2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十三章第五节　离散型随机变量及其分布列

第五节　离散型随机变量及其分布列

一、离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.

二、离散型随机变量的分布列及性质

1.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表

称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.

2.离散型随机变量的分布列的性质

(1)pi≥0,i=1,2,…,n.

(2)p1+p2+…+pn=1.

三、相互独立事件

一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立.

四、两点分布

若随机变量X的分布列为

则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.

五、独立重复试验与二项分布

1.独立重复试验

一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

2.二项分布

一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).

此时称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p),并称p为成功概率.

1.概念理解

(1)随机变量是将随机试验的结果数量化.

(2)离散型随机变量的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小,反映了随机变量取值的规律性.

(3)因为一次试验的各种结果是互斥的,而全部结果之和为一个必然事件,所以离散型随机变量的分布列具有性质p1+p2+…+pi+…+pn=1.

(4)由事件A和B同时发生所构成的事件称为事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB).

(5)相互独立的两个事件实质上是一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响.

(6)独立重复试验必须满足三个特征:①每次试验的条件都完全相同,即每次试验事件发生的概率相等;②各次试验互相独立;③每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.

(7)P(X=k)=pk(1-p)n-k恰好是[(1-p)+p]n展开式的第k+1项=(1-p)n-kpk.

(8)独立重复试验的实际原型是有放回的抽样问题,但在实际中,从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,也可以近似地看作此类型.

(9)独立重复试验中的概率公式Pn(k)=pk(1-p)n-k中的p与(1-p)的位置不能互换,否则式子表示为事件A有k次不发生的概率.

2.与独立事件有关的结论

(1)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.

(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A).

(3)事件A,B发生的概率关系如表所示

1.随机变量X的分布列如表:

其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于(　A　)

(A) (B) (C) (D)

2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙、丙去北京旅游的概率分别为,,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内三人同去北京旅游的概率为(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别为,,,且三人的行动相互独立,故三人同去北京旅游的概率为 ××=.故选D.

3.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(<X<)的值为(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为P(X=n)=(n=1,2,3,4),

所以+++=1,所以a=,

所以P(<X<)=P(X=1)+P(X=2)=×+×=.故选D.

4.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X个红球,则随机变量X=1的概率为　　　　. 

解析:P(X=1)===.

答案:

考点一　离散型随机变量分布列的性质及其应用

[例1] 设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1,2,3,4,5).

(1)求a;

(2)求P(X≥).

解:(1)由分布列的性质得,P(X=)+P(X=)+P(X=)+P(X=)+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所以a=.

(2)P(X≥)=P(X=)+P(X=)+P(X=1)

=3×+4×+5×

=.

(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时注意检验,保证每个概率值均为非负数.

(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列及互斥事件的概率加法公式,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可.

　设X是一个离散型随机变量,其分布列为:

则q的值为(　C　)

(A)1 (B)± 

(C)- (D)+

解析:由分布列的性质知

解得q=-.故选C.

考点二　求离散型随机变量的分布列

[例2] 一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4,从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;

(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列.

解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)==.

所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==,

P(X=4)==,

所以随机变量X的分布列是

(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:①理解X的意义,写出X可能取的全部值;②求X取每个值的概率;③写出X的分布列.

(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.

某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问.求:

(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率;

(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.

解:(1)设事件A:选派的3人中恰有2人会法语,则

P(A)==.

(2)依题意知X的取值为0,1,2,3,

P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==,

所以X的分布列为

考点三　独立重复试验与二项分布

[例3] 甲将要参加某决赛,赛前A,B,C,D四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已知A,B选择甲的概率均为m,C,D选择甲的概率均为n(m>n),且四人同时选择甲的概率为,四人均未选择甲的概率为.

(1)求m,n的值;

(2)设四位同学中选择甲的人数为X,求X的分布列和数学期望.

解:(1)由已知可得

解得

(2)X可取0,1,2,3,4.

P(X=0)=,

P(X=1)=××(1-)×(1-)2+(1-)2×××(1-)=,

P(X=2)=××(1-)×××(1-)+()2×(1-)2+(1-)2×()2=,

P(X=3)=××(1-)×()2+()2×××(1-)=,

P(X=4)=.

X的分布列为

E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.2.

二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰有k次发生的概率,其解题一般思路是:根据题意设出随机变量X→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→分析X取每个值对应的k值→将k代入公式求概率.

乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.

(1)求甲以4比1获胜的概率;

(2)求比赛局数的分布列.

解:(1)由已知得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是,

设A={甲以4比1获胜},

则P(A)=()3()4-3·=.

(2)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,

P(X=4)=2·()4=,

P(X=5)=2·()3()4-3·=,

P(X=6)=2·()3()5-3·=,

P(X=7)=2·()3()6-3·=,

比赛局数的分布列为

古典概型与离散型随机变量的分布列

[例题] 某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;

(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.

解:(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.

参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=.

因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为

1-=.①

(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.②

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==.③

所以X的分布列为

④

因此,X的数学期望为

E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)

=1×+2×+3×

=2.⑤

规范要求:步骤①②③④⑤应齐全,能够正确利用计数原理、排列、组合求出概率.

温馨提示:对于“至少”“至多”型问题常考虑利用对立事件概率加法公式求解.

[规范训练] 在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.

(1)求随机变量X的最大值,并求事件“X取得最大值”的概率;

(2)求随机变量X的分布列.

解:(1)由题意知,x,y可能的取值为1,2,3,

则|x-2|≤1,|y-x|≤2,

所以X≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,X=3.

因此,随机变量X的最大值为3.

而有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9(种),

所以P(X=3)=.故随机变量X的最大值为3,事件“X取得最大值”的概率为.

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.

当X=0时,只有x=2,y=2这一种情况,

当X=1时,有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况,

当X=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况.

当X=3时,有x=1,y=3或x=3,y=1两种情况.

所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,

P(X=3)=.

则随机变量X的分布列为

类型一　离散型随机变量

1.已知8件产品中有2件次品,从中任取3件,取到次品的件数为随机变量ξ,那么ξ的可能取值为(　C　)

(A)0,1 (B)1,2 (C)0,1,2 (D)0,1,2,3

解析:因为8件产品中有2件次品,所以从中任取3件,表示取到次品件数的随机变量ξ的可能取值为0,1,2.故选C.

类型二　求概率

2.随机变量X的分布列如下:

其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意知a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.

又因为a+b+c=1,解得b=,

所以P(|X|=1)=a+c=.

故选D.

3.某科研小组共有5名成员,其中男生3名,女生2名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为(　C　)

(A) (B)

(C) (D)以上都不对

解析:所求概率P=1-=.故选C.

4.已知甲袋中有1个黄球和2个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中,然后从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:根据题意,分两种情况讨论:

①从甲袋中取出两个红球,其概率为,此时乙袋中有2个黄球和4个红球,则从乙袋中取出红球的概率为=,则这种情况下的概率为×=,

②从甲袋中取出1个红球和1个黄球,其概率为,此时乙袋中有3个黄球和3个红球,则从乙袋中取出红球的概率为=,则这种情况下的概率为×=,

则从乙袋中取出红球的概率为+=.

故选C.

类型三　分布列

5.若在甲袋内装有8个白球、4个红球,在乙袋内装有6个白球、6个红球,今从两袋里各任意取出1个球,设取出的白球个数为X,则下列概率中等于的是(　C　)

(A)P(X≤1) (B)P(X≤2) (C)P(X=1) (D)P(X=2)

解析:P(X=1)= ,故选C.

6.随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(<X<)的值为(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意知P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,

所以+++=1,

可解得a=,

因为P(<X<)=P(X=1)+P(X=2),

所以P(<X<)=.故选D.

7.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列是　　　　. 

解析:ξ的可能取值为0,1,.

P(ξ=0)==,

P(ξ=)==.

P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=.

答案:

8.生产方提供50箱的一批产品,其中有2箱不合格产品,采购方接收该批产品的准则是:从该批产品中任取5箱产品进行检测,若至多有一箱不合格产品,便接收该批产品,则该批产品被接收的概率是　　　　. 

解析:设“5箱中的不合格品的箱数”为X,

则该批产品被接收的概率是

P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.

答案:

9.某高校一专业在一次自主招生中,对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试,结果如下表:

由于部分数据丢失,只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.

(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率;

(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名,设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X,求随机变量X的分布列.

解:(1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”,

因为语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6+n)名,

所以P(A)== ,

解得n=2,即m=4,

用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”,

所以P(B)=1-=.

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2.

因为20名学生中,语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名,所以P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)== ,

所以X的分布列为