2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十四章第二节　导数运算

第二节　导数运算

一、导数的运算法则

1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).

2.[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

3.[]′=(g(x)≠0).

二、复合函数的导数

复合函数y=f(ax+b)的导数和函数y=f(u),u=ax+b的导数间的关系为yx′=[f(ax+b)]′=af′(u).

与导数运算有关的结论

(1)若c为常数,则[cf(x)]′=cf′(x);

(2)[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]′=f′1(x)+f′2(x)+…+f′n(x);

(3)[f1(x)·f2(x)·f3(x)·…·fn(x)]′=[f′1(x)·f2(x)·f3(x)·…·fn(x)]+[f1(x)·f′2(x)·f3(x)·…·fn(x)]+[f1(x)·f2(x)·f′3(x)·…·fn(x)]+…+[f1(x)·f2(x)·f3(x)·…·f′n(x)];

(4)设y=f(u),u=g(x),

则复合函数y=f(g(x))的导数为y′x=y′u·u′x.

1.曲线y=x3-2在点(-1,-)处的切线的倾斜角为(　B　)

(A)30° (B)45° (C)135° (D)-45°

2.曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于(　C　)

(A)2e (B)e (C)2 (D)1

解析:对y=xex-1求导,得y′=ex-1+xex-1,由导数的几何意义,得所求切线的斜率k=y′|x=1=2,故选C.

3.若函数f(x)的导函数的图象关于原点对称,则函数f(x)的解析式可能是(　A　)

(A)f(x)=3cos x (B)f(x)=x3+x2

(C)f(x)=1+2sin x (D)f(x)=ex+x

解析:A中f′(x)=-3sin x为奇函数,B中 f′(x)=3x2+2x非奇非偶函数,C中f′(x)=2cos x为偶函数,D中f′(x)=ex+1非奇非偶函数.

故选A.

4.已知函数f(x)=x3-3x,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程是　　　　;函数f(x)在区间[0,2]内的值域是　　　　. 

解析:函数f(x)=x3-3x,切点坐标(0,0),导数为y′=3x2-3,切线的斜率为-3,所以切线方程为y=-3x;

3x2-3=0,可得x=±1,x∈(-1,1),y′<0,

函数f(x)是减函数,x∈(1,+∞),y′>0,函数f(x)是增函数,f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2,

函数f(x)在区间[0,2]内的值域是[-2,2].

答案:y=-3x　[-2,2]

5.已知函数f(x)=(ax+1)ln x,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)=3,则实数a的值为　　　　. 

解析:根据题意,f′(x)=+aln x,所以f′(1)=a+1=3,故a=2.

答案:2

考点一　导数的四则运算

[例1] 求下列各函数的导数.

(1)y=4x+;

(2)y=exsin x;

(3)y=;

(4)y=cos(2x+5).

解:(1)y=4x+,则y′=4-.

(2)y=exsin x,则y′=exsin x+excos x.

(3)y=,则y′=.

(4)y=cos(2x+5),则y′=-sin(2x+5)·(2x+5)′=-2sin(2x+5).

导数的计算方法

(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.

(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.

(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.

(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.

(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.

求满足下列条件的函数f(x).

(1)f(x)是三次函数,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0;

(2)f(x)是二次函数,且x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.

解:(1)由题意设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),

则f′(x)=3ax2+2bx+c,

由已知得

解得a=1,b=-3,c=0,d=3,

故f(x)=x3-3x2+3.

(2)由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

则f′(x)=2ax+b.

所以x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,

化简得(a-b)x2+(b-2c)x+c=1,

因为此式对任意x都成立,所以

解得a=2,b=2,c=1,

故f(x)=2x2+2x+1.

考点二　导数运算的综合问题

[例2] (1)设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于(　　)

(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2

(2)设函数f(x)在R上可导,f(x)=x2f′(1)-2x+1,则f(a2-a+2)与f(1)的大小关系是(　　)

(A)f(a2-a+2)>f(1) (B)f(a2-a+2)=f(1)

(C)f(a2-a+2)<f(1) (D)不确定

解析:(1)因为y=,

所以y′=-.

因为x=3,所以y′=-即切线斜率为-,

因为切线与直线ax+y+1=0垂直,

直线ax+y+1=0的斜率为-a.

所以-·(-a)=-1得a=-2.

故选D.

(2)由题意,f′(x)=2f′(1)x-2,则f′(1)=2f′(1)-2,可得f′(1)=2,则f(x)=2x2-2x+1,由二次函数性质可知,函数f(x)在(,+∞)上单调递增,

因为a2-a+2=(a-)2+>1>,

所以f(a2-a+2)>f(1),故选A.

[例3] (1)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率是(　　)

(A)4 (B)- (C)2 (D)-

(2)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=　　　　. 

解析:(1)由导数的几何意义,得g′(1)=2,求导函数得

f′(x)=g′(x)+2x,k=f′(1)=g′(1)+2=4,故选A.

(2)法一　因为y′=1+,

所以y′|x=1=2,

所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为

y-1=2(x-1),

所以y=2x-1.

又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,

当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a≠0,

由

得ax2+ax+2=0,

因为Δ=a2-8a=0,所以a=8.

法二　因为y′=1+,所以y′|x=1=2,

所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),

所以y=2x-1,

又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,

当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a≠0.

因为y′=2ax+(a+2),

所以令2ax+a+2=2,得x=-,

代入y=2x-1,得y=-2,

所以点(-,-2)在y=ax2+(a+2)x+1的图象上,

故-2=a×(-)2+(a+2)×(-)+1,

所以a=8.

答案:(1)A　(2)8

[例4] 设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.

(1)求a,b之间的关系;

(2)求ab的最大值.

解:(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,

对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,

设C1与C2的一个交点为(x0,y0),

由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直.

所以(2x0-2)·(-2x0+a)=-1,

即4-2(a+2)x0+2a-1=0,①

又点(x0,y0)为C1与C2的交点,

故有

⇒2-(a+2)x0+2-b=0.②

由①②消去x0,可得a+b=.

(2)由(1)知,b=-a,

所以ab=a(-a)=-(a-)2+.

所以当a=时,(ab)max=.

曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为Ax+By+C=0有三层含义:一是点在曲线上,二是点在切线上,三是函数f(x)在点x=x0处的导数等于切线的斜率,即f′(x0)=- .

1.若函数f(x)满足f(x)=x3-f′(1)·x2-x,则f′(2)的值为(　A　)

(A)3 (B)1 (C)0 (D)-1

解析:f′(x)=x2-2f′(1)x-1,

令x=1,得f′(1)=-2f′(1) ,解得f′(1)=0,

所以f′(x)=x2-1.

所以f′(2)=3.

故选A.

2.设函数f(x)=ax3+3x,其图象在点(1,f(1))处的切线l与直线x-6y-7=0垂直,则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为(　B　)

(A)1 (B)3 (C)9 (D)12

解析:f′(x)=3ax2+3,由题设得f′(1)=-6,

所以3a+3=-6,a=-3,

所以f(x)=-3x3+3x,f(1)=0,

切线l的方程为y-0=-6(x-1),即y=-6x+6.

所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=×1×6=3.故选B.

3.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为(　C　)

(A)2 (B)-1 (C)1 (D)-2

解析:因为y=x3+ax+b,

所以y′=3x2+a;

由题意得解得

则2a+b=-2+3=1.故选C.

4.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则P点处切线倾斜角α的取值范围为(　C　)

(A)[0,)∪[,π) (B)[,π)

(C)[0,)∪[,π) (D)(,]

解析:因为y′=3x2-≥-,故切线斜率k≥-,

所以切线倾斜角α的取值范围是[0,)∪[,π).

故答案为C.

类型一　导数的计算

1.设f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),……,fn+1(x)=f′n(x),x∈N,则f2 020(x)等于(　C　)

(A)cos B·cos C= (B)-cos x

(C)sin x (D)-sin x

解析:根据题意,f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x)=cos x,

f2(x)=f′1(x)=-sin x,

f3(x)=f′2(x)=-cos x,

f4(x)=f′3(x)=sin x,

则有f0(x)=f4(x),f1(x)=f5(x),……

则f2 020(x)=f4(x)=sin x.故选C.

2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),满足f(x)=2xf′(2)+x3,则f′(2)等于(　B　)

(A)-8 (B)-12 (C)8 (D)12

解析:因为f(x)=2xf′(2)+x3,

所以f′(x)=2f′(2)+3x2;

令x=2,则f′(2)=2f′(2)+12,得f′(2)=-12.

故选B.

类型二　导数运算的综合问题

3.直线y=x+b与曲线y=-x+ln x相切,则b的值为(　A　)

(A)-1 (B)-2 (C)- (D)1

解析:设切点为(x0,-x0+ln x0),

则斜率为k=-+,

由题意知-+=,

所以x0=1.

所以切点为(1,-),

又因为切点在切线y=x+b上,

所以-=+b.

所以b=-1.故选A.

4.已知f′(x)是函数f(x)的导函数,如果f′(x)是二次函数,f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,),那么曲线y=f(x)上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是(　B　)

(A)(0,] (B)[,)

(C)[,] (D)[,π)

解析:由题意知f′(x)=a(x-1)2+(a>0),

所以f′(x)=a(x-1)2+≥,即tan α≥,

所以α∈[,).故选B.

5.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　　　. 

解析:y′=3(x2+3x+1)ex,故切线斜率k=y′|x=0=3,故切线方程为y=3x.

答案:y=3x

6.已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是　　　　　　　　.

解析:根据导数的几何意义及图象可知,曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(2)=1,又过点P(2,0),所以切线方程为x-y-2=0.

答案:x-y-2=0

7.已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m等于　　　　. 

解析:因为f′(x)=,

所以直线l的斜率为k=f′(1)=1,

又f(1)=0,

所以切线l的方程为y=x-1.g′(x)=x+m,

设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),

则有

又m<0,于是解得m=-2.

答案:-2

8.已知函数f(x)=x2-aln x,(a∈R).

(1)若y=f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;

(2)若f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.

解:(1)因为f′(x)=x-(x>0),

又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,

所以

所以

(2)因为f(x)在(1,+∞)上为增函数,

所以f′(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立.

即a≤x2在(1,+∞)上恒成立,所以有a≤1.