2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第九章第二节　求数列的通项

第二节　求数列的通项

复习目标
学法指导
1.能根据数列的前几项写出一个通项公式.
2.由递推公式求通项.
3.由an与Sn关系求通项.
4.会构造数列求通项.
1.观察归纳法求通项公式关键是找出各项的共同规律与项数n的关系,当项与项之间的关系不明显时,可采用适当变形或分解的办法.
2.由递推公式求通项,通常用累加、累乘法求解,当出现an=an-1+f(n)时,用累加法;当出现=f(n)时,用累乘法求解.


一、观察法求通项
观察数列中各项与其序号之间的关系,分解各项中变化部分与不变部分,再探索各项中变化部分与序号之间的关系,从而归纳出构成规律,写出通项公式.
二、公式法求通项
能够判定函数是等差数列(或等比数列),并能求得数列的首项和公差(或公比),运用等差数列(或等比数列)通项公式求出数列通项.
三、给出an和Sn的关系式,求通项
1.an与Sn的关系是an=当n=1时,a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式;
若n=1时不适合Sn-Sn-1,则用分段函数形式表示.
2.若给出an与Sn满足的等量关系式,求an时,通常用an+1=Sn+1-Sn,构造出an+1和Sn+1,两式相减即可得到关于an的等量关系式,从而变形求得an,注意解题过程中需检验a1是否符合通项,若不符合则写成分段函数形式.
四、给出递推关系式求数列通项
1.通过对递推关系式进行变形、整理,构造出其他形式的等差或等比数列.
2.由递推公式求通项的四种常见类型.
(1)形如an+1-an=f(n)(用累加法求通项,这时f(n)可以求和);
(2)形如=f(n)(用累乘法求通项,这时f(n)能求积);
(3)形如an+1=pan+q(p≠0,p≠1,q≠0),转化为an+1+λ=p(an+λ),其中λ=的形式,则数列{an+λ}是首项为a1+λ,公比为p的等比数列;
(4)形如an+1=p(p,r是常数且p>0,an>0)的形式,等号两边取对数转化为(3)的形式求解.

1.设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是(　D　)
(A) (B) (C)4 (D)0
解析:因为an=-3(n-)2+,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大值为0.
2.已知数列{an}中,a1=-1,an+1·an=an+1-an,则数列的通项an=　　　. 
解析:把an+1·an=an+1-an的两边同时除以an+1an得-=-1,所以{}组成公差为-1,首项为-1的等差数列,故=-n,an=-.
答案:-
3.数列{an}满足:a1=3,an-anan+1=1,An表示{an}前n项之积,则A2 013=　　　　. 
解析:根据an-anan+1=1可得an+1=1-,
又a1=3,可以求得a2=,a3=-,a4=3,
所以数列{an}是以3为周期的周期数列,
且a1·a2·a3=-1,
因为2 013=3×671,
所以A2 013=(-1)671=-1.
答案:-1
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an+1),则 a7=　　　　. 
解析:由Sn=2(an+1)得n≥2时,Sn-1=2(an-1+1),
两式相减得an=2(an-an-1),an=2an-1,
而a1=2(a1+1),a1=-2,所以a7=-2×26=-128.
答案:-128
5.已知数列{an},a1=1,an+1=,则数列{an}的第40项是　　　　. 
解析:由an+1=可知==3+,
数列{}是等差数列,首项为1,公差为3,
则=1+3(n-1)=3n-2,an=,a40=.
答案:

考点一　已知数列的前几项归纳数列的通项公式
[例1] 写出下列各数列的一个通项公式:
(1)3,5,7,9,…;
(2),,,,,…;
(3)-1,,-,,-,,…;
(4)3,33,333,3 333,….
解:(1)各项减去1后为正偶数,
所以an=2n+1.
(2)每一项的分子比分母少1,
而分母组成数列21,22,23,24,…,
所以an=.
解:(3)奇数项为负,偶数项为正,故第n项的符号为(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,
所以an=(-1)n·,也可写为
an=
(4)将数列各项改写为:,,,,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,….
所以an=(10n-1).
由前几项归纳数列通项公式的策略
(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项的符号特征和绝对值特征;(5)化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;(6)对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.

1.下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,…,的通项公式的是(　C　)
(A)an=2-(-1)n (B)an=
(C)an=2-|sin | (D)an=
解析:把n=1,2,3,…代入验证,易知选C.
2.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　C　)
(A)6n-2 (B)8n-2 (C)6n+2 (D)8n+2
解析:本题规律就是:每增加一个“金鱼”就增加6根火柴棒.由图形可知:第一个“金鱼”需用火柴棒的根数为2+6=8;第二个“金鱼”需用火柴棒的根数为2+2×6=14;第三个“金鱼”需用火柴棒的根数为2+3×6=20;…;第n个“金鱼”需用火柴棒的根数为2+n×6=2+6n.故选C.
考点二　由Sn求an
[例2] (1)(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　　　; 
(2)已知各项均为正数的数列{an}满足:++…+=n2+3n,则an=　　　　; 
(3)已知数列{an}的前n项和为Sn,an≠0,且a1=1,an+1=-2SnSn+1,求数列{an}的通项公式.
解析:(1)因为Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,
所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
即an=2an-1.
当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.
所以数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,
所以Sn===1-2n,
所以S6=1-26=-63.
解析:(2)由++…+=n2+3n,可得++…+=(n-1)2+
3(n-1)(n≥2),两式相减可得=2n+2(n≥2),当n=1时,=12+
3×1=4=2×1+2,满足=2n+2,所以=2n+2(n∈N*),则an=(2n+2)2=
4(n+1)2.
答案:(1)-63　(2)4(n+1)2
(3)解:因为an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1-Sn=-2SnSn+1,
两边同除以SnSn+1得-=2,又==1,
所以是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以=2n-1,所以Sn=.
所以n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-=-,
又a1=1不适合上式,
所以an=
(1)形如Sn=f(n)型的数列求通项
一般直接使用公式确定数列通项公式即可.用公式an=求解时,要注意对n分类讨论,但若能合并时一定要合并.
(2)形如Sn=f(an)型的数列求通项
如果数列{an}的前n项和Sn与第n项an之间的关系式可整理成Sn=f(an)的结构时,我们可以利用n≥2时,an=Sn-Sn-1转化为an与an-1之间的关系,从而确定数列{an}所具有的性质,进而求出an的表达式.
(3)形如an=f(Sn)型的数列求通项
如果数列{an}的前n项和Sn与第n项an之间的关系式可整理成an=f(Sn)的结构时,我们可以利用n≥2时,an=Sn-Sn-1转化为Sn与Sn-1之间的关系,从而确定数列{Sn}所具有的性质,进而求出Sn的表达式,转化为Sn=f(n)型的数列,进而求出an.

1.已知数列{an}中,a1=1,nan+1=2(a1+a2+…+an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　. 
解析:因为nan+1=2(a1+a2+…+an),①
所以当n≥2时,(n-1)an=2(a1+a2+…+an-1) ②
①-②得nan+1-(n-1)an=2an,
即nan+1=(n+1)an,
所以=,
所以an=a1··…·=1··…·=n,
当n=1时,结论也成立.
所以an=n.
答案:an=n
2.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=3n2-2n+1,则an=　　　　. 
解析:设a1+2a2+3a3+…+nan=Tn,
当n=1时,a1=T1=3×12-2×1+1=2,
当n≥2时,nan=Tn-Tn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,
因此an=,
显然当n=1时,不满足上式.
故数列的通项公式为an=
答案:
考点三　由递推关系求通项
[例3] (1)已知数列{an}满足a1=,an+1=an+,求an;
(2)已知数列{an}满足a1=2,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*),求an;
(3)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.
解:(1)因为an+1=an+,
所以an+1-an===-,
所以a2-a1=1-,
a3-a2=-,
a4-a3=-,…,
an-an-1=-(n≥2),
相加,得an-a1=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,
所以an=-(n≥2),
经检验a1=适合上式,
所以an=-.
解:(2)因为(n+1)an=(n-1)an-1,所以=,
因此···…·=×××…×=,
所以an=.
解:(3)设递推公式an+1=2an+3可以转化为
an+1-t=2(an-t),
即an+1=2an-t⇒t=-3.
故递推公式为an+1+3=2(an+3),
令bn=an+3,则b1=a1+3=4,
且==2,
所以{bn}是以b1=4为首项,2为公比的等比数列,
则bn=4×2n-1=2n+1,
所以an=2n+1-3.
(1)累加法适用于形如an+1-an=f(n)的数列求an,具体步骤
如下:
写出下面n-1个等式:
a2-a1=f(1);
a3-a2=f(2);
a4-a3=f(3),
…
an-an-1=f(n-1).
将这n-1个等式两边分别相加,得
an-a1=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1),
所以an=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1)(n≥2).
(2)累乘法适用于形如=f(n)的数列求an,用累乘法求通项公式的具体步骤如下:
写出下面n-1个等式:
=f(1),=f(2),=f(3),…,=f(n-1)(n≥2),
将这些等式左右两边分别相乘,得
=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n-1),
所以an=a1·f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n-1)(n≥2).
(3)an+1=pan+q(p≠0,p≠1,q≠0)型的数列求an常把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解.
(4)an+1=pan+qn型.解法一般有两种:①一般地,要先在原递推公式两边同除以qn+1,得=·+,引入辅助数列{bn}(其中bn=),得bn+1=bn+,再应用an+1=pan+q的方法解决.②先在原递推公式两边同除以pn+1,得=+,引入辅助数列{bn}(其中bn=),得bn+1=bn+,再应用累加的方法解决.

1.已知数列{an}中,a1=1,an+1=9an+2·3n+1,求an.
解:因为an+1=9an+2·3n+1,
所以=3·+2,
所以+1=3(+1),
所以数列{+1}是以为首项,3为公比的等比数列,
所以+1=·3n-1=4·3n-2,
所以an=4·32n-2-3n.
2.已知数列{an}中,a1=1,当n∈N*,n≥2时,an=,求数列{an}的通项公式.
解:因为an=,
所以=,
所以=+1,
则可知数列{}是等差数列,
因此=1+n-1=n,
所以an=.
考点四　双数列型递推关系求通项公式
[例4] (1)已知数列{an}中,a1=1;数列{bn}中,b1=0.当n≥2时,an=(2an-1+bn-1),bn=(an-1+2bn-1),求an,bn;
(2)已知数列{an}中a1=3,其前n项和Sn满足Sn=an+1-.
①求数列{an}的通项公式;
②设{bn}是公差为3的等差数列,b1=1.现将数列{an}中的,,…,
…抽出,按原有顺序组成一新数列{cn},试求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)因为an+bn=(2an-1+bn-1)+ (an-1+2bn-1)=an-1+bn-1,
所以an+bn=an-1+bn-1=an-2+bn-2=…=a2+b2=a1+b1=1,
即an+bn=1,①
又因为an-bn=(2an-1+bn-1)- (an-1+2bn-1)
=(an-1-bn-1),
所以an-bn=(an-1-bn-1)
=()2(an-2-bn-2)
=…=()n-1(a1-b1)
=()n-1,
即an-bn=()n-1,②
由①,②得,an=[1+()n-1],
bn=[1-()n-1].
解:(2)①当n=1时,S1=a1=a2-=3,所以a2=9.
因为Sn=·an+1-,
所以Sn-1=·an-(n≥2),
相减得=3(n≥2),所以an=a2·3n-2=3n,
当n=1时,符合an=3n,所以an=3n.
解:②bn=b1+(n-1)d=3n-2,
cn==a3n-2=33n-2,
所以{cn}是以3为首项,以27为公比的等比数列,
Tn==(27n-1).
(1)给出两个数列的通项所满足的递推关系,解题时常进行适当的转化,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解.
(2)涉及两个数列的综合性问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来,研究这些项与序号之间的关系.

(2019·丽水模拟)已知数列{an}中,a1=0,an-an-1-1=2(n-1)(n∈N*,n≥2),若数列{bn}满足bn=n··()n-1,则数列{bn}的最大项为第
　　　　项. 
解析:由a1=0,且an-an-1-1=2(n-1)(n∈N*,n≥2),
得an-an-1=2n-1(n≥2),
则a2-a1=2×2-1,a3-a2=2×3-1,
a4-a3=2×4-1,…,an-an-1=2n-1(n≥2),
以上各式累加得
an=2(2+3+…+n)-(n-1)=2×-n+1=n2-1(n≥2),
当n=1时,上式仍成立,
所以bn=n··()n-1
=n··()n-1
=(n2+n)·()n-1(n∈N*).
由
得
解得≤n≤.
因为n∈N*,所以n=6,所以数列{bn}的最大项为第6项.
答案:6

数列通项与求和
[例题] 设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. 
解析:由题意得a1+a2=4,a2=2a1+1⇒a1=1,a2=3,
再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2)⇒an+1-an=2an⇒an+1=3an(n≥2),
又a2=3a1,
所以an+1=3an(n≥1),
所以{an}是首项为1,公比为3的等比数列.
S5==121.
答案:1　121

规范要求:(1)由S2=4,an+1=2Sn+1,列出关于a1,a2的方程组求解.
(2)由an+1=2Sn+1的递推关系,构造Sn-Sn-1转化为an的递推关系,再转化为特殊数列求通项.
[规范训练1] 已知等差数列{an},等比数列{bn}的公比为q(n,q∈N*),设{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn.若T2n+1=,则an=　　　　. 
解析:Sn=na1+d=n2+(a1-)n,
Tn==-·qn,
因为T2n+1=,
所以-·q2n+1=q2n+(a1-)qn,这是关于n的恒等式,
所以解得
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
答案:2n-1
[规范训练2] (2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解:(1)设{an}的公差为d,
由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9.
解:(2)由(1)得Sn=·n=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.

类型一　归纳法求通项公式
1.,,-,,-,,…的一个通项公式是　　　　. 
解析:先写符号(-1)n,观察得an=(-1)n.
答案:an=(-1)n
2.0.8,0.88,0.888,…的一个通项公式是　　　　. 
解析:数列变为(1-),(1-),(1-),…,故an=(1-).
答案:an=(1-)
类型二　由Sn、an递推关系求an或Sn
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则a5等于(　B　)
(A)-16 (B)16 (C)31 (D)32
解析:当n=1时,S1=a1=2a1-1,
所以a1=1,
当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,
故Sn-Sn-1=an=2an-1-2an-1+1,
即an=2an-1.
所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列.
所以an=2n-1,
所以a5=24=16.故选B.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-3(n∈N*),则S6等于(　B　)
(A)192 (B)189 (C)96 (D)93
解析:因为Sn=2an-3(n∈N*),
所以n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3.
当n=2时,S2=a2+a1=2a2-3⇒a2=6,
当n≥2时,Sn+1=2an+1-3,
可得an+1+Sn=2an+1-3⇒an+1+2an-3=2an+1-3⇒=2,
又==2,符合上式,
所以数列{an}是等比数列,首项为3,公比为2.
所以S6=3×=189 ,故选B.
5.设正项数列{an}的前n项和为Sn,若an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项,则an=　　　　. 
解析:由已知得=,即4Sn=(an+1)2,
当n=1时,4S1=4a1=(a1+1)2,解得a1=1,
当n≥2时,4Sn-1=(an-1+1)2,
两式相减,得4an=+2an-2an-1,
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
因为an>0,所以an-an-1=2,
即{an}是首项为1,公差为2的等差数列,
故an=2n-1.
答案:2n-1
类型三　由递推公式求通项
6.设数列{an}满足a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),求an.
解:设bn=an+An+B,
则an=bn-An-B,将an,an-1代入递推公式,得
bn-An-B=3[bn-1-A(n-1)-B]+2n-1
=3bn-1-(3A-2)n-(3B-3A+1),
所以⇒
所以取bn=an+n+1,(*)
则bn=3bn-1,又b1=6,故bn=6×3n-1=2×3n,
代入(*)得an=2×3n-n-1.
7.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1+an,求an.
解:由an+2=an+1+an,
则an+2-an+1=-(an+1-an)⇒{an+1-an}是首项为a2-a1=1,公比为-的等比数列,
所以an+1-an=(-)n-1,分别令n=1,2,3,…,(n-1),得(n-1)个等式然后
累加,
即an-a1=(-)0+(-)1+…+(-)n-2
==-(-)n-1,
又因为a1=1,所以an=-(-)n-1.
8.已知数列{an}中,a1=,an+1=·,求数列{an}的通项公式.
解:因为an+1=·,
所以an+1=(·)=2an+1,
设bn=an,则bn+1=2bn+1,
所以bn+1+1=2(bn+1),
所以bn=2n-1,an== =.