2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十三章第二节　排列与组合

第二节　排列与组合复习目标学法指导1.了解排列、组合的概念.2.了解排列数公式、组合数公式.3.会用排列数公式、组合数公式解决一些简单的实际问题.弄清所取元素是否考虑顺序,熟记排列数、组合数公式是基础,掌握有限制条件的排列、组合问题的常用方法是关键.排列与组合 排列与排列数组合与组合数定义排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数排列数公式=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= 组合数公式====n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!;0!=1=1;=;=+备注n,m∈N*且m≤n1.概念(公式)理解(1)组合与排列问题都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的计数问题,它们的差别是:排列考虑元素顺序,组合不考虑元素顺序.(2)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)的右边第一个因数为n,后面每个因数都比前面因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘.(3)公式=体现了组合数与排列数的关系.(4)当m,n较大或对含有字母的排列数或组合数的式子进行变形和证明时,常用公式=或=.(5)当m>时,常利用组合数的性质将计算转化为计算.2.与排列(数)组合(数)有关的结论(1)若=,则x=y或x+y=n.(2)=n,=·.(3)+++…+=.(4)(n+1)!=(n+1)·n!,(n+1)!-n!=n·n!.(5)k=n.1.若=10,则n等于(　B　)(A)1 (B)8 (C)9 (D)10解析:=10,所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),所以n=8.2.若=,则的值为(　C　)(A)1 (B)20 (C)35 (D)7解析:由=,得n=7,可求出===35.3.有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5.(1)从中任取4张,共有　　　种不同取法; (2)从中任取4张,排成一个四位数,共组成　　　个不同的四位数. 答案:(1)5　(2)1204.(2019·嘉兴期末联考)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校A,B两个专业各需要一门科目满足要求即可,A专业:物理、化学、技术;B专业:历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有　　　　种.(用数字作答) 解析:当考生选择技术时,两个专业均可报考,再从剩下的6门选择两科即可,这样有选考方式=15种,当考生不选技术时,可以从物理、化学中选一科,再从历史、地理选一科,最后从政治、生物中选一科,这样有选考方式2×2×2=8种;当考生同时选历史、地理时,还需要从物理、化学中选择一科,这样有选考方式为2种,类似,同时选物理,化学时,还需从历史、地理中选择一科,这样有2种;故一共有选考方式15+8+2+2=27种.答案:27考点一　排列的应用问题[例1] 有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排成一排,女生必须站在一起;(5)全体排成一排,男生互不相邻.解:(1)从7人中选5人排列,有=7×6×5×4×3=2 520(种).(2)法一　分两步完成,先选3人站前排,有种方法,余下4人站后排,有种方法,共有·=5 040(种).法二　(分排问题直排法)前排3人,后排4人,可视为7人排成一排,其中前3人为前排,后4人为后排,排法有=5 040(种).(3)法一　(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有种排列方法,共有5×=3 600(种).法二　(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人,有种排法,其他有种排法,共有=3 600(种).(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有种方法,再将女生全排列,有种方法,共有·=576(种).(5)(插空法)先排女生,有种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有种方法,共有·=1 440(种). 求解排列应用问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法直接法分排问题按单排处理1.四位男演员与五位女演员(包含女演员甲)排成一排拍照,其中四位男演员互不相邻,且女演员甲不站两端的排法数为(　A　)(A)-2 (B)-(C)-2 (D)-解析:四位男演员互不相邻可用插入法,有种排法,其中女演员甲站在两端的方法有2,因此所求排法数为-2.故选A.2.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　B　)(A)36种 (B)42种 (C)48种 (D)54种解析:分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中间4个节目无限制条件,有种排法;第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有种排法,其他3个节目有种排法,故有种排法.依分类加法计数原理,共有+=42种编排方案.考点二　组合的应用问题[例2] 有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数少于男生;(2)某女生一定要担任语文课代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.解:(1)先选后排.符合条件的课代表人员的选法有(+)种,排列方法有种,所以满足题意的选法有(+)·=5 400(种).(2)除去该女生后,即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表,有=840(种)选法.(3)先选后排.从剩余的7名学生中选出4名有种选法,排列方法有种,所以选法共有=3 360(种).(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人,有种选法,该男生的安排方法有种,其余3人全排列,有种,因此满足题意的选法共有=360(种). 组合问题常见以下几个题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解,用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.(3)名额分配问题:将n个名额分给m个单位,每个单位至少有一个名额可以看作将n个相同的小球放入m个盒子里,每个盒子里至少有一个小球,其放法为将n个小球串成一串.从(n-1)个间隙里选(m-1)个插入隔板,有种放法,即名额分配问题隔板法.1.(2019·温州市2月模拟)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡,若顾客甲只带了现金,顾客乙只用支付宝或微信付款,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有　　　　种. 解析:这四名顾客购物后,恰好用了其中三种结账方式情况有:(1)当结账方式为现金、支付宝、微信,则他们的结账方式有(1+)=10种;(2)当结账方式为现金、支付宝、银联卡,则他们的结账方式有1+=5种;(3)当结账方式为现金、微信、银联卡,则他们的结账方式有1+=5种;所以这四名顾客购物后,恰好用了其中三种结账方式为10+5+5=20种.答案:202.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试1人.则不同的安排方式有　　　　种.(用数字作答) 解析:(分类讨论思想)上午测试安排有种方式,下午测试分为:(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”,其余三位同学有2种安排方式;(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”,则该同学有种安排方式,其余三位同学选1人测试“握力”,有种安排方式,其余两人只有1种安排方式,则共有·=9(种),因此安排方式共有(2+9)=264(种).答案:264考点三　分组、分配问题[例3] 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.解:(1)无序不均匀分组问题.先选1本,有种选法;再从余下的5本中选2本,有种选法;最后余下3本全选,有种选法.故共有=60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有=360(种).(3)无序均匀分组问题.分配方式有=15(种).(4)有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式·==90(种).(5)无序部分均匀分组问题.共有=15(种).(6)有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式·=90(种).(7)直接分配问题.甲选1本,有种方法;乙从余下的5本中选1本,有种方法,余下4本留给丙,有种方法,故共有分配方式=30(种). (1)均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数,还要充分考虑到是否与顺序有关;有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.(2)分配问题:先将元素分组,再将各组排列,或者逐一分配.1.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,则不同的分配方案有(　D　)(A)30种 (B)60种 (C)90种 (D)150种解析:5名教师分成3组有2,2,1;3,1,1两种情况,第一种情况的分法有=15(种),第二种情况的分法有=10(种),所以5名教师分成3组的分法有15+10=25(种),3个组分配到3个班的分法有=6(种),由分步乘法计数原理知不同的分配方案有25×6=150(种).故选D.2.(2019·绍兴上虞5月模拟)某市举办全运会开幕式.现从A,B,C,D,E5个节目中任选3个节目进行开幕式表演,若3个节目中有A和B时,A需排在B的前面出场(不一定相邻),则不同的出场方法有　　　　种. 解析:根据题意分两个情况进行讨论:(1)在5个节目中任选3个,同时有A,B时,有种选法,要求A需排在B的前面出场,有3种情况,则此时有3×3=9种.(2)A,B没有同时入选,有-=7种选法,每种选法有=6种情况,则此时有7×6=42种排法,所以一共有9+42=51种排法.答案:51