高考数学一轮复习讲义第9章第7节抛物线

这是一份高考数学一轮复习讲义第9章第7节抛物线，共19页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。


1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
【知识拓展】
1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
2．y2＝ax的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq \f(a,4).
3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(eq \f(a,4)，0)，准线方程是x＝－eq \f(a,4).( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(eq \f(p,2)，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )
1．(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A．(0,2) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
答案 D
解析 ∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，
∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．
2．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9B．8C．7D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B．[－2,2]
C．[－1,1]D．[－4,4]
答案 C
解析 Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________．
答案 y2＝－8x或x2＝－y
解析 设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
5．(2017·合肥调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．
答案 2
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－eq \f(p,2)，
圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，
则圆心为(3,0)，半径为4.
又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋eq \f(p,2)＝4，
解得p＝2.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
答案 4
解析 如图，
过点B作BQ垂直准线于点Q，
交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
引申探究
1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq \r(42＋22)
＝eq \r(16＋4)＝2eq \r(5)，
即|PB|＋|PF|的最小值为2eq \r(5).
2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
解 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为eq \f(|1＋5|,\r(12＋－12))＝3eq \r(2)，
所以d1＋d2的最小值为3eq \r(2)－1.
思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
答案 eq \r(5)
解析 如图，
易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，
使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为eq \r([1－－1]2＋0－12)＝eq \r(5).
题型二 抛物线的标准方程和几何性质
命题点1 求抛物线的标准方程
例2 已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝eq \f(8\r(3),3)yB．x2＝eq \f(16\r(3),3)y
C．x2＝8yD．x2＝16y
答案 D
解析 ∵eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为2，
∴eq \f(c,a)＝2，即eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝4，∴eq \f(b2,a2)＝3，eq \f(b,a)＝eq \r(3).
x2＝2py(p>0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即y＝±eq \r(3)x.由题意得eq \f(\f(p,2),\r(1＋\r(3)2))＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.
命题点2 抛物线的几何性质
例3 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(eq \f(p,2)，0)．
由题意可设直线方程为x＝my＋eq \f(p,2)，代入y2＝2px，
得y2＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，所以yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2，
所以x1x2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),4p2)＝eq \f(p4,4p2)＝eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2))
＝eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4)).
因为x1x2＝eq \f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)|AB|－p＋\f(p2,4))＝eq \f(2,p)(定值)．
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2B．4C．6D．8
(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则eq \f(|MN|,|AB|)的最大值为( )
A.eq \f(\r(3),3)B．1C.eq \f(2\r(3),3)D．2
答案 (1)B (2)A
解析 (1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，
又可设A(x0,2eq \r(2))，
Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\r(5)))，
点A(x0,2eq \r(2))在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①
点A(x0,2eq \r(2))在圆x2＋y2＝r2上，∴xeq \\al(2,0)＋8＝r2，②
点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\r(5)))在圆x2＋y2＝r2上，
∴5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2＝r2，③
联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.
(2)设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P，
由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.
|AB|2＝a2＋b2－2abcs120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.
又ab≤(eq \f(a＋b,2))2，
所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－eq \f(1,4)(a＋b)2＝eq \f(3,4)(a＋b)2，
得到|AB|≥eq \f(\r(3),2)(a＋b)，
所以eq \f(|MN|,|AB|)≤eq \f(\f(1,2)a＋b,\f(\r(3),2)a＋b)＝eq \f(\r(3),3)，
即eq \f(|MN|,|AB|)的最大值为eq \f(\r(3),3).
题型三 直线与抛物线的综合问题
命题点1 直线与抛物线的交点问题
例4 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，则k＝________.
答案 2
解析 抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝4＋eq \f(8,k2)，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝eq \f(8,k)，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因为eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，
将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.
命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题
例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
(1)证明 由题意知，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，
且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)，a))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,2)，b))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，a))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，
Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(a＋b,2))).
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝eq \f(a－b,1＋a2)＝eq \f(a－b,a2－ab)＝eq \f(1,a)＝－eq \f(ab,a)＝－b＝eq \f(b－0,－\f(1,2)－\f(1,2))＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)解 设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，
则S△ABF＝eq \f(1,2)|b－a||FD|＝eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))，
S△PQF＝eq \f(|a－b|,2).
由题意可得|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))＝eq \f(|a－b|,2)，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得eq \f(2,a＋b)＝eq \f(y,x－1)(x≠1)．而eq \f(a＋b,2)＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，
所以，所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1)．
思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
(2017·北京东城区质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝eq \f(5,4)|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
解 (1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝eq \f(8,p).
所以|PQ|＝eq \f(8,p)，|QF|＝eq \f(p,2)＋x0＝eq \f(p,2)＋eq \f(8,p).
由题设得eq \f(p,2)＋eq \f(8,p)＝eq \f(5,4)×eq \f(8,p)，
解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝eq \r(m2＋1)|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－eq \f(1,m)y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋eq \f(4,m)y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－eq \f(4,m)，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E(eq \f(2,m2)＋2m2＋3，－eq \f(2,m))，
|MN|＝eq \r(1＋\f(1,m2))|y3－y4|＝eq \f(4m2＋1\r(2m2＋1),m2)，
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝eq \f(1,2)|MN|，
从而eq \f(1,4)|AB|2＋|DE|2＝eq \f(1,4)|MN|2，
即4(m2＋1)2＋(2m＋eq \f(2,m))2＋(eq \f(2,m2)＋2)2
＝eq \f(4m2＋122m2＋1,m4)，
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
7．直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例 (12分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标；
(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；
(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
思维点拨 (3)中证明eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝0.
解 (1)∵抛物线C：x2＝eq \f(1,m)y，∴它的焦点F(0，eq \f(1,4m))．[2分]
(2)∵|RF|＝yR＋eq \f(1,4m)，∴2＋eq \f(1,4m)＝3，得m＝eq \f(1,4).[4分]
(3)存在，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝mx2，,2x－y＋2＝0，))
消去y得mx2－2x－2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－eq \f(1,2).[6分]
设A(x1，mxeq \\al(2,1))，B(x2，mxeq \\al(2,2))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(2,m)，,x1·x2＝－\f(2,m).))(*)
∵P是线段AB的中点，∴P(eq \f(x1＋x2,2)，eq \f(mx\\al(2,1)＋mx\\al(2,2),2))，
即P(eq \f(1,m)，yP)，∴Q(eq \f(1,m)，eq \f(1,m))．[8分]
得eq \(QA,\s\up6(→))＝(x1－eq \f(1,m)，mxeq \\al(2,1)－eq \f(1,m))，eq \(QB,\s\up6(→))＝(x2－eq \f(1,m)，mxeq \\al(2,2)－eq \f(1,m))，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝0，
即(x1－eq \f(1,m))·(x2－eq \f(1,m))＋(mxeq \\al(2,1)－eq \f(1,m))(mxeq \\al(2,2)－eq \f(1,m))＝0，[10分]
结合(*)化简得－eq \f(4,m2)－eq \f(6,m)＋4＝0，
即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－eq \f(1,2)，
而2∈(－eq \f(1,2)，＋∞)，－eq \f(1,2)∉(－eq \f(1,2)，＋∞)．
∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[12分]
解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：
第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；
第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；
第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；
第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．

1．(2017·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，那么抛物线C的方程为( )
A．x2＝8yB．x2＝4y
C．y2＝8xD．y2＝4x
答案 C
解析 由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋eq \f(p,2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,x＝my＋\f(p,2)，))消去x得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(my1＋eq \f(p,2))(my2＋eq \f(p,2))＋y1y2＝m2y1y2＋eq \f(pm,2)(y1＋y2)＋eq \f(p2,4)＋y1y2＝－eq \f(3,4)p2＝－12⇒p＝4，
即抛物线C的方程为y2＝8x.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2
答案 B
解析 ∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(eq \f(p,2)，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq \f(p,2)，
即x＝y＋eq \f(p,2)，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，
即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2p，∴eq \f(y1＋y2,2)＝p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 ∵抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F(eq \f(3p,4)，0)，
∴|OF|＝eq \f(3p,4)，
∵以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0,2)，连接AF，AM，可得AF⊥AM，在Rt△AOF中，|AF|＝eq \r(4＋\f(9p2,16))，
∴sin∠OAF＝eq \f(|OF|,|AF|)＝eq \f(\f(3p,4),\r(4＋\f(9p2,16)))，
根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A，
∴∠OAF＝∠AMF，可得在Rt△AMF中，sin∠AMF＝eq \f(|AF|,|MF|)＝eq \f(\f(3p,4),\r(4＋\f(9p2,16)))，
∵|MF|＝5，|AF|＝eq \r(4＋\f(9p2,16))，
∴eq \f(\r(4＋\f(9p2,16)),5)＝eq \f(\f(3p,4),\r(4＋\f(9p2,16)))，
整理得4＋eq \f(9p2,16)＝eq \f(15p,4)，解得p＝eq \f(4,3)或p＝eq \f(16,3)，
∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(y1y2,x1x2)的值一定等于( )
A．－4B．4C．p2D．－p2
答案 A
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，
则x1＝x2＝eq \f(p,2)，∴x1x2＝eq \f(p2,4)；
∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，
∴eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.
②若焦点弦AB不垂直于x轴，
可设AB的直线方程为y＝k(x－eq \f(p,2))，
联立y2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(p2k2,4)＝0，
则x1x2＝eq \f(p2,4).
∴y1y2＝－p2.故eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.
5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝eq \r(3)x
答案 C
解析 如图，
分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝eq \f(1,2)|AA1|＝eq \f(1,2)|AF|，即p＝eq \f(3,2)，∴抛物线方程为y2＝3x.故选C.
6．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，则eq \f(|PF|,|PA|)的最小值是( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(2),2)C.eq \f(\r(3),2)D.eq \f(2\r(2),3)
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
如图，
过P作PN垂直直线x＝－1于N，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，连接PA，
在Rt△PAN中，sin∠PAN＝eq \f(|PN|,|PA|)，
当eq \f(|PN|,|PA|)＝eq \f(|PF|,|PA|)最小时，sin∠PAN最小，
即∠PAN最小，即∠PAF最大，
此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，
解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°，
eq \f(|PF|,|PA|)＝eq \f(|PN|,|PA|)＝cs∠NPA＝eq \f(\r(2),2)，故选B.
7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 12
解析 焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
方法一 直线AB的斜率为eq \f(\r(3),3)，
所以直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，
即y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(\r(3),4)，代入y2＝3x，得eq \f(1,3)x2－eq \f(7,2)x＋eq \f(3,16)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(21,2)，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12.
方法二 由抛物线焦点弦的性质可得
|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(3,sin230°)＝12.
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为eq \r(3)的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，则p＝________.
答案 2
解析 如图，
由AB的斜率为eq \r(3)，
知∠α＝60°，又eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，
∴M为AB的中点．
过点B作BP垂直准线l于点P，
则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，
∴|BP|＝eq \f(1,2)|AB|＝|BM|.
∴M为焦点，即eq \f(p,2)＝1，∴p＝2.
9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为eq \f(1,2)，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.
答案 6
解析 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
准线方程为x＝－2.
设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意，c＝2，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
可得a＝4，b2＝16－4＝12.
故椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3.
从而|AB|＝6.
*10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．
答案 (2,4)
解析 如图，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))
两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．
当k存在时，x1≠x2，
则有eq \f(y1＋y2,2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，
又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.
由CM⊥AB，得k·eq \f(y0－0,x0－5)＝－1，
即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，
即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，
得y2＝12，则有－2eq \r(3)因为点M在圆上，所以(x0－5)2＋yeq \\al(2,0)＝r2，
故r2＝yeq \\al(2,0)＋4<12＋4＝16.
又yeq \\al(2,0)＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，
所以411．(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，求λ的值．
解 (1)直线AB的方程是y＝2eq \r(2)(x－eq \f(p,2))，与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(5p,4)，由抛物线定义得
|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(5p,4)＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.
(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0，
即x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，
于是y1＝－2eq \r(2)，y2＝4eq \r(2)，
从而B(4,4eq \r(2))．设C(x3，y3)，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq \r(2))＋λ(4,4eq \r(2))
＝(4λ＋1,4eq \r(2)λ－2eq \r(2))．
又yeq \\al(2,3)＝8x3，即[2eq \r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
12．设P，Q是抛物线y2＝2px(p>0)上相异两点，P，Q到y轴的距离的积为4，且eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝0.
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)过点Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．
解 (1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝0，则x1x2＋y1y2＝0.
又点P，Q在抛物线上，∴yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
代入得eq \f(y\\al(2,1),2p)·eq \f(y\\al(2,2),2p)＋y1y2＝0，
y1y2＝－4p2，∴|x1x2|＝eq \f(y1y22,4p2)＝4p2.
又|x1x2|＝4，
∴4p2＝4，p＝1，
∴抛物线的标准方程为y2＝2x.
(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x＝my＋a，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋a，,y2＝2x，))
消去x得y2－2my－2a＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝2m，,y1y2＝－2a，))①
设直线PR与x轴交于点M(b,0)，
则可设直线PR的方程为x＝ny＋b，
并设R(x3，y3)，同理可知，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y3＝2n，,y1y3＝－2b，))②
由①②可得eq \f(y3,y2)＝eq \f(b,a).
由题意得，Q为线段RT的中点，
∴y3＝2y2，∴b＝2a.
又由(1)知，y1y2＝－4，代入①，
可得－2a＝－4，∴a＝2，
∴b＝4，y1y3＝－8，
∴|PR|＝eq \r(1＋n2)|y1－y3|
＝eq \r(1＋n2)·eq \r(y1＋y32－4y1y3)
＝2eq \r(1＋n2)·eq \r(n2＋8)≥4eq \r(2).
当n＝0，即直线PR垂直于x轴时，
|PR|取最小值4eq \r(2).
*13.如图，由部分抛物线：y2＝mx＋1(m>0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))．
(1)求“黄金抛物线C”的方程；
(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使
得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)∵“黄金抛物线C”过点(3,2)和(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，
∴r2＝(－eq \f(1,2))2＋(eq \f(\r(3),2))2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1.
∴“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．
(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，
设直线l：y＝kx＋1，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝x＋1，))消去y，
得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝eq \f(1－2k,k2)，yB＝eq \f(1－k,k)，
即B(eq \f(1－2k,k2)，eq \f(1－k,k))，
∴kBQ＝eq \f(k,1－2k)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＋y2＝1，))消去y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，
∴xA＝－eq \f(2k,k2＋1)，yA＝eq \f(1－k2,k2＋1)，即A(－eq \f(2k,k2＋1)，eq \f(1－k2,k2＋1))，
∴kAQ＝－eq \f(1,k)，
∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0，
∴eq \f(k,1－2k)－eq \f(1,k)＝0，解得k＝－1±eq \r(2)，
由图形可得k＝－1－eq \r(2)应舍去，∴k＝eq \r(2)－1，
∴存在直线l：y＝(eq \r(2)－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.标准
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下