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2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十二章第七节 抛物线(二)
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第七节 抛物线(二)
复习目标
学法指导
1.抛物线与其他曲线的相关问题.
(1)抛物线与圆的相关问题.
(2)抛物线与双曲线的相关问题.
(3)抛物线与椭圆的相关问题.
(4)抛物线与直线的相关问题.
2.与抛物线相关的定值、定点及证明问题.
1.抛物线与其他曲线相关的综合问题是解析几何的重要内容,也是高考命题的亮点,学习这部分内容要注意加强运算能力、分析问题、解决问题的能力.
2.定点问题常用解法有两种:(1)引进参数法;(2)特殊到一般法.
3.定值问题常涉及直线、圆锥曲线、向量等问题.解决本类问题常通过取参数的特殊值来确定“定值”.
一、直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线相交是解析几何中一类重要问题,解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题.
2.涉及弦的中点问题,可以利用判别式和根与系数的关系加以解决,也可利用“点差法”解决此类问题.若知道中点,则利用“点差法”可得出过中点的弦的直线的斜率.比较两种方法,用“点差法”计算量较少,此法在解决有关存在性的问题时,要结合图形和判别式Δ加以检验.
1.理解辨析
直线与抛物线相交时,若直线过抛物线的焦点,则可考虑运用抛物线的定义进行求解.
直线与抛物线相切时,可借助直线方程与抛物线方程联立,得关于x(或y)的一元二次方程,由判别式等于零进行解题.
2.相关结论
(1)抛物线y2=2px与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.
(2)抛物线上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0).
(3)过抛物线外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y=p(x+x0).
二、抛物线中的定值、最值问题
1.抛物线中的定值问题
在解析几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题.解决这类问题常通过取参数的特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒成立的.
2.抛物线中的最值问题
解决抛物线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别是用抛物线的定义和平面几何的有关结论来解,非常巧妙;二是代数法,将抛物线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等求解最大值或最小值.
1.理解辨析
定值、最值问题的实质就是求值,依据题目条件列出等量关系式进行求值,是解题的基本思路.
2.相关结论
在求解抛物线或圆锥曲线问题时,常借助向量这一工具进行解题.应熟悉以下结论:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则
a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0,
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
1.方程=表示( C )
(A)两条射线 (B)双曲线
(C)两条线段 (D)抛物线
解析:因为=,
所以所以
所以y=|x|(-1≤x≤1),即表示两条线段.
2.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是 .
解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),
又线段OA的中点为(1,),且kOA=,
则线段OA的垂直平分线为y-=-2(x-1),
将F(,0)代入,得0-=-2(-1),所以p=.
故抛物线方程为y2=5x,故准线方程为x=-.
答案:x=-
3.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|= .
解析:抛物线C:y2=3x的焦点为F(,0),
所以AB所在的直线方程为y=(x-),
将y=(x-)代入y2=3x,
消去y整理得x2-x+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,
由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+=12.
答案:12
4.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为 .
解析:抛物线的方程为y2=4x,A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1≠x2,
两式相减得-=4(x1-x2),
又易得y1+y2=4,
所以==1,
所以直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.
答案:y=x
考点一 直线与抛物线的相交问题
[例1] 如图,A,B是焦点为F的抛物线y2=4x上的两动点,线段AB的中点M在直线x=t(t>0)上.
(1)当t=1时,求|FA|+|FB|的值;
(2)记| AB |的最大值为g(t),求g(t).
解:(1) 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(t,m),则x1+x2=2t,y1+y2=2m.
由抛物线定义知|FA|=x1+1,|FB|=x2+1.
所以|FA|+|FB|=x1+x2+2=2t+2.
因为t=1,
所以|FA|+|FB|=4.
(2) 由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
所以=.故可设直线AB方程为(y-m)=x-t,即x=y-+t.
联立
消去x,得y2-2my+2m2-4t=0.
则Δ=16t-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-4t.
所以|AB|=|y1-y2|
=
=,
其中0≤m2<4t.
当t≥1时,因为0≤2t-2<4t,
所以,当m2=2t-2时,|AB| 取最大值,
|AB | max=2t+2.
当0
综上,g(t)=
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,解题时一般要用到根的判别式或根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,则直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用一般弦长公式|AB|=.
1.已知抛物线C:y2=4x焦点为F,直线MN过焦点F且与抛物线C交于M,N两点,P为抛物线C准线l上一点且PF⊥MN,连接PM交y轴于Q点,过Q作QD⊥MF于点D,若|MD|=2|FN|,则|MF|= .
解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线MN斜率为k,直线MN的方程为y=k(x-1),
代入抛物线方程可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1+x2=2+,
又2|FN|=|MD|,
可得2(x2+1)=|MD|,
因为=,
所以=,
所以x2=x1-1,
联立可得x1=2+,
因为x1=
所以2+=,
所以3k2=4+4,
所以x1=+1,
所以|MF|=+2.
答案:+2
2.已知F是抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点,点P(1,m)是抛物线上一点,且|PF|=2,直线l过定点(4,0),与抛物线T交于A,B两点,点P在直线l上的射影是Q.
(1)求m,p的值;
(2)若m>0,且|PQ|2=|QA|·|QB|,求直线l的方程.
解:(1)由|PF|=2得,1+=2,
所以p=2,将p=2,x=1,y=m代入y2=2px得,m=±2.
(2)法一 因为m>0,
由(1)知点P(1,2),抛物线T:y2=4x,
设直线l的方程是x=ny+4,
由得y2-4ny-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4n,y1·y2=-16,
因为|PQ|2=|QA|·|QB|,所以PA⊥PB,
所以·=0,且1≠2n+4,
所以(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0,且n≠-,
由(ny1+3)(ny2+3)+(y1-2)(y2-2)=0,
得(n2+1)y1y2+(3n-2)(y1+y2)+13=0,
-16(n2+1)+(3n-2)·4n+13=0,4n2+8n+3=0,
解得n=-(舍去)或n=-,
所以直线l的方程是x=-y+4,即2x+y-8=0.
法二 因为m>0,由(1)知点P(1,2),抛物线T:y2=4x,
设直线l的方程是x=ny+4,
由得y2-4ny-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4n,y1·y2=-16,
由
解得Q点的纵坐标是y0=,|PQ|=,
|QA|·|QB|=-(1+n2)(y1-y0)(y2-y0)
=-(1+n2)(-16-4ny0+),
因为|PQ|2=|QA|·|QB|,
所以|PQ|2==(1+n2)[16+-]
化简得4n2+8n+3=0,
解得n=-(舍去)或n=-,
所以直线l的方程是x=-y+4,即2x+y-8=0.
考点二 抛物线中最值问题
[例2] 设F是抛物线G:x2=4y的焦点,A,B为抛物线G上异于原点的两点,且满足·=0,延长AF,BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最小值.
解:设A(x1,y1),C(x2,y2),由题意知,直线AC的斜率k存在,由对称性,不妨设k>0.
因为直线AC过焦点F(0,1),
所以直线AC的方程为y=kx+1.
点A,C的坐标满足方程组
得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系知
|AC|=
=
=4(1+k2).
因为AC⊥BD,所以BD的斜率为-,
从而BD的方程为y=-x+1.
同理可求得|BD|=4[1+(-)2]=.
S四边形ABCD=|AC||BD|==8(k2+2+)≥32,
当k=1时,等号成立.
所以四边形ABCD面积的最小值为32.
与抛物线有关的最值问题,一般需要通过数形结合或利用函数思想求最值,常见方法如下:
(1)定义转化法
与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题,一般都是利用抛物线的定义,将到准线的距离转化为到焦点的距离,然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件,这样就能避免繁琐的代数运算.
(2)平移转化法
若抛物线上的点P到直线l的距离最小,则过点P与l平行的直线与抛物线相切,且最小距离为两平行直线间的距离,所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线,然后求两平行直线间的距离.
(3)函数法
与抛物线相关的面积最值、距离最值等问题,可通过设置合适的变量,借助两点间距离公式、点到直线间距离公式、面积公式等建立目标函数,通过求目标函数的最值来解决相关问题,解题时常设点的坐标、直线斜率作为自变量,而题中所求作为目标函数.
1.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 .
解析:法一 如图,设与直线4x+3y-8=0平行且与抛物线y=-x2相切的直线为4x+3y+b=0,切线方程与抛物线方程联立得
消去y整理得3x2-4x-b=0,
则Δ=16+12b=0,解得b=-,
两平行线之间的距离d==,
即抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离最小值是.
法二 设P(x,-x2),则点P到直线4x+3y-8=0的距离d==|3(x-)2+|=(x-)2+,在抛物线y=-x2中,x∈R,所以当x=时,d取得最小值,即抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是.
答案:
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求·的最小值.
解:(1)由题意可知F(,0),
则直线MN的方程为y=x-.
将直线方程代入y2=2px(p>0),得x2-3px+=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则有x1+x2=3p.
因为|MN|=8,
所以x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)由l∥MN,可设直线l的方程为y=x+b,将其代入y2=4x,
得x2+(2b-4)x+b2=0.
因为l为抛物线C的切线,
所以Δ=(2b-4)2-4b2=0,解得b=1,
所以直线l的方程为y=x+1.
由(1)可知x1+x2=6,x1x2=1.
设P(m,m+1),
则=(x1-m,y1-(m+1)),
=(x2-m,y2-(m+1)),
所以·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2,
因为x1+x2=6,x1x2=1,
所以(y1y2)2=16,易知y1y2<0,
所以y1y2=-4.
又-=4(x1-x2),
所以y1+y2=4=4,
·=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14,
当且仅当m=2,即点P的坐标为(2,3)时,
·取得最小值,最小值为-14.
考点三 抛物线中定点、定值问题
[例3] 已知抛物线C:x2=4y,直线l1与C相交于A,B两点,线段AB与它的中垂线l2交于点G(a,1)(a≠0).
(1)求证:直线l2过定点,并求出该定点坐标;
(2)设l2分别交x轴,y轴于点M,N,是否存在实数a,使得A,M,B,N四点在同一个圆上,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
所以(x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2),
所以kAB==,
所以=-,
所以l2:y=-(x-a)+1,
所以l2:y=-x+3过定点(0,3).
(2)解:存在.
l2:y=-x+3过M(,0),N(0,3),
A,M,B,N四点在同一圆上⇔∠MAN=90°⇔|AG|2=|MG||NG|,
由(1)可得l1的方程为y=(x-a)+1,
由得x2-2ax+2a2-4=0,
所以|AB|=,
|MG||NG|=|||a|
=(1+),
所以(1+)(4-a2)=(a2+4),
所以a2=2,所以a=±.
即存在实数a=±满足题意.
(1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程,要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程,如果是双参数,要注意这两个参数之间的相互关系.
(2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确,即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,其不受变化的量所影响的一个值就是要求的定值.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点;
(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
(1)证明:设D(t,-),A(x1,y1),
则=2y1.
由于y′=x,所以切线DA的斜率为x1,
故=x1.
整理得2tx1-2y1+1=0.
设B(x2,y2),
同理可得2tx2-2y2+1=0.
故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.
所以直线AB过定点(0,).
(2)解:由(1)得直线AB的方程为y=tx+.
由
可得x2-2tx-1=0.
于是x1+x2=2t,x1x2=-1,
y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,
|AB|=|x1-x2|
=×
=2(t2+1).
设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,
则d1=,d2=.
因此,四边形ADBE的面积
S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).
设M为线段AB的中点,则M(t,t2+).
由于⊥,
而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,
所以t+(t2-2)t=0.
解得t=0或t=±1.
当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4.
因此,四边形ADBE的面积为3或4.
考点四 抛物线与圆锥曲线的相关问题
[例4] (2018·浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;
(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
(1)证明:设P(x0,y0),A(,y1),B(,y2).
因为PA,PB的中点在抛物线上,
所以y1,y2为方程()2=4·,
即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根.
所以y1+y2=2y0.
因此PM垂直于y轴.
(2)解:由(1)可知
所以|PM|=(+)-x0=-3x0,
|y1-y2|=2.
因此,△PAB的面积
S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(-4x0).
因为+=1(x0<0),
所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5].
因此,△PAB面积的取值范围是[6,].
解析几何的方法就是用坐标进行代数运算,但是未知的参数太多会使运算量加倍.本题中利用一个参数设抛物线上的点的坐标,利用中点坐标公式得出中点坐标,减少了参数个数.
(1)要证明的几何关系即为=y0.
(2)要求的面积为S△PAB=|PM|·|y1-y2|,可化为关于x0,y0的关系式,最后统一到x0的二次函数问题上.
1.(2019·天津卷)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( D )
(A) (B) (C)2 (D)
解析:由抛物线方程可得准线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±x.
由解得y1=-,
由解得y2=,
所以|AB|=y2-y1=.
因为|AB|=4|OF|,所以=4,
即=2,
所以()2===5,所以e=.故选D.
2.已知直线y=kx+1(k≠0)交抛物线x2=4y于E和F两点,以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为2,则k= .
解析:由消去y整理得x2-4kx-4=0,
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2.
由抛物线的定义可得|EF|=y1+y2+2=4k2+4,
所以以EF为直径的圆的半径为|EF|=2k2+2,
圆心到x轴的距离为(y1+y2)=2k2+1.
由题意得(2k2+2)2=()2+(2k2+1)2,解得k=±1.
答案:±1
考点五 易错辨析
[例5] 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
(A) (B)3 (C) (D)
解析:抛物线y2=2x的焦点为F(,0),准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=,选A.
(0,2)点的位置易被忽略,定点的位置不同,结果也不同.
圆锥曲线间的综合问题
[例题] 如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
解:(1)在C1,C2的方程中,
令y=0,可得b=1,
且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点.
设C1的半焦距为c,
由=及a2-c2=b2=1得a=2.
所以a=2,b=1.
(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,
设其方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得
(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)
设点P的坐标为(xP,yP),
因为直线l过点B,
所以x=1是方程(*)的一个根.
由根与系数的关系,得xP=,
从而yP=,
所以点P的坐标为(,).
同理,由
得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
所以=(k,-4),
=-k(1,k+2).
因为AP⊥AQ,
所以·=0,
即[k-4(k+2)]=0,
因为k≠0,
所以k-4(k+2)=0,
解得k=-.
经检验,k=-符合题意,
故直线l的方程为y=-(x-1).
规范要求:第一步:根据题中条件找到a,b,c的关系式解得a,b.
第二步:根据条件设直线方程.
第三步:直线方程分别与曲线C1,C2联立,表示点P,Q的坐标.
第四步:利用向量转化条件AP⊥AQ得到关于k的方程,求解参数.
第五步:检验,写出结论.
温馨提示:第(2)问中得到k=-后,需检验,易被忽略.
[规范训练] (2019·北京卷)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
(1)解:由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.
所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.
(2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1),
设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).
由得x2+4kx-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4.
直线OM的方程为y=x.
令y=-1,得点A的横坐标xA=-.
同理得点B的横坐标xB=-.
设点D(0,n),则=(-,-1-n),
=(-,-1-n),
·=+(n+1)2
=+(n+1)2
=+(n+1)2=-4+(n+1)2.
令·=0,
即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).
类型一 直线与抛物线的相交问题
1.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k等于( C )
(A)2或-1 (B)-1 (C)2 (D)3
解析:联立消去y,得
k2x2-4(k+2)x+4=0.
由根与系数的关系,得
xA+xB=.
因为AB中点的横坐标为2,
所以2==.
解得k=2或k=-1,
由于直线与抛物线相交于两点A,B,
故Δ=16(k+2)2-16k2>0.即k>-1,
所以k=2,故选C.
2.已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l交抛物线E于A,B两点(点A在第一象限),若S△OAB=-tan∠AOB,则p的值是( A )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:S△OAB=-tan∠AOB=||·||sin∠AOB,即·=-3,不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1x2+y1y2=-3,即有+y1y2=-3,
又因为y1y2=-p2,
故p=2,故选A.
3.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直.l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
(A)18 (B)24 (C)36 (D)48
解析:不妨设抛物线的解析式为y2=2px(p>0),
则焦点为F(,0),对称轴为x轴,准线为x=-,
因为直线l经过抛物线的焦点,A,B是l与C的交点,
且AB⊥x轴,所以|AB|=2p=12,
所以p=6.
所以S△ABP=|AB|·p=×12×6=36,故选C.
4.(2019·台州市书生中学)过抛物线y2=mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=m,则m等于( B )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
因为过抛物线y2=mx(m>0)的焦点F(,0),
设直线方程为x=ky+,
代入抛物线方程可得y2-mky-=0,
所以y1+y2=mk,y1y2=-,
所以|PQ|2=(1+k2)[(y1+y2)2-4y1y2]
=(1+k2)(m2k2+m2)
=m2,
所以(k2+1)2=,
所以k2+1=,
所以k2=,
所以x1+x2=k(y1+y2)+=mk2+=m+=m=2×3,
解得m=8,故选B.
类型二 抛物线中最值问题
5.已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线y=-2垂直,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为( A )
(A)1 (B)2 (C)-1 (D)8
解析:因为C:(x-1)2+y2=4的圆心为(1,0),
所以,可得以(1,0)为焦点的抛物线方程为y2=4x,
由,解得A(1,2),
抛物线C2:x2=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,
即有|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|=1,
当且仅当A,B,F(A在B,F之间)三点共线,可得最大值为1,
故选A.
6.已知O为坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,P为C上一点,M是线段PF的中点,则直线OM的斜率的最大值为 .
解析:根据题意可得F(,0),设P(,y0),
因为M是线段PF的中点,则M(+,),
所以kOM==≤=1,当且仅当y0=p时取等号,
所以直线OM的斜率的最大值为1.
答案:1
7.如图,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上相异两点,Q,P到y轴的距离的积为4,且·=0.
(1)求该抛物线的标准方程;
(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与x轴的交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.
解:(1)因为·=0,
所以x1x2+y1y2=0.
又P,Q在抛物线上,
所以=2px1,=2px2,
所以·+y1y2=0,
即y1y2=-4p2,所以x1x2=4p2.
又x1x2=4,所以4p2=4,p=1,
所以该抛物线的标准方程为y2=2x.
(2)连接PQ,设直线PQ过点E(a,0)且方程为x=my+a,
联立
消去x得y2-2my-2a=0,
所以①
设直线PR与x轴交于点M(b,0)且方程为x=ny+b,R(x3,y3),
同理可知②
由①②可得=,又Q是TR的中点,所以=2.
由(1)知y1y2=-4,代入①可得-2a=-4,
所以a=2,b=4.
所以y1y3=-8.
所以|PR|=|y1-y3|=·=2·≥4.
所以当n=0,即PR垂直于x轴时,弦PR长度最小,最小值为4.
8.如图,已知F为抛物线y2=4x的焦点,点A,B,C在该抛物线上,其中A,C关于x轴对称(A在第一象限),且直线BC经过点F.
(1)若△ABC的重心为G(,),求直线AB的方程;
(2)设S△ABO=S1,S△CFO=S2,其中O为坐标原点,求+的最小值.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),
则△ABC的重心坐标为G(,),
由题意可得2x1+x2=,且y2=4,
由=4x2, =4x1,
可得x2=4和x1=,y1=1,
直线AB的斜率k==,
即直线AB的方程为4x-5y+4=0.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),
设直线BC:x=my+1,代入抛物线方程y2=4x,可得
y2-4my-4=0,可得-y1y2=-4,即y1y2=4,
再设直线AB:y=kx+n,
代入抛物线方程,可得
ky2-4y+4n=0,y1y2==4,
即n=k,
则有直线AB:y=k(x+1),
即有直线AB恒过定点E(-1,0),
则S△ABO=|OE|·|y2-y1|=|y2-y1|,
S△CFO=|OF|·|y1|=|y1|,
即有+=(y2-y1)2+=
=(2+-8)
≥(2-8)=2-2.
当且仅当y1=,y2=取等号.
即有+的最小值为2-2.
类型三 抛物线中定点、定值问题
9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点(2,a)到焦点F的距离为3.
(1)求抛物线的方程;
(2)设动直线l与抛物线C相切于点A,且与其准线相交于点B,问在坐标平面内是否存在定点D,使得以AB为直径的圆恒过定点D?若存在,求出点D的坐标,若不存在,说明理由.
解:(1)由条件得2+=3,=1,即p=2,
则抛物线的方程为y2=4x.
(2)设动直线l方程为x=ty+b(t≠0),
可得B(-1,),
联立消去x得y2=4(ty+b),
所以Δ=16t2+16b=0,
即b=-t2,则A(t2,2t),设D(m,n),
所以=(m-t2,n-2t),=(m+1,n+),
因为D在以AB为直径的圆上,
所以⊥,
所以·=0,
即(m-t2)(m+1)+(n-2t)(n+)=0,
整理得(1-m)t2-3nt++(m2+m+n2-2)=0,
当且仅当m=1,n=0时,上式对任意t∈R且t≠0恒成立,
则存在D(1,0),使得以AB为直径的圆恒过定点D.
类型四 抛物线与其他圆锥曲线相关问题
10.若椭圆+=1的右焦点与抛物线y2=2px的焦点重合,则p的值为( C )
(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4
解析:椭圆+=1的右焦点坐标为(2,0),
所以=2,解得p=4.
11.已知抛物线C1:y=ax2(a>0)的焦点F也是椭圆C2:+=1(b>0)的一个焦点,点M,P(,1)分别为曲线C1,C2上的点,则|MP|+|MF|的最小值为 .
解析:将P(,1)代入到+=1中,
可得+=1,所以b=,所以c=1,
所以抛物线的焦点F为(0,1),
所以抛物线C1的方程为x2=4y,准线为直线y=-1,
设点M在准线上的射影为D,
根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|,
所以要求|MP|+|MF|的最小值,
即求|MP|+|MD|的最小值,易知当D,M,P三点共线时,|MP|+|MD|最小,最小值为1-(-1)=2.
答案:2
12.(2018·北京卷)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.
(1)解:因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),
所以2p=4,即p=2,
故抛物线C的方程为y2=4x.
由题意知,直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),
由得k2x2+(2k-4)x+1=0.
依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,
解得k<0或0
从而k≠-3.
所以直线l的斜率的取值范围是
(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)知x1+x2=-,x1x2=.
直线PA的方程为y-2=(x-1).
令x=0,得点M的纵坐标为
yM=+2=+2.
同理得点N的纵坐标为yN=+2.
由=λ,=μ,得λ=1-yM,μ=1-yN.
所以+=+
=+
=·
=·
=2.
所以+为定值.
复习目标
学法指导
1.抛物线与其他曲线的相关问题.
(1)抛物线与圆的相关问题.
(2)抛物线与双曲线的相关问题.
(3)抛物线与椭圆的相关问题.
(4)抛物线与直线的相关问题.
2.与抛物线相关的定值、定点及证明问题.
1.抛物线与其他曲线相关的综合问题是解析几何的重要内容,也是高考命题的亮点,学习这部分内容要注意加强运算能力、分析问题、解决问题的能力.
2.定点问题常用解法有两种:(1)引进参数法;(2)特殊到一般法.
3.定值问题常涉及直线、圆锥曲线、向量等问题.解决本类问题常通过取参数的特殊值来确定“定值”.
一、直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线相交是解析几何中一类重要问题,解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题.
2.涉及弦的中点问题,可以利用判别式和根与系数的关系加以解决,也可利用“点差法”解决此类问题.若知道中点,则利用“点差法”可得出过中点的弦的直线的斜率.比较两种方法,用“点差法”计算量较少,此法在解决有关存在性的问题时,要结合图形和判别式Δ加以检验.
1.理解辨析
直线与抛物线相交时,若直线过抛物线的焦点,则可考虑运用抛物线的定义进行求解.
直线与抛物线相切时,可借助直线方程与抛物线方程联立,得关于x(或y)的一元二次方程,由判别式等于零进行解题.
2.相关结论
(1)抛物线y2=2px与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.
(2)抛物线上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0).
(3)过抛物线外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y=p(x+x0).
二、抛物线中的定值、最值问题
1.抛物线中的定值问题
在解析几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题.解决这类问题常通过取参数的特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒成立的.
2.抛物线中的最值问题
解决抛物线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别是用抛物线的定义和平面几何的有关结论来解,非常巧妙;二是代数法,将抛物线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等求解最大值或最小值.
1.理解辨析
定值、最值问题的实质就是求值,依据题目条件列出等量关系式进行求值,是解题的基本思路.
2.相关结论
在求解抛物线或圆锥曲线问题时,常借助向量这一工具进行解题.应熟悉以下结论:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则
a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0,
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
1.方程=表示( C )
(A)两条射线 (B)双曲线
(C)两条线段 (D)抛物线
解析:因为=,
所以所以
所以y=|x|(-1≤x≤1),即表示两条线段.
2.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是 .
解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),
又线段OA的中点为(1,),且kOA=,
则线段OA的垂直平分线为y-=-2(x-1),
将F(,0)代入,得0-=-2(-1),所以p=.
故抛物线方程为y2=5x,故准线方程为x=-.
答案:x=-
3.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|= .
解析:抛物线C:y2=3x的焦点为F(,0),
所以AB所在的直线方程为y=(x-),
将y=(x-)代入y2=3x,
消去y整理得x2-x+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,
由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+=12.
答案:12
4.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为 .
解析:抛物线的方程为y2=4x,A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1≠x2,
两式相减得-=4(x1-x2),
又易得y1+y2=4,
所以==1,
所以直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.
答案:y=x
考点一 直线与抛物线的相交问题
[例1] 如图,A,B是焦点为F的抛物线y2=4x上的两动点,线段AB的中点M在直线x=t(t>0)上.
(1)当t=1时,求|FA|+|FB|的值;
(2)记| AB |的最大值为g(t),求g(t).
解:(1) 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(t,m),则x1+x2=2t,y1+y2=2m.
由抛物线定义知|FA|=x1+1,|FB|=x2+1.
所以|FA|+|FB|=x1+x2+2=2t+2.
因为t=1,
所以|FA|+|FB|=4.
(2) 由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
所以=.故可设直线AB方程为(y-m)=x-t,即x=y-+t.
联立
消去x,得y2-2my+2m2-4t=0.
则Δ=16t-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-4t.
所以|AB|=|y1-y2|
=
=,
其中0≤m2<4t.
当t≥1时,因为0≤2t-2<4t,
所以,当m2=2t-2时,|AB| 取最大值,
|AB | max=2t+2.
当0
综上,g(t)=
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,解题时一般要用到根的判别式或根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,则直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用一般弦长公式|AB|=.
1.已知抛物线C:y2=4x焦点为F,直线MN过焦点F且与抛物线C交于M,N两点,P为抛物线C准线l上一点且PF⊥MN,连接PM交y轴于Q点,过Q作QD⊥MF于点D,若|MD|=2|FN|,则|MF|= .
解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线MN斜率为k,直线MN的方程为y=k(x-1),
代入抛物线方程可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1+x2=2+,
又2|FN|=|MD|,
可得2(x2+1)=|MD|,
因为=,
所以=,
所以x2=x1-1,
联立可得x1=2+,
因为x1=
所以2+=,
所以3k2=4+4,
所以x1=+1,
所以|MF|=+2.
答案:+2
2.已知F是抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点,点P(1,m)是抛物线上一点,且|PF|=2,直线l过定点(4,0),与抛物线T交于A,B两点,点P在直线l上的射影是Q.
(1)求m,p的值;
(2)若m>0,且|PQ|2=|QA|·|QB|,求直线l的方程.
解:(1)由|PF|=2得,1+=2,
所以p=2,将p=2,x=1,y=m代入y2=2px得,m=±2.
(2)法一 因为m>0,
由(1)知点P(1,2),抛物线T:y2=4x,
设直线l的方程是x=ny+4,
由得y2-4ny-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4n,y1·y2=-16,
因为|PQ|2=|QA|·|QB|,所以PA⊥PB,
所以·=0,且1≠2n+4,
所以(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0,且n≠-,
由(ny1+3)(ny2+3)+(y1-2)(y2-2)=0,
得(n2+1)y1y2+(3n-2)(y1+y2)+13=0,
-16(n2+1)+(3n-2)·4n+13=0,4n2+8n+3=0,
解得n=-(舍去)或n=-,
所以直线l的方程是x=-y+4,即2x+y-8=0.
法二 因为m>0,由(1)知点P(1,2),抛物线T:y2=4x,
设直线l的方程是x=ny+4,
由得y2-4ny-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4n,y1·y2=-16,
由
解得Q点的纵坐标是y0=,|PQ|=,
|QA|·|QB|=-(1+n2)(y1-y0)(y2-y0)
=-(1+n2)(-16-4ny0+),
因为|PQ|2=|QA|·|QB|,
所以|PQ|2==(1+n2)[16+-]
化简得4n2+8n+3=0,
解得n=-(舍去)或n=-,
所以直线l的方程是x=-y+4,即2x+y-8=0.
考点二 抛物线中最值问题
[例2] 设F是抛物线G:x2=4y的焦点,A,B为抛物线G上异于原点的两点,且满足·=0,延长AF,BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最小值.
解:设A(x1,y1),C(x2,y2),由题意知,直线AC的斜率k存在,由对称性,不妨设k>0.
因为直线AC过焦点F(0,1),
所以直线AC的方程为y=kx+1.
点A,C的坐标满足方程组
得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系知
|AC|=
=
=4(1+k2).
因为AC⊥BD,所以BD的斜率为-,
从而BD的方程为y=-x+1.
同理可求得|BD|=4[1+(-)2]=.
S四边形ABCD=|AC||BD|==8(k2+2+)≥32,
当k=1时,等号成立.
所以四边形ABCD面积的最小值为32.
与抛物线有关的最值问题,一般需要通过数形结合或利用函数思想求最值,常见方法如下:
(1)定义转化法
与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题,一般都是利用抛物线的定义,将到准线的距离转化为到焦点的距离,然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件,这样就能避免繁琐的代数运算.
(2)平移转化法
若抛物线上的点P到直线l的距离最小,则过点P与l平行的直线与抛物线相切,且最小距离为两平行直线间的距离,所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线,然后求两平行直线间的距离.
(3)函数法
与抛物线相关的面积最值、距离最值等问题,可通过设置合适的变量,借助两点间距离公式、点到直线间距离公式、面积公式等建立目标函数,通过求目标函数的最值来解决相关问题,解题时常设点的坐标、直线斜率作为自变量,而题中所求作为目标函数.
1.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 .
解析:法一 如图,设与直线4x+3y-8=0平行且与抛物线y=-x2相切的直线为4x+3y+b=0,切线方程与抛物线方程联立得
消去y整理得3x2-4x-b=0,
则Δ=16+12b=0,解得b=-,
两平行线之间的距离d==,
即抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离最小值是.
法二 设P(x,-x2),则点P到直线4x+3y-8=0的距离d==|3(x-)2+|=(x-)2+,在抛物线y=-x2中,x∈R,所以当x=时,d取得最小值,即抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是.
答案:
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求·的最小值.
解:(1)由题意可知F(,0),
则直线MN的方程为y=x-.
将直线方程代入y2=2px(p>0),得x2-3px+=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则有x1+x2=3p.
因为|MN|=8,
所以x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)由l∥MN,可设直线l的方程为y=x+b,将其代入y2=4x,
得x2+(2b-4)x+b2=0.
因为l为抛物线C的切线,
所以Δ=(2b-4)2-4b2=0,解得b=1,
所以直线l的方程为y=x+1.
由(1)可知x1+x2=6,x1x2=1.
设P(m,m+1),
则=(x1-m,y1-(m+1)),
=(x2-m,y2-(m+1)),
所以·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2,
因为x1+x2=6,x1x2=1,
所以(y1y2)2=16,易知y1y2<0,
所以y1y2=-4.
又-=4(x1-x2),
所以y1+y2=4=4,
·=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14,
当且仅当m=2,即点P的坐标为(2,3)时,
·取得最小值,最小值为-14.
考点三 抛物线中定点、定值问题
[例3] 已知抛物线C:x2=4y,直线l1与C相交于A,B两点,线段AB与它的中垂线l2交于点G(a,1)(a≠0).
(1)求证:直线l2过定点,并求出该定点坐标;
(2)设l2分别交x轴,y轴于点M,N,是否存在实数a,使得A,M,B,N四点在同一个圆上,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
所以(x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2),
所以kAB==,
所以=-,
所以l2:y=-(x-a)+1,
所以l2:y=-x+3过定点(0,3).
(2)解:存在.
l2:y=-x+3过M(,0),N(0,3),
A,M,B,N四点在同一圆上⇔∠MAN=90°⇔|AG|2=|MG||NG|,
由(1)可得l1的方程为y=(x-a)+1,
由得x2-2ax+2a2-4=0,
所以|AB|=,
|MG||NG|=|||a|
=(1+),
所以(1+)(4-a2)=(a2+4),
所以a2=2,所以a=±.
即存在实数a=±满足题意.
(1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程,要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程,如果是双参数,要注意这两个参数之间的相互关系.
(2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确,即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,其不受变化的量所影响的一个值就是要求的定值.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点;
(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
(1)证明:设D(t,-),A(x1,y1),
则=2y1.
由于y′=x,所以切线DA的斜率为x1,
故=x1.
整理得2tx1-2y1+1=0.
设B(x2,y2),
同理可得2tx2-2y2+1=0.
故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.
所以直线AB过定点(0,).
(2)解:由(1)得直线AB的方程为y=tx+.
由
可得x2-2tx-1=0.
于是x1+x2=2t,x1x2=-1,
y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,
|AB|=|x1-x2|
=×
=2(t2+1).
设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,
则d1=,d2=.
因此,四边形ADBE的面积
S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).
设M为线段AB的中点,则M(t,t2+).
由于⊥,
而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,
所以t+(t2-2)t=0.
解得t=0或t=±1.
当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4.
因此,四边形ADBE的面积为3或4.
考点四 抛物线与圆锥曲线的相关问题
[例4] (2018·浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;
(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
(1)证明:设P(x0,y0),A(,y1),B(,y2).
因为PA,PB的中点在抛物线上,
所以y1,y2为方程()2=4·,
即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根.
所以y1+y2=2y0.
因此PM垂直于y轴.
(2)解:由(1)可知
所以|PM|=(+)-x0=-3x0,
|y1-y2|=2.
因此,△PAB的面积
S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(-4x0).
因为+=1(x0<0),
所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5].
因此,△PAB面积的取值范围是[6,].
解析几何的方法就是用坐标进行代数运算,但是未知的参数太多会使运算量加倍.本题中利用一个参数设抛物线上的点的坐标,利用中点坐标公式得出中点坐标,减少了参数个数.
(1)要证明的几何关系即为=y0.
(2)要求的面积为S△PAB=|PM|·|y1-y2|,可化为关于x0,y0的关系式,最后统一到x0的二次函数问题上.
1.(2019·天津卷)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( D )
(A) (B) (C)2 (D)
解析:由抛物线方程可得准线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±x.
由解得y1=-,
由解得y2=,
所以|AB|=y2-y1=.
因为|AB|=4|OF|,所以=4,
即=2,
所以()2===5,所以e=.故选D.
2.已知直线y=kx+1(k≠0)交抛物线x2=4y于E和F两点,以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为2,则k= .
解析:由消去y整理得x2-4kx-4=0,
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2.
由抛物线的定义可得|EF|=y1+y2+2=4k2+4,
所以以EF为直径的圆的半径为|EF|=2k2+2,
圆心到x轴的距离为(y1+y2)=2k2+1.
由题意得(2k2+2)2=()2+(2k2+1)2,解得k=±1.
答案:±1
考点五 易错辨析
[例5] 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
(A) (B)3 (C) (D)
解析:抛物线y2=2x的焦点为F(,0),准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=,选A.
(0,2)点的位置易被忽略,定点的位置不同,结果也不同.
圆锥曲线间的综合问题
[例题] 如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
解:(1)在C1,C2的方程中,
令y=0,可得b=1,
且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点.
设C1的半焦距为c,
由=及a2-c2=b2=1得a=2.
所以a=2,b=1.
(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,
设其方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得
(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)
设点P的坐标为(xP,yP),
因为直线l过点B,
所以x=1是方程(*)的一个根.
由根与系数的关系,得xP=,
从而yP=,
所以点P的坐标为(,).
同理,由
得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
所以=(k,-4),
=-k(1,k+2).
因为AP⊥AQ,
所以·=0,
即[k-4(k+2)]=0,
因为k≠0,
所以k-4(k+2)=0,
解得k=-.
经检验,k=-符合题意,
故直线l的方程为y=-(x-1).
规范要求:第一步:根据题中条件找到a,b,c的关系式解得a,b.
第二步:根据条件设直线方程.
第三步:直线方程分别与曲线C1,C2联立,表示点P,Q的坐标.
第四步:利用向量转化条件AP⊥AQ得到关于k的方程,求解参数.
第五步:检验,写出结论.
温馨提示:第(2)问中得到k=-后,需检验,易被忽略.
[规范训练] (2019·北京卷)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
(1)解:由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.
所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.
(2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1),
设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).
由得x2+4kx-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4.
直线OM的方程为y=x.
令y=-1,得点A的横坐标xA=-.
同理得点B的横坐标xB=-.
设点D(0,n),则=(-,-1-n),
=(-,-1-n),
·=+(n+1)2
=+(n+1)2
=+(n+1)2=-4+(n+1)2.
令·=0,
即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).
类型一 直线与抛物线的相交问题
1.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k等于( C )
(A)2或-1 (B)-1 (C)2 (D)3
解析:联立消去y,得
k2x2-4(k+2)x+4=0.
由根与系数的关系,得
xA+xB=.
因为AB中点的横坐标为2,
所以2==.
解得k=2或k=-1,
由于直线与抛物线相交于两点A,B,
故Δ=16(k+2)2-16k2>0.即k>-1,
所以k=2,故选C.
2.已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l交抛物线E于A,B两点(点A在第一象限),若S△OAB=-tan∠AOB,则p的值是( A )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:S△OAB=-tan∠AOB=||·||sin∠AOB,即·=-3,不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1x2+y1y2=-3,即有+y1y2=-3,
又因为y1y2=-p2,
故p=2,故选A.
3.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直.l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
(A)18 (B)24 (C)36 (D)48
解析:不妨设抛物线的解析式为y2=2px(p>0),
则焦点为F(,0),对称轴为x轴,准线为x=-,
因为直线l经过抛物线的焦点,A,B是l与C的交点,
且AB⊥x轴,所以|AB|=2p=12,
所以p=6.
所以S△ABP=|AB|·p=×12×6=36,故选C.
4.(2019·台州市书生中学)过抛物线y2=mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=m,则m等于( B )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
因为过抛物线y2=mx(m>0)的焦点F(,0),
设直线方程为x=ky+,
代入抛物线方程可得y2-mky-=0,
所以y1+y2=mk,y1y2=-,
所以|PQ|2=(1+k2)[(y1+y2)2-4y1y2]
=(1+k2)(m2k2+m2)
=m2,
所以(k2+1)2=,
所以k2+1=,
所以k2=,
所以x1+x2=k(y1+y2)+=mk2+=m+=m=2×3,
解得m=8,故选B.
类型二 抛物线中最值问题
5.已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线y=-2垂直,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为( A )
(A)1 (B)2 (C)-1 (D)8
解析:因为C:(x-1)2+y2=4的圆心为(1,0),
所以,可得以(1,0)为焦点的抛物线方程为y2=4x,
由,解得A(1,2),
抛物线C2:x2=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,
即有|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|=1,
当且仅当A,B,F(A在B,F之间)三点共线,可得最大值为1,
故选A.
6.已知O为坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,P为C上一点,M是线段PF的中点,则直线OM的斜率的最大值为 .
解析:根据题意可得F(,0),设P(,y0),
因为M是线段PF的中点,则M(+,),
所以kOM==≤=1,当且仅当y0=p时取等号,
所以直线OM的斜率的最大值为1.
答案:1
7.如图,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上相异两点,Q,P到y轴的距离的积为4,且·=0.
(1)求该抛物线的标准方程;
(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与x轴的交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.
解:(1)因为·=0,
所以x1x2+y1y2=0.
又P,Q在抛物线上,
所以=2px1,=2px2,
所以·+y1y2=0,
即y1y2=-4p2,所以x1x2=4p2.
又x1x2=4,所以4p2=4,p=1,
所以该抛物线的标准方程为y2=2x.
(2)连接PQ,设直线PQ过点E(a,0)且方程为x=my+a,
联立
消去x得y2-2my-2a=0,
所以①
设直线PR与x轴交于点M(b,0)且方程为x=ny+b,R(x3,y3),
同理可知②
由①②可得=,又Q是TR的中点,所以=2.
由(1)知y1y2=-4,代入①可得-2a=-4,
所以a=2,b=4.
所以y1y3=-8.
所以|PR|=|y1-y3|=·=2·≥4.
所以当n=0,即PR垂直于x轴时,弦PR长度最小,最小值为4.
8.如图,已知F为抛物线y2=4x的焦点,点A,B,C在该抛物线上,其中A,C关于x轴对称(A在第一象限),且直线BC经过点F.
(1)若△ABC的重心为G(,),求直线AB的方程;
(2)设S△ABO=S1,S△CFO=S2,其中O为坐标原点,求+的最小值.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),
则△ABC的重心坐标为G(,),
由题意可得2x1+x2=,且y2=4,
由=4x2, =4x1,
可得x2=4和x1=,y1=1,
直线AB的斜率k==,
即直线AB的方程为4x-5y+4=0.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),
设直线BC:x=my+1,代入抛物线方程y2=4x,可得
y2-4my-4=0,可得-y1y2=-4,即y1y2=4,
再设直线AB:y=kx+n,
代入抛物线方程,可得
ky2-4y+4n=0,y1y2==4,
即n=k,
则有直线AB:y=k(x+1),
即有直线AB恒过定点E(-1,0),
则S△ABO=|OE|·|y2-y1|=|y2-y1|,
S△CFO=|OF|·|y1|=|y1|,
即有+=(y2-y1)2+=
=(2+-8)
≥(2-8)=2-2.
当且仅当y1=,y2=取等号.
即有+的最小值为2-2.
类型三 抛物线中定点、定值问题
9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点(2,a)到焦点F的距离为3.
(1)求抛物线的方程;
(2)设动直线l与抛物线C相切于点A,且与其准线相交于点B,问在坐标平面内是否存在定点D,使得以AB为直径的圆恒过定点D?若存在,求出点D的坐标,若不存在,说明理由.
解:(1)由条件得2+=3,=1,即p=2,
则抛物线的方程为y2=4x.
(2)设动直线l方程为x=ty+b(t≠0),
可得B(-1,),
联立消去x得y2=4(ty+b),
所以Δ=16t2+16b=0,
即b=-t2,则A(t2,2t),设D(m,n),
所以=(m-t2,n-2t),=(m+1,n+),
因为D在以AB为直径的圆上,
所以⊥,
所以·=0,
即(m-t2)(m+1)+(n-2t)(n+)=0,
整理得(1-m)t2-3nt++(m2+m+n2-2)=0,
当且仅当m=1,n=0时,上式对任意t∈R且t≠0恒成立,
则存在D(1,0),使得以AB为直径的圆恒过定点D.
类型四 抛物线与其他圆锥曲线相关问题
10.若椭圆+=1的右焦点与抛物线y2=2px的焦点重合,则p的值为( C )
(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4
解析:椭圆+=1的右焦点坐标为(2,0),
所以=2,解得p=4.
11.已知抛物线C1:y=ax2(a>0)的焦点F也是椭圆C2:+=1(b>0)的一个焦点,点M,P(,1)分别为曲线C1,C2上的点,则|MP|+|MF|的最小值为 .
解析:将P(,1)代入到+=1中,
可得+=1,所以b=,所以c=1,
所以抛物线的焦点F为(0,1),
所以抛物线C1的方程为x2=4y,准线为直线y=-1,
设点M在准线上的射影为D,
根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|,
所以要求|MP|+|MF|的最小值,
即求|MP|+|MD|的最小值,易知当D,M,P三点共线时,|MP|+|MD|最小,最小值为1-(-1)=2.
答案:2
12.(2018·北京卷)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.
(1)解:因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),
所以2p=4,即p=2,
故抛物线C的方程为y2=4x.
由题意知,直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),
由得k2x2+(2k-4)x+1=0.
依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,
解得k<0或0
从而k≠-3.
所以直线l的斜率的取值范围是
(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)知x1+x2=-,x1x2=.
直线PA的方程为y-2=(x-1).
令x=0,得点M的纵坐标为
yM=+2=+2.
同理得点N的纵坐标为yN=+2.
由=λ,=μ,得λ=1-yM,μ=1-yN.
所以+=+
=+
=·
=·
=2.
所以+为定值.
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