2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十一章第二节　圆的方程

第二节　圆的方程

一、圆的定义与方程

1.圆的定义

在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.

2.圆的方程

1.概念理解

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)中,有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆方程就会被确定.其中,圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.

(2)圆的一般方程的形式特点

①x2,y2项的系数相等且不为0.

②无xy项.

③D2+E2-4F>0.

(3)圆的标准方程体现了圆的几何性质,即圆心与半径,而圆的一般方程体现了圆的代数性质,即圆方程是一个二元二次方程(x2,y2的系数相等,不为0且不含xy项).

2.与圆方程相关结论

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),配方后得(x+)2+(y+)2=(D2+E2-4F).

当D2+E2-4F>0时,方程才能表示圆;

当D2+E2-4F=0时,方程表示点(-,-);

当D2+E2-4F<0时,方程无意义,不表示任何曲线.

二、点A(x0,y0)与☉C的位置关系

1.|AC|<r⇔点A在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2<r2;

2.|AC|=r⇔点A在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2=r2;

3.|AC|>r⇔点A在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)2>r2.

1.概念理解

判断点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系,有几何法与代数法两种,两种方法的核心都是比较点到圆心的距离与半径r的大小.

2.与点与圆位置关系相关的知识

(1)同一平面内,不共线三点确定一个圆.

(2)证四点共圆的方法:

①证其中一点在另外三点确定的圆上;

②证四边形一组对角互补.

1.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(　A　)

(A)x2+y2=2 (B)x2+y2=

(C)x2+y2=1 (D)x2+y2=4

解析:AB的中点坐标为(0,0),

|AB|==2,

所以圆的方程为x2+y2=2.故选A.

2.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(　A　)

(A)1+ (B)2 (C)1+ (D)2+2

解析:将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=+1.故选A.

3.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为　　　　　　　　. 

解析:由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3.①

过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②

联立①②,解得

所以圆心坐标为(3,0),

半径r==,

所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.

答案:(x-3)2+y2=2

4.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　　　　　　　　　. 

解析:法一　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),

所以

解得

所以圆的方程为x2+y2-2x=0.

法二　画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.

答案:x2+y2-2x=0

5.已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,则x2-y的取值范围为　　　　　. 

解析:x2=1-y2,-1≤y≤1,

x2-y=1-y2-y=-(y+)2+∈[-1,].

答案:[-1,]

考点一　圆的方程

[例1] (1)求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程;

(2)已知圆过P(4,-2),Q(-1,3),且在y轴上截得的线段长为4.求该圆方程.

解:(1)法一　因为圆过A(5,2),B(3,-2)两点,

所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上.

线段AB的垂直平分线的方程为y=-(x-4).

设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有

解得

所以C(2,1),r=|CA|==.

所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.

法二　设所求圆的方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0,

其圆心为(-,-).

则由已知可得

整理得

解得

所以所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0,

即(x-2)2+(y-1)2=10.

解:(2)法一　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.①

将P,Q点的坐标分别代入①得

令x=0,由①得y2+Ey+F=0.④

由已知|y1-y2|=4,

其中y1,y2是方程④的两根,

所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.⑤

解②③⑤组成的方程组得

D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4,

故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.

法二　PQ中点M(,),kPQ==-1.

因为圆过P,Q两点,

所以圆心在PQ的中垂线上,即在直线y-=1×(x-)上,也就是在直线y=x-1上,

设圆心为C(a,b),半径为r,

则有

解得或

所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.

(1)求圆的方程,一般采用待定系数法.

①若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程.

②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的一般方程.

(2)在求圆的方程时,常用到圆的以下两个性质:

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;

②圆心在任一弦的垂直平分线上.

1.以点(0,b)为圆心的圆与直线y=2x+1相切于点(1,3),则该圆的方程为　　　　　　　　　　　　. 

解析:由题意设圆的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0),

根据条件得

解得

所以该圆的方程为x2+(y-)2=.

答案:x2+(y-)2=

2.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程为　　　　　　　　　. 

解析:设圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,因为圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,所以解得

故所求圆的方程为(x-2)2+=.

答案:(x-2)2+(y+)2=

考点二　与圆有关的轨迹问题

[例2] 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A(12,0),当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是

什么?

解:设M(x,y),因为M是PA的中点,

所以P(2x-12,2y),

又因为点P在圆上,故(2x-12)2+(2y)2=16,

即(x-6)2+y2=4,所以线段PA的中点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.

(1)“轨迹”与“轨迹方程”的区别:“轨迹”是图形,要指出形状、位置、大小(范围)等特征;“轨迹方程”是方程(等式),不仅要给出方程,还要指出变量的取值范围.

(2)求轨迹方程的步骤如下:

建系,设点:建立适当的坐标系,设曲线上任一点坐标M(x,y).写集合:写出符合条件p的点M的集合 {M|p(M)}.

列式:用坐标表示p(M),列出方程f(x,y)=0.

化简:化方程f(x,y)=0为最简形式.

证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

求与圆有关的轨迹方程的方法如下:

1.已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:

(1)直角顶点C的轨迹方程;

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

解:(1)设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.

因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,

又kAC=,kBC=,

所以·=-1,

化简得x2+y2-2x-3=0.

因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).

解:(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,

所以x0=2x-3,y0=2y.

由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,

即(x-2)2+y2=1.

因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).

2.求到两点A(-3,0),B(3,0)距离之比为2的点P的轨迹方程.

解:设P(x,y),==2,

化简得x2-10x+y2+9=0,经检验符合要求,故所求轨迹方程为x2-10x+y2+9=0.

考点三　与圆有关的最值问题

[例3] 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.

(1)求的最大值和最小值;

(2)求y-x的最大值和最小值;

(3)求x2+y2的最大值和最小值.

解:原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.

(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,

所以设=k,即y=kx.

当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±(如图1).

所以的最大值为,最小值为-.

解:(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±(如图2).

所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.

解:(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).

又圆心到原点的距离为2,

所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.

(1)形如m=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.

(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.

(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.

已知函数y=+的最大值为M,最小值为m,求的值.

解:法一　y2=4+2∈[4,8],

所以M=2,x=-1时取到;m=2,当x=1或-3时取到,

所以=.

法二　设=u,=v,则u≥0,v≥0,且u2+v2=4,设u=2cos θ,v=2sin θ,其中θ∈,

所以u+v=2sin(θ+)∈[2,2],

所以M=2,当θ=时取到,m=2当θ=或0时取到,

所以=.

考点四　易错辨析

[例4] 若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则实数a的值是　　　　. 

解析:令a2=a+2,得a=-1或a=2,

当a=-1时,原方程化为(x-1)2+y2=2表示圆,

当a=2时,原方程化为x2+y2+x+=0(*),

因为1+0-4×<0,

所以方程(*)不表示任何图形.

答案:-1

方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是(1)C=0;(2)A=B≠0;(3)D2+E2-4FA>0,仅满足A=B不能判定二元二次方程表示的图形一定是圆.

已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是　　　　　　. 

解析:圆的方程化为(x+1)2+(y-2)2=5-a,其圆心为 (-1,2),且5-a>0,即a<5.

又圆关于直线y=2x+b成轴对称,所以2=-2+b,

所以b=4,a-b=a-4<1.

答案:(-∞,1)