2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第六章第二节　同角三角函数的基本关系式及诱导公式

第二节　同角三角函数的基本关系式及诱导公式

一、同角三角函数的基本关系式

1.平方关系

sin2α+cos2α=1.

2.商数关系

tan α=.

1.公式理解

(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现弦切互化.

(2)只要是同一个角,基本关系式就成立,不要拘泥于角的形式,如sin2+cos2=1,=tan 3x都成立.

2.与公式应用相关的结论

(1)1的代换:1=sin2α+cos2α=cos2α(1+tan2α)=tan.

(2)弦切互化法:弦切共存的代数式往往利用公式把切化为弦.

(3)和积转换法:因为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,所以对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子可以知一求二,但要注意角的范围.

二、诱导公式

1.公式理解

诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限,“奇”“偶”指的是“k·+α”中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变,若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·+α”中,将α看成锐角时“k·+α”的终边所在的象限.

2.与诱导公式应用相关的知识

诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C,++=等,于是可得sin(A+B)=sin C,cos =sin 等.

1.已知sin(π-α)=log8,且α∈(-,0),则tan(2π-α)的值为(　B　)

(A)- (B)

(C)±(D)

解析:sin(π-α)=sin α=log8=-,

又α∈(-,0),

所以cos α==,

则tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-=.

故选B.

2.已知=5,则sin2α-sin αcos α的值是(　A　)

(A) (B)- (C)-2 (D)2

解析:由=5,

得=5,解得tan α=2.

所以sin2α-sin αcos α=

=

=.

故选A.

3.(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为(　A　)

(A) (B)- (C)- (D)

解析:sin 210°cos 120°=-sin 30°(-cos 60°)

=×

=.

故选A.

4.已知-<x<0,sin x+cos x=,则sin x-cos x=　　　　. 

解析:因为(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=,

所以2sin xcos x=-.

又因为-<x<0,

所以sin x<0,cos x>0.

又因为(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,

所以sin x-cos x=-.

答案:-

考点一　同角三角函数的基本关系

[例1] (1)已知α∈(π,),tan α=2,则cos α=　　　　. 

(2)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=.

①求tan α的值;

②把用tan α表示出来,并求其值.

(1)解析:依题意得

由此解得cos2α=,

又α∈(π,),

因此cos α=-.

答案:-

(2)解:①法一　联立方程

由(*)得cos α=-sin α,

将其代入(**),整理得

25sin2α-5sin α-12=0.

解得sin α=或sin α=-.

因为α是三角形的内角,

所以

所以tan α=-.

法二　因为sin α+cos α=,

所以(sin α+cos α)2=()2,

即1+2sin αcos α=,

所以2sin αcos α=-,

所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=.

因为sin αcos α=-<0且0<α<π,

所以sin α>0,cos α<0,

所以sin α-cos α>0.

所以sin α-cos α=.

由

解得

所以tan α=-.

②==.

因为tan α=-,

所以=

=

=-.

(1)利用和积互换公式时,要注意依据和、差、积的值对角的范围进行确定,必要时要与特殊值比较,进一步优化缩小角的范围.

(2)若某一三角函数值中含有参数,要讨论值的正负,否则会漏根或增根.

(3)对于含有sin α,cos α的齐次式,可根据1的代换化为齐次分式,通过除以某一齐次项,转化为只含有正切的式子,即化弦为切、整体代入.

1.(2019·金华模拟)已知sin α+cos α=,则tan α+的值为(　D　)

(A)-1 (B)-2 (C) (D)2

解析:因为sin α+cos α=,

所以(sin α+cos α)2=2,

所以sin αcos α=.

所以tan α+=+==2.故选D.

2.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,),则sin θ-cos θ的值为　　　　. 

解析:因为(sin θ+cos θ)2=sin2θ+cos2θ+2sin θ·cos θ

=1+2sin θcos θ

=,

所以2sin θcos θ=,

则(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ

=1-

=.

又因为θ∈(0,),所以sin θ<cos θ,

即sin θ-cos θ<0,所以sin θ-cos θ=-.

答案:-

考点二　三角函数的诱导公式

[例2] (1)已知cos α是方程3x2-x-2=0的根,且α是第三象限角,则等于(　　)

(A) (B)- (C)- (D)

(2)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.

(1)解析:方程3x2-x-2=0的根为x1=1,x2=-,

由题知cos α=-,

所以sin α=-,tan α=.

所以原式==tan2α=.故选D.

(2)解:由已知得

①2+②2得sin2A+3cos2A=2,

所以1-cos2A+3cos2 A=2,

所以2cos2A=1,

即cos A=或cos A=-.

当cos A=时,cos B=,

又A,B是三角形的内角,

所以A=,B=,

所以C=π-(A+B)=π.

当cos A=-时,cos B=-,

又A,B是三角形的内角,

所以A=π,B=π,不合题意.

综上可知,A=,B=,C=π.

利用诱导公式化简三角函数的思路和要求

(1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成“单角”三角函数;③整理得最简形式.

(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.

(3)求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小.

1.已知cos(-θ)=a,则cos(+θ)+sin(-θ)的值是　　　　. 

解析:因为cos(+θ)=-cos[π-(+θ)]=-a,

sin(-θ)=sin[+(-θ)]

=cos(-θ)

=a,

所以cos(+θ)+sin(-θ)=-a+a=0.

答案:0

2.在△ABC中,求cos2+cos2的值.

解:在△ABC中,A+B=π-C,

所以=-,

所以cos=cos(-)=sin,

所以cos2+cos2=sin2+cos2=1.

考点三　三角函数的求值

[例3] (1)已知cos(-α)=,则cos(π+α)-sin2(α-)的值是(　　)

(A) (B)-

(C) (D)

(2)=　　　　. 

解析:(1)因为cos(π+α)=cos[π-(-α)]

=-cos(-α)

=-,

而sin2(α-)=1-cos2(α-)=1-=,

所以原式=--=-.

故选B.

(2)原式=

=

=

=

=1.

答案:(1)B　(2)1

(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.

(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.

1.若tan α=,则sin4α-cos4α的值为　　　　. 

解析:因为tan α=,

所以sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)·(sin2α-cos2α)

===-.

答案:-

2.(2018·绍兴一中适应性考试)已知sin α=+cos α,且α∈(0,),则的值为　　　　. 

解析:由sin α=+cos α可得sin α-cos α=,

即sin(α-)=,可得sin(α-)=,

又α∈(0,),则α-∈(-,),

可得cos(α-)==,

则=

=

=-2cos(α-)

=-.

答案:-

考点四　易错辨析

[例4] 已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α=　　　　. 

解析:因为<α<,

所以cos α<0,sin α<0,

且|cos α|<|sin α|,

所以cos α-sin α>0.

因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,

所以cos α-sin α=.

答案:

本题常因不能断定cos α-sin α的符号而致误,所以在利用和积互换公式时,要特别注意对sin α±

cos α,sin αcos α符号的关注,其中sin α-cos α的符号如图所示.

sin α+cos α的符号如图所示.

　已知sin α=,0<α<π,则tan α=　　　　,sin+cos =　　　　. 

解析:因为0<α<π,

所以tan α==±=±=±,

又0<<,

所以sin >0,cos >0,

所以sin +cos =

=

=

=.

答案:±