2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第四章第二节　二次函数

第二节　二次函数

二次函数

1.定义

形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.

2.表示形式

(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为抛物线顶点坐标;

(3)零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标.

3.图象与性质

1.概念理解

(1)由二次函数解析式的三种形式求对称轴及顶点坐标.

①y=ax2+bx+c(a≠0),其图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标(-,).

②y=a(x-h)2+k(a≠0),其图象的对称轴是直线x=h,顶点坐标(h,k).

③y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象的对称轴是直线x=.

(2)与对称轴相关的结论:

对于二次函数y=f(x)的定义域内所有x:

①若都有f(x1)=f(x2),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.

②若都有f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.

(3)分析二次函数的图象,主要从两方面入手,一是看二次项系数,它确定二次函数的图象;二是看对称轴和最值,或图象与y轴、x轴交点的位置,它确定二次函数图象的具体位置.

2.二次函数在给定区间上求值域

1.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象均在x轴上方,则a的取值范围是(　C　)

(A) (B)

(C) (D)

解析:由于f(x)的图象均在x轴上方,则f(x)>0恒成立,

故有所以a>.

2.设函数f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则g(1)+g(2)+…+g(20)等于(　B　)

(A)56 (B)112 (C)0 (D)38

解析:由二次函数图象的性质得,

g(x)=

所以g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=112.

故选B.

3.已知函数f(x)=在R上单调递减,则实数a满足(　C　)

(A)a>-2 (B)-2<a<-1

(C)a≤-2 (D)a≤-

解析:函数f(x)在(-∞,1]上单调递减时-≥1,

即a≤-2;

函数f(x)在(1,+∞)上单调递减时a<0且-≤1,

即a≤-;

同时端点函数值要满足1+a≥a+1.

综上可知a≤-2.

4.(2018·浙江省重点中学高三联考)已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是(　B　)

(A)(1,3] (B)[2,3] (C)(1,2] (D)(2,3)

解析:函数y=x2-4x+1是开口向上,对称轴为x=2的抛物线,

因为函数y=x2-4x+1的定义域为[1,t],

所以当x=1时,y=-2,当x=2时,y=-3.

因为在定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,

因为当y=-2时,x=1或x=3.

所以2≤t≤3,故选B.

5.已知函数f(x)=lg(mx2-mx-m+3)的定义域为R,则实数m的取值范围为　　　　. 

解析:函数f(x)=lg(mx2-mx-m+3)的定义域为R等价于对于任意的实数x∈R,mx2-mx-m+3>0恒成立,

当m=0时成立,

当m≠0时,等价于

⇒0<m<,

综上可得[0,).

答案:[0,)

考点一　二次函数的定义与图象

[例1] (1)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:

①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;

④5a<b.

其中正确的是(　　)

(A)②④ (B)①④ 

(C)②③ (D)①③

(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=　　　　. 

解析:(1)因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.故选B.

(2)因为f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称,

所以2a+ab=0,

所以b=-2或a=0(舍去).

又因为f(x)=-2x2+2a2且值域为(-∞,4],

所以2a2=4,f(x)=-2x2+4.

答案:(1)B　(2)-2x2+4

(1)二次函数解析式的求法

根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:

①已知三个点坐标,宜选用一般式;

②已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;

③已知图象与x轴两交点坐标,宜选用零点式.

(2)二次函数图象的绘制与识别可按以下顺序进行:一看开口,二看轴,三看交点,四看参.对参数要分类讨论.

1.函数y=logax(a>0且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一坐标系中的图象可能是(　C　)

解析:当a>1时,y=logax单调递增,y=(a-1)x2-2x-1开口向上,不过原点,

且对称轴x=>0,可排除A,B选项;

当a<1时,y=logax单调递减,y=(a-1)x2-2x-1开口向下,可排除D,

故选C.

2.已知函数f(x)与函数g(x)=(x-1)2的图象关于y轴对称,若存在a∈R,当x∈[1,m](m>1)时,使得f(x+a)≤4x成立,则m的最大值为(　C　)

(A)3 (B)6 (C)9 (D)12

解析:由于函数f(x)与函数g(x)=(x-1)2的图象关于y轴对称,因此f(x)=(x+1)2.

设h(x)=f(x+a)-4x=x2+2(a-1)x+(1+a)2,

由题意知f(x+a)-4x≤0成立,

即h(1)≤0且h(m)≤0,分别解得

a∈[-4,0],m2+2(a-1)m+(1+a)2≤0.

当a=0时,得m2-2m+1≤0,

解得m=1;当a=-4时,得m2-10m+9≤0,

解得1≤m≤9.

因此m的最大值为9.故选C.

考点二　二次函数的性质

[例2] 已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.

(1)求a,b的值;

(2)若b<1,g(x)=f(x)-m·x在[2,4]上单调,求m的取值范围.

解:(1)f(x)=ax2-2ax+2+b=a(x-1)2+2+b-a,

若a>0,则f(x)在区间[2,3]上是增函数.

则有解得

若a<0,则f(x)在区间[2,3]上是减函数,

则有解得

综上可知,a=1,b=0或a=-1,b=3.

(2)由b<1知,a=1,b=0,则f(x)=x2-2x+2,

所以g(x)=x2-(m+2)x+2.

因为g(x)在区间[2,4]上是单调函数,

所以≥4或≤2,

解得m≥6或m≤2.

即m的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞).

(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;

(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.

1.(2019·绍兴适应性考试)已知函数f(x)=若a>0,b<0,且f(a)=f(b),则f(a+b)的取值范围是　　　　. 

解析:

在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图所示,由图易得要使a>0,b<0,f(a)=f(b),

则b<-,且-2b-3=a2,

即b=,

则a+b=a+=-(a-1)2-1,

当a>0时,a+b=-(a-1)2-1∈(-∞,-1],

所以f(a+b)=-2(a+b)-3∈[-1,+∞).

答案:[-1,+∞)

2.已知函数f(x)=x2-2x|x-a|,a∈R.

(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间[0,2]上的最小值是-1,求实数a的值.

解:(1)当x≥2时,f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4在[2,+∞)上递减,

当x<2时,f(x)=3x2-4x=3(x-)2-在(-∞,)上递减,

在[,2)上递增,

所以f(x)在(-∞,),[2,+∞)上递减,

在[,2)上递增.

(2)f(x)=

a≥6时,f(x)在[0,2]上递减,f(2)=12-4a=-1,

a=,不成立.

6>a≥2时,-=-1,a=±,不成立,

0≤a<2时,a=或,

a<0时,f(x)在[0,2]上递减,f(2)=-4+4a=-1,a=,不成立.

所以a=或.

考点三　二次函数的综合问题

[例3] 函数f(x)=x2+ax+3.

(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的范围;

(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的范围.

解:(1)f(x)≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0恒成立,

只需Δ=a2-4(3-a)≤0,

即a2+4a-12≤0,

所以-6≤a≤2,即a的范围为[-6,2].

(2)f(x)=x2+ax+3=(x+)2+3-.

①当-<-2,即a>4时,f(x)min=f(-2)=-2a+7,

由-2a+7≥a得a≤,

所以符合题意的a不存在.

②当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,f(x)min=3-,

由3-≥a,得-6≤a≤2.

所以-4≤a≤2.

③当->2,即a<-4时,f(x)min=f(2)=2a+7,

由2a+7≥a,得a≥-7,

所以-7≤a<-4.

综上得a∈[-7,2].

有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.

由不等式恒成立求参数取值范围,常用分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

(2019·温州适应性测试)已知函数f(x)=x2-ax,若对任意的a∈R,存在x0∈[0,2],使得|f(x0)|≥k成立,则实数k的最大值是　　　　. 

解析:设g(x)=x2,h(x)=ax,则|f(x)|可以看成是函数 g(x)=x2与h(x)=ax的图象上横坐标相同的点的纵向距离,当a≤0时,可得当x=2时,|f(x)|取得最大值,则4-2a≥k,k≤4.当a>0时,平移直线h(x)=ax分别与函数 g(x)=x2的图象相切和过端点(2,4),由图易得当切点与端点到直线h(x)=ax的距离相等时,|f(x)|的最大值取得最小值,由g′(x)=2x=a得x=,则切线方程为y=ax-,过端点的平行线为y=ax-2a+4,则当-2a+4=,即a=-4+4时,纵向距离的最大值取得最小值,此时纵向距离为-2a+4==12-8,又12-8<4,所以k的最大值为12-8.

答案:12-8

考点四　易错辨析

[例4] 函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是单调递减的,则实数a的取值范围是(　　)

(A)[-3,0) (B)(-∞,-3]

(C)[-2,0] (D)[-3,0]

解析:当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,

当a≠0时,需

解得-3≤a<0,

综上可得-3≤a≤0.故选D.

本题易忽视a=0这一情况而致误,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.所以审题时一定要关注是否指明了“二次”函数.若二次项系数含参数,应对参数分类讨论,分类的标准就是二次项系数与0的关系.

1.若函数y=在[1,2]上为减函数,则a的取值范围是(　B　)

(A)[0,1)∪(1,2] (B)[0,2]

(C)[-2,2] (D)(-∞,2]

解析:令g(x)=(a-1)x2-(a+2)x+8,

要使y=在[1,2]上为减函数,则

当a-1<0即a<1时,

需可得0≤a<1.

当a-1=0即a=1时,y=,显然在[1,2]上为减函数,故符合要求.

当a-1>0即a>1时,

需可得1<a≤2.

综上可知,0≤a≤2.

2.设函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:a=0显然成立.a≠0时,二次函数对称轴为x=-,

所以a<0且-≥4,

解得-≤a<0,

综上,得-≤a≤0.

答案:[-,0]

二次函数的最值

[例题] 已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.

(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;

(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.

(1)证明:由f(x)=(x+)2+b-,

得对称轴为直线x=-.

由|a|≥2,得|-|≥1,

①故f(x)在[-1,1]上单调,

②所以M(a,b)=max{|f(-1)|,|f(1)|}.

③当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,

得max{-f(-1),f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.

当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,

得max{f(-1),-f(1)}≥2,

即M(a,b)≥2.

综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.

(2)解:由M(a,b)≤2得

④|f(-1)|=|1-a+b|≤2,

|f(1)|=|1+a+b|≤2,

故|a+b|≤3,|a-b|≤3,

⑤因为|a|+|b|=

所以|a|+|b|≤3.

⑥当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,

且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,

即M(2,-1)=2.

所以|a|+|b|的最大值为3.

规范要求:(1)证明中第①步很关键,已知区间为单调区间,则最值只需考虑端点值即可.

(2)证明中第②步可借助于函数|f(x)|的图象进行分析,由这一步可统领以下的思维过程.

(3)第③步根据对称轴相对于区间[-1,1]的位置,分类讨论,比较|f(x)|端点值的大小,用常用的作差法.

(4)第④步是从一般推特殊,属演绎推理.

(5)第⑤步是第(2)问的关键,正是由于此等量关系的存在才能考虑到第④步的出现,并引导了第④步不等关系的化简方向.

(6)第⑥步实质上是检验以上推理的正确性.

温馨提示:(1)解决含参数的二次函数的最值问题,要形成分类讨论的习惯,重点在“轴与区间”的位置关系,其次是“端点值”的大小关系.

(2)解决|f(x)|的相关问题,可利用数形结合思想.

(3)求解过程中,求出的参数值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求.

[规范训练] 求函数y=x2-2ax-1在[0,2]上的值域.

解:令y=f(x)=x2-2ax-1,

由已知得函数y=x2-2ax-1图象的对称轴为x=a,

因为已知函数的定义域为[0,2],

所以结合其图象分以下四种情况讨论:

①当a<0时,ymin=f(0)=-1,ymax=f(2)=4-4a-1=3-4a,

所以函数的值域为[-1,3-4a].

②当0≤a≤1时,ymin=f(a)=-(a2+1),

ymax=f(2)=3-4a,

所以函数的值域为[-(a2+1),3-4a].

③当1<a≤2时,ymin=f(a)=-(a2+1),

ymax=f(0)=-1,

所以函数的值域为[-(a2+1),-1].

④当a>2时,ymin=f(2)=3-4a,

ymax=f(0)=-1,

所以函数的值域为[3-4a,-1].

综上得,a<0时,所求值域为[-1,3-4a];

0≤a≤1时,所求值域为[-(a2+1),3-4a];

1<a≤2时,所求值域为[-(a2+1),-1];

a>2时,所求值域为[3-4a,-1].