2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十三章第三节　二项式定理

第三节　二项式定理

一、二项式定理

1.二项式定理

(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*),这个公式叫做二项式定理.

2.二项式系数、二项式的通项

在上式中它的右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中各项的系数(k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数,式中的an-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第k+1项:Tk+1=an-kbk.

二、二项式系数的性质

理解辨析

(1)二项展开式形式上的特点:①项数为n+1;②各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数和为n;③字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第1项起,次数由零逐项增1直到n;④二项式的系数从,一直到,.

(2)通项公式Tr+1=an-r·br(n∈N*,0≤r≤n),反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系,可用来求指定的项、指定项的系数、常数项、有理项、系数最大(绝对值最大)的项.

(3)区分二项式系数和该项的系数,二项式系数只与n和r有关,恒为正,而后者是指字母外的部分,还与a,b有关,可正可负.形如(a+bx)n的展开式第r+1项的二项式系数为,项的系数为an-rbr;形如(xp+xq)n的展开式第r+1项的二项式系数为,项的系数为.

(4)(a+b)n与(b+a)n的值虽然相等,但它们展开式中各项的排列顺序是不同的.

(5)通项Tk+1=an-kbk是(a+b)n的展开式的第k+1项,而不是第k项.

1.(2a-3b)7的展开式的第4项的二项式系数为(　A　)

(A) (B)-

(C)·24·33 (D)-·24·33

2.(2019·杭州市4月模拟)二项式(2x-)6的展开式的常数项为(　D　)

(A)20 (B)-20 (C)160 (D)-160

解析:Tr+1=26-r(-1)rx6-2r,当r=3时就是常数项,即为T4=23(-1)3=-160.

故选D.

3.设(1+x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0,a1,a2,…,a8中奇数的个数为(　A　)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

解析:a0==1, a1==8, a2==28, a3==56, a4==70,…,a8==1. 故选A.

4.(1)写出展开式:(1+x)4=　　　　　　　　. 

(2)化简:(x-1)510+(x-1)411+(x-1)312+(x-1)213+(x-1)114+(x-1)015=　　　　. 

答案:(1)1+4x+6x2+4x3+x4　(2)x5

考点一　求二项展开式的特定项或系数

[例1] (1)(x-2y)5的展开式中x2y3的系数是(　　)

(A)-20 (B)-5 (C)5 (D)20

(2)(x-1)(+x)6的展开式中的一次项系数是(　　)

(A)5 (B)14 (C)20 (D)35

(3)(2019·浙江卷)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是　　　　,系数为有理数的项的个数是　　　　. 

解析:(1)由题意可得通项公式Tr+1=(x)5-r(-2y)r=()5-r(-2)rx5-ryr,令r=3,则()5-r(-2)r=×()2×(-2)3=-20.故选A.

(2)(+x)6展开式的通项公式为Tr+1=()6-rxr=x2r-6.令2r-6=0,得r=3.令2r-6=1,此时r无解,故(+x) 6展开式中的常数项为=20,无一次项,

所以(x-1)(+x)6的展开式中的一次项系数为20,故选C.

(3)由二项展开式的通项公式可知Tr+1=·()9-r·xr,r∈N,0≤r≤9,

当为常数项时,r=0,T1=·()9·x0=()9=16.

当项的系数为有理数时,9-r为偶数,

可得r=1,3,5,7,9,即系数为有理数的项的个数是5.

答案:(1)A　(2)C　(3)16　5

(1)求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可.

(2)若求若干个二项式积的某项(系数),则可转化为乘法分配律问题求解.若求三项展开式的某项(系数),则可转化为二项式求解.

1.“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,如图所示是三角形数阵,记an为图中第n行各数之和,则a5+a11的值为(　D　)

(A)528 (B)1 020 (C)1 038 (D)1 040

解析:a5=++++=24=16,

a11=+++…+=210=1 024,

所以a5+a11=1 040,故选D.

2.(2019·天津卷)(2x-)8的展开式中的常数项为　　　　. 

解析:(2x-)8的通项公式为Tr+1=(2x)8-r·(-)r=28-r(-)r·x8-4r.

令8-4r=0,得r=2,所以常数项为T3=26(-)2=28.

答案:28

考点二　二项式系数的性质与各项系数和的问题

[例2] (1)设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么的值为(　　)

(A)- (B)- (C)- (D)-1

(2)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(x+1)++…+a5(x+1)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=　　　　. 

解析:(1)x=1时,1=a0+a1+a2+a3+a4+a5;

x=-1时,35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,

所以a0+a2+a4=122,a1+a3=-120,

所以=-,故选B.

(2)将f(x)=x5进行转化利用二项式定理求解.

f(x)=x5=(1+x-1)5,

它的通项为Tr+1=(1+x)5-r·(-1)r,

T3=(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,所以a3=10.

答案:(1)B　(2)10

赋值法的应用

(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可.

(2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.

(3)若f(x) =a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数(偶次)项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数(奇次)项系数之和为a1+a3+a5+…=.

(2019·金华十校模拟)已知(2+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a8=　　　　,a3=　　　　. 

解析:令x=1时,得a0+a1+…+a8=-3,令x=0时得a0=2,

所以a1+…+a8=-5,求a3就是求x3的系数,

所以a3=2·(-2)3+1·(-2)2=-476.

答案:-5　-476

考点三　二项式定理的应用

[例3] (1)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a等于(　　)

(A)0 (B)1 (C)11 (D)12

(2)(+)n的展开式中,各项系数之和为A,各项的二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项为(　　)

(A)6 (B)9 (C)12 (D)18

思路点拨:(1)512 012分成(52-1)2 012,然后展开;

(2)寻找f[f(x)]的表达式,利用二项式定理求解.

解析:(1)512 012+a=(52-1)2 012+a

=·522 012-·522 011+…+×52×

(-1)2 011+×(-1)2 012+a.

因为522 012-522 011+…+×52×(-1)2 011

能被13整除,且512 012+a能被13整除.

所以(-1)2 012+a=1+a也能被13整除,

所以a可取12.故选D.

(2)由二项展开式的性质,可得A=4n,B=2n,

所以A+B=4n+2n=72,

所以n=3,

因为(+)n展开式的通项为Tr+1=()3-r()r=3r,令=0可得r=1,

常数项为T2=3×=9,故选B.

(1)用二项式定理处理整除或余数问题,通常把底数写成除数(或除数的倍数)与某个数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或前面)的一项或两项即可.

(2)二项式定理的综合问题一般转化为二项式定理解决.

1.若(x2-a)(x+)10的展开式中x6的系数为30,则a等于(　D　)

(A) (B) (C)1 (D)2

解析:依题意,注意到(x+)10的展开式的通项公式是Tr+1= ·x10-r·()r=·x10-2r,(x+)10的展开式中含x4(当r=3时)、x6(当r=2时)项的系数分别为,,因此由题意得-a=120-45a=30,由此解得a=2,选D.

2.S=++…+除以9的余数为　　　　. 

解析:S=227-1=89-1

=(9-1)9-1

=×99-×98+…+×9--1

=9(×98-×97+…+)-2,

因为×98-×97+…+能被9整除,

所以S被9除的余数为7.

答案:7