0,1]
解析　当x≤0时，0＜2x≤1，要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，由图象可知0＜a≤1.


作业检查


无






第2课时


阶段训练


题型一　作函数的图象
例1　作出下列函数的图象．
(1)y＝()|x|；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；
(4)y＝x2－2|x|－1.
解　(1)作出y＝()x的图象，保留y＝()x的图象中x≥0的部分，加上y＝()x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝()|x|的图象，如图①实线部分．

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.

(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④.


【同步练习】
1、作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|·(x＋1)；
(2)y＝.
解　(1)当x≥2，即x－2≥0时，
y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝(x－)2－；
当x<2，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2
＝－(x－)2＋.
∴y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．

(2)y＝＝1－，该函数图象可由函数y＝－向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．

题型二　识图与辨图
例2　(1)函数f(x)＝2x－tan x在(－，)上的图象大致为(　　)


(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)



答案　(1)D　(2)B
解析　(1)f(x)＝2x－tan x是奇函数，其图象关于原点成中心对称，又f()＝－tan ＝－1>0，故选D.
(2)方法一　由y＝f(x)的图象知，
f(x)＝
当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，
所以f(2－x)＝
故y＝－f(2－x)＝图象应为B.
方法二　当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
观察各选项，可知应选B.
【同步练习】函数y＝的图象大致为(　　)

(2)函数f(x)＝|x|＋(其中a∈R)的图象不可能是(　　)


答案　(1)D　(2)B
解析　(1)y＝＝1＋为奇函数且x＝0时函数无意义，可排除C、D，又在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，故选A.
(2)当a＝0时，f(x)＝|x|，故A可能；
由题意得f(x)＝
则当x>0时，f′(x)＝1－＝，
当x<0时，f′(x)＝－1－＝，
若a>0，易知当x>0,0 x>时，f(x)为增函数，当x<0时，f(x)为减函数，故B可能；
若a<0，易知当x<0，－ x<－时，f(x)为减函数，当x>0时，f(x)为增函数，故D可能，故选C.






第3课时


阶段重难点梳理



1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
2．图象变换
(1)平移变换

(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)
y＝f(ax)．
②y＝f(x)
y＝af(x)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
1．函数对称的重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
2．函数图象平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
重点题型训练



题型三　函数图象的应用
命题点1　研究函数的性质
例3　(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)将函数f(x)＝x|x|－2x
去掉绝对值得
f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)因为f(2x＋1)是偶函数，
所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，
所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.
命题点2　解不等式
例4　函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，图象如图所示，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．

答案　(－3,0)∪(0,3)
解析　∵f(x)为奇函数，
∴x·[f(x)－f(－x)]＝2x·f(x)<0，
结合图象知x的范围为(－3,0)∪(0,3)．
命题点3　求解函数零点问题
例5　已知函数f(x)＝ 其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
答案　(3，＋∞)
解析　如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.






【同步练习】
(1)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________．

(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
答案　(1){x|－ 解析　(1)在(0，)上y＝cos x>0，
在(，4)上y＝cos x<0.
由f(x)的图象知在(1，)上<0，
因为f(x)为偶函数，y＝cos x也为偶函数，
所以y＝为偶函数，
所以<0的解集为{x|－ (2)先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为(，1)．



题型五 高考中的函数图象及应用问题
考点分析 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决.熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提.
一、已知函数解析式确定函数图象
典例1　函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)


解析　∵f(x)＝(x－)cos x(－π≤x≤π且x≠0)，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x＝π时，f(x)＜0，排除C.故选D.
答案　D
二、函数图象的变换问题
典例2　已知函数f(x)＝e|ln x|－|x－|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为(　　)



解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当x>1时，f(x)＝eln x－(x－)＝，
当0 作出f(x)的草图，
将f(x)的图象向左平移1个单位得函数f(x＋1)的图象，故选A.
答案　A三、函数图象的应用
典例3　(1)已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．
(2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)

A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
(3)若函数f(x)＝的图象如图所示，则m的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1) B．(－1,2)
C．(0,2) D．(1,2)
解析　(1)由y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，
得f(x)＝1或f(x)＝.
①若f(x)＝1，则或
解得x＝10或x＝或x＝0.
②若f(x)＝，则或
解得x＝或x＝.
综上，共有5个零点．
(2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图所示.

由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1 (3)根据图象可知，函数图象过原点，
即f(0)＝0，∴m≠0.
当x>0时，f(x)>0，∴2－m>0，
即m<2，函数f(x)在[－1,1]上是单调递增的，
∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，
f′(x)＝
＝>0，
∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1,1]上恒成立，
∴(x2－m)max<0，∴m>1.
综上所述，1 答案　(1)5　(2)C　(3)D






思导总结


一、图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
二、函数图象的识辨可从以下方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
三、数形结合
(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)








作业布置



1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)


答案　A
解析　f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.
因为函数f(x)过定点(0,0)，故排除B，D，故选A.
2．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点(　　)
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
答案　A
解析　y＝2x y＝2x－3 y＝2x－3－1.故选A.
3．已知函数f(x)＝对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，则下列不等式成立的是(　　)
A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
答案　D
解析　函数f(x)的图象如图所示，
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．
又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.
4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
答案　D
解析　f(x)为奇函数，所以不等式<0化为<0，
即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．
所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
5．已知函数f(x)＝e|ln x|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为(　　)


答案　D
解析　当x≥1时，f(x)＝eln x＝x，其图象为一条直线；当0 6．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：
①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
答案　B
解析　因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，
所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；
因为y＝lg xy＝lg(x＋1)

y＝lg(|x|＋1)y＝lg(|x－2|＋1)，如图，
可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，
在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．
7．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
答案　－
解析　∵|x－a|≥0恒成立，∴要使y＝2a与y＝|x－a|－1只有一个交点，必有2a＝－1，解得a＝－.
8．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为____________________________________________________________．
答案　6
解析　f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图．令x＋2＝10－x，得x＝4.

当x＝4时，f(x)取最大值，
f(4)＝6.
9.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________________．

答案　f(x)＝
解析　当－1≤x≤0时，设函数f(x)的解析式为y＝kx＋b，
则得
∴y＝x＋1.
当x>0时，设函数f(x)的解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，解得a＝.
∴y＝(x－2)2－1.
综上，f(x)＝
*10.已知函数f(x)＝g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为________________．
答案　(－∞，]∪[，＋∞)
解析　对任意的x1，x2∈R，
都有f(x1)≤g(x2)成立，
即f(x)max≤g(x)min，
观察f(x)＝的图象可知，当x＝时，
函数f(x)max＝；
因为g(x)＝|x－k|＋|x－1|≥|x－k－|x－1||＝|k－1|，
所以g(x)min＝|k－1|，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
故实数k的取值范围是(－∞，]∪[，＋∞)．
*11.定义在R上的函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
答案　0
解析　函数f(x)的图象如图，方程f(x)＝c有三个根，即y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点，易知c＝1，且一根为0，由lg|x|＝1知另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.


12．已知函数f(x)＝
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．
解　(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知：
函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．
(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
13．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
解　(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，
G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0 (2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝(t＋)2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，
即所求m的取值范围为(－∞，0]．