2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第二章第二节　函数的单调性与值域(一)

第二节　函数的单调性与值域(一)

一、函数的单调性

1.单调函数的定义

2.单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.

1.概念理解

(1)单调性是函数的局部性质,是针对定义域I内某个区间D而言的,即DI;

(2)定义的核心是判定两个不等关系的“异同”,标准是“同增异减”.

(3)应用定义判定或证明函数的单调性时,x1,x2必须表示任意的自变量,切忌用特殊值代替.

(4)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应用逗号间隔,一般不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.

(5)区分两种叙述形式:“函数在区间D上单调”与“函数的单调区间是D”,二者意义不同:前者中D是函数单调区间的子集,后者中D是函数唯一的单调区间.

2.与判定函数单调性相关的结论

(1)利用定义判断或证明函数的单调性的等价形式

设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么

①>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数; <0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.

②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.

(2)判断复合函数单调性的方法

复合法可简记为“同增异减”,即内、外函数的单调性相同时复合函数是增函数,相异时复合函数是减函数.

(3)运算性质

①若f(x),g(x)均是区间D上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间D上的增(减)函数.

②若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反.

③函数f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与的单调性相反;与的单调性相同.

二、函数的最值

基本初等函数的值域

(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.

(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:

当a>0时,值域为[,+∞);

当a<0时,值域为(-∞, ].

(3)y=(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).

(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).

(5)y=log ax(a>0且a≠1)的值域是R.

(6)y=sin x,y=cos x的值域是[-1,1].

(7)y=tan x的值域是R.

1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(　A　)

(A)y= (B)y=(x-1)2

(C)y=2-x (D)y=log0.5(x+1)

解析:显然y=是(0,+∞)上的增函数;

y=(x-1)2在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;

y=2-x,即y=()x在R上是减函数;

y=log0.5(x+1)在(0,+∞)上是减函数.

故选A.

2.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是(　C　)

(A)y=在R上为减函数

(B)y=|f(x)|在R上为增函数

(C)y=2-f(x)在R上为减函数

(D)y=-[f(x)]3在R上为增函数

解析:根据题意,依次分析选项:

对于A,对于函数f(x)=x,y==,在R上不是减函数,A错误;

对于B,对于函数f(x)=x,y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;

对于C,令t=f(x),则y=2-f(x)=()f(x)=()t,

t=f(x)在R上为增函数,y=()t在R上为减函数,

则y=2-f(x)在R上为减函数,C正确;

对于D,对于函数f(x)=x,y=-[f(x)]3=-x3,

在R上为减函数,D错误.故选C.

3.函数y=x2-2ax+b在(-∞,1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　;若其单调递减区间是(-∞,1),则实数a的值是　　　　. 

解析:函数y=x2-2ax+b的递减区间是(-∞,a],

所以(-∞,1](-∞,a],故a≥1.

其单调递减区间是(-∞,1)时,a=1.

答案:[1,+∞)　1

4.已知函数f(x)=x(2x-),若f(x-1)>f(x),则x的取值范围是　　　　. 

解析:当x>0时,f(x)在(0,+∞)上递增,

而f(-x)=f(x),f(x)是偶函数,

故f(x)在(-∞,0)上是减函数,

若f(x-1)>f(x),则|x-1|>|x|,

即(x-1)2>x2,解得x<.

答案:(-∞,)

5.若函数f(x)=3x+ax(a>0且a≠1)是偶函数,则函数 f(x) 的值域为　　　　. 

解析:由f(x)为偶函数可得,f(-1)=f(1),

即+=3+a,解得a=,

所以f(x)=3x+,

因为3x>0,

所以3x+≥2(当且仅当3x=,即x=0时取等号),

所以f(x)≥2,

即f(x)的值域为[2,+∞).

答案:[2,+∞)

考点一　函数单调性的判定

[例1] 判断函数f(x)=(其中a>0)在x∈(-1,1)时的单调性.

解:设-1<x1<x2<1,

则f(x1)-f(x2)=-

=

=.

因为-1<x1<x2<1,

所以x2-x1>0,x1x2+1>0,(-1)(-1)>0.

因此当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上为减函数.

利用定义判定函数单调性的步骤

(1)取值:任取所给区间上两个变量x1,x2;

(2)作差,若f(x)>0(或<0),也可以作商;

(3)变形:化简后的代数式中须出现“x1-x2”;

(4)定号:判定差的正负或商与1的大小,必要时分类讨论;

(5)判定:注意完整的叙述.

(2019·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　A　)

(A)y= (B)y=2-x

(C)y=x (D)y=

解析:y==,y=2-x=()x,y=x,y=的图象如图所示.

由图象知,只有y=在(0,+∞)上单调递增.故选A.

考点二　求函数的单调区间

[例2](1)函数f(x)= (x2-4)的单调递增区间为(　　)

(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)

(C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)

(2)函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=f(log ax)(0<a<1)的单调减区间是(　　)

 (A)[0,]

(B)[,1]

(C)(-∞,0)∪[,+∞)

(D)[,]

解析:(1)函数y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),

因为函数y=f(x)是由y=t与t=g(x)=x2-4复合而成,

又y=t在(0,+∞)上单调递减,

g(x)在(-∞,-2)上单调递减,

所以函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增,故选D.

(2)因为u=logax(0<a<1)在(0,+∞)上是减函数,

又因为g(x)递减,

所以此时y=f(u)需为增函数,

由图可知,f(u)在[0,]上递增,

所以0≤logax≤,

所以≤x≤1,故选B.

求函数单调区间的常见方法

(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间.

(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解.

(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.

(4)导数法:利用导数确定函数的单调区间.

1.f(x)=ln(x2-3x+2)的递增区间是(　D　)

(A)(-∞,1) (B)(1,)

(C)(,+∞) (D)(2,+∞)

解析:令t=x2-3x+2=(x-1)(x-2)>0,

解得x<1或x>2,

故函数的定义域为{x|x<1或x>2},f(x)=ln t单调递增,

根据复合函数单调性知原函数f(x)=ln(x2-3x+2)的递增区间是(2,+∞).故选D.

2.已知函数y=|4x-m|在区间[1,+∞)上单调递增,则m的取值范围为　　　　. 

解析:由于y=|4x-m|=

则函数y=|4x-m|的增区间为[,+∞),

减区间为(-∞,),

所以要使函数y=|4x-m|在区间[1,+∞)上单调递增,则≤1,解得m≤4,

故m的取值范围为(-∞,4].

答案:(-∞,4]

考点三　求函数的最值(值域)

[例3] (1)f(x)=xlg x在区间[2,10]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　. 

(2)函数y=-x(x≥0)的最大值为　　　　. 

(3)函数f(x)=(x>1)的最小值为　　　　. 

解析:(1)g(x)=x在[2,10]上递增且为正数,h(x)=lg x在[2,10]递增且为正数,所以f(x)=xlg x在区间[2,10]上递增,所以最大值为f(10)=10,最小值为f(2)=2lg 2.

(2)令t=,则t≥0,所以y=t-t2=-+,

结合图象知,当t=,即x=时,ymax=.

(3)f(x)==

=(x-1)++2

≥+2

=8,

当且仅当x-1=,即x=4时,f(x)min=8.

答案:(1)10　2lg 2　(2)　(3)8

求函数最值(值域)的常用方法及适用类型

(1)单调性法:易确定单调性的函数,利用单调性法研究函数最值(值域).

(2)图象法:能作出图象的函数,用图象法,观察其图象最高点、最低点,求出最值(值域).

(3)基本不等式法:分子、分母中一个为一次,一个为二次函数结构以及两个变量(如x,y)的函数,一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域).

(4)换元法:对解析式较复杂的函数,可通过换元转化为以上类型中的某种,再求解.

用换元法时,一定要注意新“元”的范围.

1.(2018·台州模拟)若函数f(x)=a- (a∈R)是奇函数,则a=　　　　,函数f(x)的值域为　　　　. 

解析:函数f(x)=a-(a∈R)是奇函数,

f(-x)+f(x)=0,

即a-+a-=2a-(+)=2a+=0,

解得a=-1;

令y=-1-⇒1-2x=,

即有2x=>0,

解得y>1或y<-1,

故f(x)=-1-的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

答案:-1　(-∞,-1)∪(1,+∞)

2.(2018·江苏卷)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为　　　　. 

解析:f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(x>0).

①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增,

又f(0)=1,

所以f(x)在(0,+∞)上无零点.

②当a>0时,由f′(x)>0解得x>,

由f′(x)<0解得0<x<,

所以f(x)在（0,）上递减,在（,+∞）上递增.

又f(x)只有一个零点,

所以f（）=-+1=0,

所以a=3.

此时f(x)=2x3-3x2+1,f′(x)=6x(x-1),

当x∈[-1,1]时,f(x)在[-1,0]上递增,在[0,1]上递减.

又f(1)=0,f(-1)=-4,

所以f(x)max+f(x)min=f(0)+f(-1)=1-4=-3.

答案:-3

考点四　易错辨析

[例4] 判断函数f(x)= 的单调性.

解:设t=x2-2x-3,

因为t>0,

所以x<-1或x>3,

因为y==在(0,+∞)上单调递减,

且t=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增.

所以函数f(x)=在(-∞,-1)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减.

(1)易忽略函数的定义域,只求解二次函数的单调区间;

(2)错用复合函数的单调性法则或错用“外层函数”的单调性.

1.已知单调函数f(x),对任意的x∈R都有f[f(x)-2x]=6,则f(2)等于(　C　)

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

解析:设t=f(x)-2x,f(t)=6,且f(x)=2x+t,

令x=t,

则f(t)=2t+t=6,

因为f(x)是单调函数,所以t=2,

即f(x)=2x+2,则f(2)=22+2=6.

故选C.

2.已知f(x)=(a>0且a≠1),若f(x)有最小值,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:当a>1时,x≤1时,

f(x)=ax+a在(-∞,1]上递增,则f(x)∈(a,2a],

x>1时,f(x)=|x-a|+1≥1,当x=a时取得最小值1,

则f(x)的值域为[1,+∞),

可得a>1时f(x)取得最小值1;

当0<a<1时,x≤1时,f(x)=ax+a在(-∞,1]上递减,则f(x)∈[2a,+∞);

x>1时,f(x)=|x-a|+1=x-a+1递增,

可得f(x)>2-a,

若f(x)存在最小值,可得2-a≥2a,即a≤,

可得0<a≤.

综上可得a>1或0<a≤.

答案:（0,]∪(1,+∞)