2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第七章第二节　解三角形

第二节　解三角形

正、余弦定理的理解

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式,也就是任意三角形的边角关系.

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当结合其他知识,则使用起来更为方便、灵活.

1.概念理解

与三角形面积相关的公式

△ABC的面积用S表示,外接圆半径用R表示,内切圆半径用r表示,半周长用p表示,则

(1)S=a·ha=…;(2)S=bcsin A=…;

(3)S=2R2sin Asin Bsin C;(4)S=;

(5)S=;

(6)S=pr.

2.三角形中常见的结论

(1)A+B+C=π.

(2)在三角形中大边对大角,反之亦然.

(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

(4)三角形内的诱导公式:sin(A+B)=sin C;

cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;

sin =cos ;cos =sin .

(5)在△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.

(6)在△ABC中,A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.

1.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC等于(　C　)

(A) (B) (C) (D)2

解析:因为A,B,C成等差数列,

所以A+C=2B,

所以B=60°.

又a=1,b=,

所以=,

所以sin A==×=,

所以A=30°,

所以C=90°.

所以S△ABC=×1×=.故选C.

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B等于(　D　)

(A)- (B) (C)-1 (D)1

解析:因为acos A=bsin B,

所以sin Acos A=sin Bsin B,

即sin Acos A-sin2B=0,

所以sin Acos A-(1-cos2B)=0,

所以sin Acos A+cos2B=1.

3.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,若 cos B=,a=10,△ABC的面积为42,则b+的值等于　　　　. 

解析:依题可得sin B=,

又S△ABC=acsin B=42,则c=14.

故b==6,

所以b+=b+=16.

答案:16

4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是　　　　. 

解析:因为c2=(a-b)2+6,

所以c2=a2+b2-2ab+6.①

因为C=,

所以c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab.②

由①②得-ab+6=0,即ab=6.

所以S△ABC=absin C=×6×=.

答案:

5.若AB=2,AC=BC,则S△ABC的最大值为　　　　. 

解析:设BC=x,则AC=x.根据三角形的面积公式,

得S△ABC=·AB·BCsin B=x.①

根据余弦定理,得

cos B===.②

将②代入①,

得S△ABC=x=.

由三角形的三边关系,得

解得2-2<x<2+2,

故当x=2时,S△ABC取得最大值2.

答案:2

考点一　知边的恒等式解三角形

[例1] 在△ABC中,a2+c2-b2=ac.

(1)求角B的大小;

(2)求sin Asin C的最大值.

解:(1)在△ABC中,由已知和余弦定理,

得cos B==,

因为B∈(0,π),

所以B=.

解:(2)在△ABC中,

sin C=sin(A+B)=sin(+)sin A+cos A,

所以sin Asin C=sin A(sin A+cos A)= (sin2A+sin Acos A)

=(+sin 2A)=sin(2A-)+,

因为0<A<,所以0<2A<,

所以-<2A-<,

故当2A-=,

即当A=时,sin Asin C有最大值.

选用正弦定理或余弦定理的原则

(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.

(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角范围的限制.

在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,则∠A=　　　　,△ABC的形状为　　　　. 

解析:因为a,b,c成等比数列,

所以b2=ac.

又a2-c2=ac-bc,所以b2+c2-a2=bc.

在△ABC中,由余弦定理得

cos A===,所以A=60°.

由b2=ac,即a=,

代入a2-c2=ac-bc,整理得(b-c)(b3+c3+cb2)=0,

所以b=c.

所以△ABC为等边三角形.

答案:60°　等边三角形

考点二　知角的恒等式解三角形

[例2] 在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且2cos Acos C(tan Atan C-1)=1.

(1)求B的大小;

(2)若a+c=,b=,求△ABC的面积.

解:(1)由2cos Acos C(tan Atan C-1)=1,

得2cos Acos C(-1)=1,

所以2(sin Asin C-cos Acos C)=1,

所以cos(A+C)=- ,

所以cos B=,

又0<B<π,所以B=.

解:(2)由余弦定理得cos B==,

所以=,

又a+c=,b=,

所以-2ac-3=ac,得ac=,

由题意得sin B=,

所以S△ABC=acsin B=××=.

三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

1.在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,若sin∠BAM=,则sin∠BAC=　　　　. 

解析:在△ABM中,由正弦定理得,

==,

设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

所以a=,

整理得(3a2-2c2)2=0,=,故sin∠BAC==.

答案:

2.△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+

tan C)=tan Atan C.

(1)求证:a,b,c成等比数列;

(2)若a=1,c=2,求△ABC的面积S.

(1)证明:在△ABC中,

由于sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,

所以sin B(+)=·,

因此sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,

所以sin Bsin(A+C)=sin Asin C,

又A+B+C=π,

所以sin(A+C)=sin B,

因此sin2B=sin Asin C,

由正弦定理得b2=ac,故a,b,c成等比数列.

(2)解:因为a=1,c=2,

所以b=,

由余弦定理得cos B===,

因为0<B<π,

所以sin B==,

故△ABC的面积S=acsin B=×1×2×=.

考点三　知边角的恒等式解三角形

[例3] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.

(1)若c=2,C=,且△ABC的面积为,求a,b的值;

(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC的形状.

解:(1)因为c=2,C=,

所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得a2+b2-ab=4.

又因为△ABC的面积为,

所以absin C=,ab=4.

联立得方程组

解得a=2,b=2.

解:(2)由sin C+sin(B-A)=sin 2A,得sin(A+B)+sin(B-A)=2sin A

cos A,

化简得2sin Bcos A=2sin Acos A,

所以cos A·(sin A-sin B)=0,

所以cos A=0或sin A-sin B=0,

当cos A=0时,

因为0<A<π,

所以A=,△ABC为直角三角形;

当sin A-sin B=0时,得sin B=sin A,

由正弦定理得a=b,

所以△ABC为等腰三角形.

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

(1)三角形形状的判断思路:判断三角形的形状,就是利用正、余弦定理等进行代换、转化,寻求边与边或角与角之间的数量关系,从而作出正确判断.

①边与边的关系主要看是否有等边,是否符合勾股定理等;

②角与角的关系主要是看是否有等角,有无直角或钝角等.

(2)判定三角形形状的两种常用途径:

①通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;此时要注意应用A+B+C=π这个结论.

②利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.

在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=10,cos C=,则△ABC面积的最大值为　　　　. 

解析:因为在△ABC中cos C=,所以sin C=,

又由c=10-a-b,可得c2=(10-a-b)2,

则a2+b2-2abcos C=100+a2+b2-20(a+b)+2ab,

整理可得4(a+b)=20+ab,

20+ab≥8,

整理可得3ab-32+80≥0,

解得≥或≤4.

当≥时,当且仅当a=b=时取等号,

此时a+b=>10,与a+b+c=10矛盾;

当≤4时,

S△ABC=absin C=ab≤×16=,

当且仅当a=b=4时取等号.

答案:

2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.

(1)求A;

(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.

解:(1)由余弦定理得,

cos A===-.

又因0<A<π,所以A=.

解:(2)由(1)得sin A=,又由正弦定理及a=,

得S=bcsin A=··asin C=3sin Bsin C,

因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C).

所以当B=C,即B==时,S+3cos Bcos C取得最大值3.

考点四　易错辨析

[例4] 在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B),试判断

△ABC的形状.

解:因为(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),

所以b2[sin(A+B)+sin(A-B)]

=a2[sin(A+B)-sin(A-B)],

所以b2·2sin Acos B=a2·2cos Asin B,

即a2cos Asin B=b2sin Acos B.

法一　由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B,

所以sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,

又sin A·sin B≠0,所以sin Acos A=sin Bcos B,

所以sin 2A=sin 2B.

在△ABC中,0<2A<2π,0<2B<2π,

所以2A=2B或2A=π-2B,

所以A=B或A+B=.

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

法二　由正弦定理、余弦定理得

a2b·=b2a·,

所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),

所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,

所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0,

即a=b或a2+b2=c2.

所以△ABC为等腰或直角三角形.

(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形;

(2)代数运算中两边同除以一个可能为0的式子,导致漏解;

(3)结论表述不规范.

温馨提醒:(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的式子然后判断;注意不要轻易两边同除以一个式子.

(2) 已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解不一定是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,

由于其解不确定,要注重挖掘隐含条件,并可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.

1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题正确的是　　　　(写出所有正确命题的序号). 

①cos C<1-cos B;

②△ABC的面积为S△ABC=··tan A;

③若acos A=ccos C,则△ABC一定为等腰三角形;

④若A是△ABC中的最大角,则△ABC为钝角三角形的充要条件是-1<sin A+cos A<1;

⑤若A=,a=,则b的最大值为2.

解析:对于①,注意到当△ABC是正三角形时,

cos C==1-cos B,因此①不正确;

对于②,注意到当A=时,tan A不存在,此时结论显然不成立,因此②不正确;

对于③,注意到当A=30°,C=60°时,A+C=B=90°,此时有acos A=ccos C成立,但△ABC不是等腰三角形,因此③不正确;

对于④,由△ABC是钝角三角形,A是最大内角得A是钝角,

即90°<A<180°,135°<A+45°<225°,

sin A+cos A=sin(A+45°)∈(-1,1);

反过来,

由-1<sin A+cos A=sin(A+45°)<1得-<sin(A+45°)<,135°<A+45°<225°,

又A是最大的内角,因此60°≤A<180°,

结合135°<A+45°<225°,

所以90°<A<180°,

由此可知④正确;

对于⑤,依题意得

=,==2,得b=2sin B,

b=2sin B的最大值是2(当B=时取得最大值),因此⑤正确.

综上所述,其中正确命题的序号是④⑤.

答案:④⑤

2.(2019·衢州高三检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B=bcos A.若a=4,则△ABC周长的最大值为　　　　. 

解析:由正弦定理==2R,

可将asin B=bcos A,

转化为sin Asin B=sin Bcos A.

又在△ABC中,sin B>0,所以sin A=cos A,

即tan A=.

因为0<A<π,所以A=.

由余弦定理得a2=16=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3()2,

则(b+c)2≤64,即b+c≤8(当且仅当b=c=4时等号成立),

所以△ABC周长=a+b+c=4+b+c≤12,即最大值为12.

答案:12

解三角形

[例题] (2018·北京卷)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=　　　　;的取值范围是　　　　. 

解析:由余弦定理得cos B=,

所以a2+c2-b2=2accos B.

又因为S=(a2+c2-b2),

所以acsin B=×2accos B,

所以tan B=,

所以∠B=.

又因为∠C为钝角,

所以∠C=-∠A>,

所以0<∠A<.

由正弦定理得=

=

=+·.

因为0<tan A<,

所以>,

所以>+×=2,

即>2.

答案:　(2,+∞)

规范要求:①条件“边的平方”一般与余弦定理有关,由S=acsin B,结合余弦定理及已知条件可求得tan B,进而求得∠B.

②由∠C为钝角,根据三角形内角和求得∠A的取值范围.

③结合条件,利用正弦定理完成边角互化.

温馨提示:(1)边角互化是正、余弦定理的本质,结合条件与定理特征,选择相应定理边化角(或角化边)是解三角形的基本过程.

(2)角的转化要与三角形的内在知识相联.

(3)三角函数式的化简要利用三角变换的内在规律.

[规范训练1] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.

(1)求cos A;

(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c.

解:(1)由3cos(B-C)-1=6cos Bcos C得3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=

6cos Bcos C,

3(cos Bcos C-sin Bsin C)=-1,

即cos(B+C)=-,又A+B+C=π,

所以cos A=-cos(B+C)=.

解:(2)由0<A<π及cos A=知sin A=,

又S△ABC=2,

即bcsin A=2,

所以bc=6.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=13,

所以

所以或

[规范训练2] (2019·杭州模拟)设函数f(x)=6cos2x-sin 2x

(x∈R).

(1)求f(x)的最大值及最小正周期;

(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足f(A)=3-2,B=,求的值.

解:(1)由题意得f(x)=2cos(2x+)+3.

故f(x)的最大值为2+3,最小正周期T=π.

解:(2)由f(A)=3-2,

得2cos(2A+)+3=3-2,

故cos(2A+)=-1,

又由0<A<,得<2A+<π+,

故2A+=π,解得A=.

又B=,所以C=.

所以=2cos C=0.

类型一　知边的恒等式解三角形

1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为　　　　. 

解析:由正弦定理可得=2()2-1=2()2-1,

因为3a=2b,所以=.

所以=2×()2-1=.

答案:

类型二　知角的恒等式解三角形

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,A=,sin B=

3sin C,△ABC面积为,则边长a=　. 

解析:由sin B=3sin C得b=3c.①

因为△ABC面积为,

所以S=bcsin A=bcsin =,即bc=3.②

由①和②解得b=3,c=1,

所以a2=b2+c2-2bc·cos A

=32+12-2×3×1×cos

=7,

从而a=.

答案:

类型三　知边角的恒等式解三角形

3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则等于(　B　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:利用正弦定理,将bcos C+ccos B=2b转化为sin Bcos C+

sin Ccos B=2sin B,

得sin(B+C)=2sin B,

则sin A=2sin B,a=2b,

化简得=2.故选B.

4.对于△ABC,有如下四个命题:

①若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形;

②若sin B=cos A,则△ABC是直角三角形;

③若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是钝角三角形;

④若==,则△ABC是等边三角形.

其中正确的命题个数是(　B　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:对于①,若sin 2A=sin 2B,得2A=2B或2A+2B=π,

所以A=B或A+B=,则△ABC为等腰或直角三角形,故①错误;

对于②,若sin B=cos A,则sin B=sin(-A),

所以B=-A,

即A+B=,则△ABC为直角三角形,故②正确;

对于③,若sin2A+sin2B>sin2C,则a2+b2>c2,

所以C为锐角,且不能判断A或B为钝角,故③错误;

对于④,若==,

则==,

所以sin =sin =sin ,

所以==,

所以A=B=C,

所以△ABC是等边三角形,故④正确.故选B.

5.(2019·宁波高三检测)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6, =2cos C,则c等于(　C　)

(A)2 (B)4 (C)2 (D)3

解析:因为=2cos C,

由正弦定理,得sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos C,

所以sin(A+B)=sin C=2sin Ccos C,

由于0<C<π,sin C≠0,

所以cos C=,所以C=,

因为S△ABC=2=absin C=ab,

所以ab=8,

又a+b=6,解得或

c2=a2+b2-2abcos C=4+16-8=12,所以c=2,故选C.

6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C+

cos C=1-sin ,a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.

解:由题意得2sin cos +1-2sin 2=1-sin ,

即sin (2cos -2sin +1)=0,

因为sin ≠0,

所以sin -cos =,

两边平方得sin C=.

又因为sin -cos =,

所以sin >cos ,

所以<<,

所以<C<π,

由sin C=得cos C=-,

由余弦定理得c2=a2+b2-2ab(-),

又a2+b2=4(a+b)-8,

即(a-2)2+(b-2)2=0,

所以a=2,b=2,

所以c2=8+2,

所以c=+1.

类型四　易错易误辨析

7.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,则C等于(　C　)

(A)或 (B) (C) (D)

解析:BC=a=3,AB=c=,

由正弦定理,

得sin C==,

又由a=3,c=,

所以a>c,即A>C,故C为锐角,

所以C=.故选C.