2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第三章第二节　对数与对数函数

第二节　对数与对数函数

一、对数

1.法则理解

应用法则logaM+logaN=loga(M·N)时,注意M>0,且N>0,而不能只考虑到M·N>0,导致增解.

2.与换底公式有关的结论

logab·logbc·logcd=logad.

二、对数函数

1.对数函数的概念、图象与性质

2.指数函数与对数函数的关系

指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.

1.概念理解

(1)对数函数的定义是形式定义,其解析式的特征为①系数为1;②次数为1;③底数a>0且a≠1;④真数只能是自变量x.

(2)对数函数解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标,即可确定一个对数函数.

2.与对数函数图象相关的知识点

(1)如图是对数函数①y=logax;②y=logbx;③y=logcx;④y=logdx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是0<a<b<1<c<d.

(2)对数函数图象之间的位置关系:在第一象限,图象从左到右,底数由小到大;

(3)对数函数图象以y轴为渐近线,进行图象变换时,渐近线也应随之变换;

(4)底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称;

(5)画对数函数图象应抓住三个关键点:

(,-1),(1,0),(a,1).

3.与对数函数性质的应用相关联的知识

(1)对数类函数的问题求解时要树立定义域优先的意识;

(2)比较幂、对数大小的常用方法

①单调性法:构造函数,利用其单调性;

②中间量法:通过与特殊值比较大小判定结论,常见的有a0=1,loga1=0,logaa=1;

③数形结合法.

1.函数y=的定义域是(　D　)

(A){x|x>0} (B){x|x≥1}

(C){x|x≤1} (D){x|0<x≤1}

解析:要使得函数y=有意义则要满足

所以0<x≤1,

因此可知函数的定义域为{x|0<x≤1}.选D.

2.(2019·天津卷)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为(　A　)

(A)a<c<b (B)a<b<c

(C)b<c<a (D)c<a<b

解析:因为y=log5x是增函数,

所以a=log52<log5=0.5.

因为y=log0.5x是减函数,

所以b=log0.50.2>log0.50.5=1.

因为y=0.5x是减函数,

所以0.5=0.51<c=0.50.2<0.50=1,

即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A.

3.函数y=loga(3x-2)(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,则A点坐标是(　C　)

(A)(0,) (B)(,0)

(C)(1,0) (D)(0,1)

解析:当3x-2=1,即x=1时,y=loga1=0,

故定点A为(1,0).

4.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即ab=N⇔b=logaN.现在已知2a=3,3b=4,则ab=　　　　. 

解析:因为2a=3,3b=4,

所以a=log23,b=log34,

所以ab=log23·log34=×==2.

答案:2

5.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,若f(1)<f(lg x),则实数x的取值范围是　　　　. 

解析:因为f(x)是偶函数,并且在区间[0,+∞)上是增函数,

所以f(x)在区间(-∞,0]上是减函数,

所以由f(1)<f(lg x)得|lg x|>1,

所以lg x>1或lg x<-1,

所以x>10或0<x<.

所以实数x的取值范围为{x|x>10或0<x<}.

答案:{x|x>10或0<x<}

考点一　对数的基本运算

[例1] (1)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n;

(2)计算;

(3)计算(log32+log92)·(log43+log83).

解:(1)法一　因为loga2=m,loga3=n,

所以am=2,an=3,

所以a2m+n=(am)2·an=22×3=12.

法二　因为loga2=m,loga3=n,

所以a2m+n=(am)2·an=()2·=22×3=12.

(2)原式=

=

=

=

=

==1.

(3)原式=(+)·(+)

=(+)·(+)

=·

=.

在对数运算中, 要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.

1.(1)计算log2 的值是　　　　; 

(2)计算lg 4+lg 50-lg 2的值是　　　　. 

解析:(1)log2=log2=log2 =-.

(2)lg 4+lg 50-lg 2=lg(4×50÷2)=lg 100=2.

答案:(1)-　(2)2

2.(2019·杭州市期末检测)设a=log23,b=log38,则2a=　　　　;ab=　　　　. 

解析:由a=log23得2a=3,ab=log23×log38=×===3.

答案:3　3

考点二　对数函数的图象及应用

[例2] (1)已知函数y=loga(x+b)(a,b为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是(　　)

(A)a>1,b>1

(B)a>1,0<b<1

(C)0<a<1,b>1

(D)0<a<1,0<b<1

(2)设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则(　　)

(A)x1x2<0 (B)x1x2=0

(C)x1x2>1 (D)0<x1x2<1

解析:(1)函数y=loga(x+b)递减,所以0<a<1.

同时⇒⇒0<b<1,故选D.

(2)

作出y=10x,与y=|lg(-x)|的大致图象,如图.

显然x1<0,x2<0.

不妨设x1<x2,

则x1<-1<x2<0,

所以=lg(-x1),

=-lg(-x2),此时<,

即lg(-x1)<-lg(-x2),

由此得lg(x1x2)<0,

所以0<x1x2<1,故选D.

应用对数型函数的图象可求解的问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.

(2)常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

1.(2018·绍兴市柯桥区二模)若loga2<logb2<0,则(　B　)

(A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1

(C)a>b>1      (D)b>a>1

解析:loga2<logb2<0,所以a,b都小于1,loga2<logb2⇒<⇒lg a>lg b⇒a>b,综上0<b<a<1.故选B.

2.(2019·温州适应性测试)已知实数a>0,b>0,a≠1,且满足ln b=,则下列判断正确的是(　C　)

(A)a>b (B)a<b

(C)loga b>1 (D)loga b<1

解析:由ln b==-得ln b-+=0,

设f(x)=ln x-+(x>0),

则f′(x)=--=,

则函数f(x)=ln x-+在(0,+∞)上单调递减,

且f(1)=0,

所以当0<x<1时,ln x-+>0,即ln x>-;

当x>1时,ln x-+<0,即ln x<-,

在平面直角坐标系内画出函数y=ln x与y=-的图象如图所示,

由图易得若ln b==-,则0<b<a<1或1<a<b,A,B错误;当a>1时,1<a<b,函数y=loga x为增函数,则logab>logaa=1,当0<a<1时,0<b<a<1,函数y=loga x为减函数,则loga b>loga a=1,C正确,D错误,故选C.

考点三　对数函数的性质及应用

[例3] 已知函数f(x)=(x2-2ax+3).

(1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间;

(2)是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.

解:(1)由f(-1)=-3,得(4+2a)=-3.

所以4+2a=8,所以a=2.

这时f(x)= (x2-4x+3),

由x2-4x+3>0,

得x>3或x<1,

故函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞).

令g(x)=x2-4x+3,

则g(x)在(-∞,1)上单调递减,

在(3,+∞)上单调递增.

又y=x在(0,+∞)上单调递减,

所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1),

单调递减区间是(3,+∞).

(2)不存在满足题意的实数a,理由:

令h(x)=x2-2ax+3,要使f(x)在(-∞,2)上为增函数,应使h(x)在(-∞,2)上单调递减,且恒大于0.

因此即

a无解.

所以不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数.

(1)利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.

(2)利用对数性质比较大小的解题策略

①能化为同底数的对数值可直接利用其单调性进行判断.

②既不同底数,又不同真数的对数值,先引入中间量(如-1,0,1等),再利用对数函数的性质进行比较.

③底数不同,真数相同的对数值,可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.

1.(2018·江苏卷)函数f(x)=的定义域为　　　　. 

解析:由解得x≥2,所以函数f(x)=的定义域为{x|x≥2}.

答案:{x|x≥2}

2.函数f(x)=log2·log2(4x)的最小值为　　　　,此时x的值是　　　　. 

解析:f(x)=log2·log2(4x)=log2x·(2+log2x),

可令log2x=t,t∈R,

则y=t·(2+t)=t2+t,

当t=-1时,函数取到最小值为-,

此时x=.

答案:-　

考点四　易错辨析

[例4] (2018·天津卷)已知a=log2e,b=ln 2,c=,则a,b,c的大小关系为(　　)

(A)a>b>c (B)b>a>c (C)c>b>a (D)c>a>b

解析:c==log23>log2e=a>1,即c>a.

又b=ln 2=<1<log2e=a,即a>b.

所以c>a>b.故选D.

(1)由于a与c既不同“底”又不同“真”,所以无法直接比较大小,造成思维受阻;

(2)在利用对数函数的单调性比较大小时因函数的单调性判断错误而致误.

1.已知a=,b=,c=,则(　C　)

(A)a>b>c (B)b>a>c

(C)a>c>b (D)c>a>b

解析:c===.

法一　在同一坐标系中分别作出函数y=log2x,y=log3x,y=log4x的大致图象,如图所示.

由图象知,log23.4>log3>log43.6.

由于y=5x为增函数.

所以>>.

即>>,故a>c>b.故选C.

法二　因为<3.4,

所以log3<log33.4<log23.4.

因为log43.6<log44=1,log3>log33=1,

所以log43.6<log3.

所以log23.4>log3>log43.6.

由于y=5x为增函数.所以>>.

即>>,故a>c>b.故选C.

2.(2018·全国Ⅲ卷)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　B　)

(A)a+b<ab<0 (B)ab<a+b<0

(C)a+b<0<ab (D)ab<0<a+b

解析:因为a=log0.20.3>log0.21=0,

b=log20.3<log21=0,所以ab<0.

因为=+=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,

1=log0.30.3>log0.30.4>log0.31=0,

所以0<<1,

所以ab<a+b<0.故选B.

类型一　对数的基本运算

1.已知x,y为正实数,则(　D　)

(A)2lg x+lg y=2lg x+2lg y (B)2lg(x+y)=2lg x·2lg y

(C)2lg x·lg y=2lg x+2lg y (D)2lg(xy)=2lg x·2lg y

解析:2lg x+lg y=2lg x·2lg y,选项A错;

2lg x·2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy),选项B错;

令x=10,y=10,则2lg x·lg y=2,

2lg x+2lg y=4,选项C错.故选D.

2.已知函数f(x)=则f(x)的零点为(　A　)

(A)1,2 (B)1,-2

(C)2,-2 (D)1,2,-2

解析:当x<2时,令f(x)=ex-1-1=0,

即ex-1=1,解得x=1满足x<2;

当x≥2时,令f(x)=log3=0,

则=1,即x2=4,得x=-2(舍)或x=2.

因此,函数y=f(x)的零点为1,2,故选A.

3.已知函数f(x)= 则f(-6)+f(log312)=　　　　,满足f(x)>3的x的取值范围是　　　　. 

解析:f(-6)=1+log39=3,

因为log312>log39=2,

所以f(log312)=4;

则f(-6)+f(log312)=7;

当x<2时,1+log3(3-x)>3,解得x<-6,

当x≥2时,3x-1>3,解得x>2,

所以f(x)>3的x的取值范围为(-∞,-6)∪(2,+∞).

答案:7　(-∞,-6)∪(2,+∞)

类型二　对数函数的图象及应用

4.函数y=2log4(1-x)的图象大致是(　C　)

解析:函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;

函数y=2log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.故选C.

5.(2019·嘉兴市、丽水市、衢州市高三模拟测试)函数y=ln(x+)·cos 2x的图象可能是(　D　)

解析:设f(x)=y=ln(x+)·cos 2x,则易得函数的定义域为R,且f(-x)=ln[-x+]·cos 2(-x)=ln[]·cos 2x=-ln(x+)·cos 2x=-f(x),所以函数f(x)=ln(x+)·cos 2x为奇函数,则函数图象关于原点中心对称,排除A,B;f′(x)= ·cos 2x-2ln(x+)·sin 2x=·cos 2x-2ln(x+)·sin 2x,f′(0)=1,即函数f(x)=ln(x+)·cos 2x在原点处的切线的斜率为1,不为0,排除C,故选D.

6.若不等式(x-1)2<logax在x∈(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围是　　　. 

解析:

设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f2(x)=logax图象的下方.

当0<a<1时,显然不成立;

当a>1时,如图所示,

要使x∈(1,2)时,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的图象下方,只需f1(2)≤f2(2),

即(2-1)2≤loga2,即loga2≥1.

所以1<a≤2,即实数a的取值范围是(1,2].

答案:(1,2]

7.已知x1,x2,x3分别为方程2x=x, =log2x, =x的根,则x1,x2,x3的大小关系是　　　　(从小到大排列). 

解析:作出y=2x,y=x,y=,y=log2x的大致图象,由图象知x1<x3<x2.

答案:x1<x3<x2

类型三　对数函数的性质及应用

8.(2019·浙江省教育绿色评估联盟)已知a=,b=,c=,则(　C　)

(A)a>b>c (B)c>a>b

(C)a>c>b (D)c>b>a

解析:因为a==,b=,c==log23,则a>b,又=<3,则log2=<log23,即b<c;构造函数f(x)=log2x-,则f′(x)=-=,因此函数f(x)在区间(0,4()2)上单调递增,在区间 (4()2,+∞)上单调递减,由f(4)=0,知f(3)<0,即 a>c,故选C.

9.函数f(x)=(x2-4x)的单调递减区间是　　　　;单调递增区间是　　　　. 

解析:由x2-4x>0,解得x>4或x<0,即函数定义域为(-∞,0)∪(4,+∞),根据复合函数的单调性知f(x)= (x2-4x)的单调递减区间是(4,+∞),单调递增区间是(-∞,0).

答案:(4,+∞)　(-∞,0)

10.关于函数f(x)=lg (x≠0),有下列结论:

①其图象关于y轴对称;

②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数;

③f(x)的最小值是lg 2;

④f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数.

其中所有正确结论的序号是　　　　. 

解析:因为函数f(-x)=lg =lg=f(x),所以函数为偶函数,即图象关于y轴对称,故①正确.因函数y=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=|x|+在(-∞,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数,在区间(-∞,-1)和(0,1)上是减函数,故②错,④正确.因为=|x|+≥2=2,所以f(x)≥lg 2,即最小值为lg 2,故③正确.

答案:①③④

11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f()=0,则不等式f(x)>0的解集为　　　　. 

解析:因为函数f(x)是偶函数,

所以f(x)=f(|x|),

所以fx)>0⇔f(|x|)>f().

因为f(x)在[0,+∞)上为增函数,

所以|x|>,

即x<-或x>.

因为x=-log8x=-log2x,

所以不等式可转化为log2x>1或log2x<-1,

所以x>2或0<x<.

答案:(0,)∪(2,+∞)

类型四　易错易误辨析

12.若loga<2,则a的取值范围是(　D　)

(A)(0,1) (B)(1,)

(C)(0,1)∪(1,) (D)(0,1)∪(,+∞)

解析:loga<2等价于loga<logaa2,

或

解得0<a<1或a>,

故选D.

13.已知函数f(x)=|ln(x-1)|,满足f(a)>f(4-a),则实数a的取值范围是(　A　)

(A)(1,2) (B)(2,3)

(C)(1,3) (D)(2,4)

解析:函数f(x)=|ln(x-1)|的定义域为(1,+∞),

由f(a)>f(4-a)可得|ln(a-1)|>|ln(4-a-1)|=|ln(3-a)|,两边平方得

[ln(a-1)]2>[ln(3-a)]2

⇔[ln(a-1)-ln(3-a)][ln(a-1)+ln(3-a)]>0,

则①

或②

解①得a无解,解②得1<a<2,

所以实数a的取值范围是(1,2),

故选A.