2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第六章第三节　三角函数的图象与性质

第三节　三角函数的图象与性质

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

1.图象理解

(1)正、余弦函数的图象夹在两条直线y=±1之间,画图时应依据此限制条件;正切函数的图象也是夹在各直线x=kπ+,k∈Z之间,但图象与其不相交,画图时应首先标明这些直线.

(2)画正、余弦曲线时,可先画出一个周期内的图象,再扩展至定义域内.一个周期内的图象可用“五点作图法”绘制.这些点的类型是“起点、终点、顶点、交点”.

2.性质理解

(1)三角函数存在多个单调区间,之间不能用“∪”联结.

(2)三角函数奇偶性的判断与代数函数奇偶性的判断步骤一致:①先看定义域是否关于原点对称;②如果定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,另外三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.

(3)正、余弦函数的对称轴都经过最高点或最低点,而对称中心的横坐标皆为函数的零点,但正切函数的对称中心的横坐标不仅仅是零点.

3.与求三角函数值域相关的结论

(1)利用sin x,cos x的有界性.

(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+)+k的形式,逐步分析ωx+的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(或最值).

(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(或最值)问题.

1.下列关系式中正确的是(　C　)

(A)sin 11°<cos 10°<sin 168°

(B)sin 168°<sin 11°<cos 10°

(C)sin 11°<sin 168°<cos 10°

(D)sin 168°<cos 10°<sin 11°

解析:sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,

cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°.

因为y=sin x在[0°,90°]上是增函数,

所以sin 11°<sin 12°<sin 80°.

即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.

2.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(,)内的图象是(　D　)

解析:y=tan x+sin x-|tan x-sin x|

=

故选D.

3.函数f(x)=-2tan(2x+)的定义域是(　D　)

(A){x|x≠} 

(B){x|x≠-}

(C){x|x≠kπ+(k∈Z)} 

(D){x|x≠+(k∈Z)}

解析:由正切函数的定义域,得2x+≠kπ+,k∈Z,

即x≠+(k∈Z),故选D.

4.(2018·浙江六校联考)函数y=3sin x+cos x,x∈[0, ]的单调递增区间是　　　　. 

解析:化简可得y=2sin(x+),由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),又x∈[0,],所以函数的单调递增区间是[0,].

答案:[0,]

5.给出下列四个命题:

①若cos  α=cos  β,则α-β=2kπ,k∈Z;

②函数y=2cos(2x+)的图象关于x=对称;

③函数y=cos(sin  x)(x∈R)为偶函数;

④函数y=sin |x|是周期函数,且周期为2π.

其中假命题是　　　　.(写出所有符合要求的序号) 

解析:命题①:若α=-β,则cos  α=cos  β,原命题为假命题;命题②:当x=时,cos(2x+)=cos =0,故x=不是y=2cos(2x+)的对称轴;命题④:函数y=sin |x|不是周期函数.

答案:①②④

考点一　三角函数的定义域与值域

[例1] (1)函数y=的定义域为　　　　. 

(2)求函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最大值与最小值.

(1)解析:由题知sin x-cos x≥0.

y=sin x和y=cos x的图象如图所示.

在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为,,结合正弦、余弦函数的周期是2π,

所以原函数的定义域为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}.

答案:{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}

(2)解:令t=sin x,则y=-t2+t+1=-(t-)2+,

因为|x|≤,

所以t∈[-,],

所以当t=时,ymax=,

当t=-时,ymin=.

所以函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最大值为,最小值为.

(1)求三角函数的定义域常借助三角函数线或三角函数图象来求解.

(2)闭区间上值域(或最值)问题,首先要在定义域基础上分析单调性;含参数的值域(或最值)问题,要讨论参数对值域(或最值)的影响.

(3)利用换元法求三角函数值域(或最值)时要注意三角函数的有界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x,则y=(t-2)2+1≥1,解法错误.

1.已知函数f(x)=sin(x+),其中x∈[-,a],若f(x)的值域是[-,1],则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:因为x∈[-,a],

所以x+∈[-,a+],

因为当x+∈[-,]时,f(x)的值域为[-,1],

由函数的图象(图略)知≤a+≤,

所以≤a≤π.

答案:[,π]

2.函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的最小值为　　　　. 

解析:设sin x-cos x=t,则t=sin(x-),

因为x∈[0,π],

所以x-∈[-,],

所以t∈[-1,],sin xcos x=,

所以y=t+=- (t-1)2+1,

当t=-1时,y的最小值为-1.

答案:-1

考点二　三角函数的奇偶性

[例2] 判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=;

(2)f(x)=lg(sin x+).

解:(1)因为2sin x-1≥0,

所以sin x≥,

即x∈[2kπ+,2kπ+](k∈Z),

此区间不关于原点对称.

所以f(x)是非奇非偶函数.

(2)由题意知函数f(x)的定义域为R.

f(-x)=lg[sin(-x)+ ]

=lg(-sin x+)

=lg

=-lg(+sin x)

=-f(x).

所以函数f(x)是奇函数.

判断三角函数的奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数.另外,对较复杂的解析式,可选择先化简再判断,也可直接用-x取代x,再化简判断,还可利用f(-x)±f(x)=0是否成立来判断其奇偶性.

1.函数f(x)=3sin(2x-+),∈(0,π)满足f(|x|)=f(x),则的值为　　　　. 

解析:由题意知f(x)为偶函数,关于y轴对称,

所以f(0)=3sin(-)=±3,

所以-=kπ+,k∈Z,

所以=kπ+,k∈Z,

又∈(0,π),所以=.

答案:

2.关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题:

①对任意的,f(x)都是非奇非偶函数.

②不存在,使f(x)既是奇函数,又是偶函数.

③存在,使f(x)是奇函数.

④对任意的,f(x)都不是偶函数.

其中假命题是　　　　(填序号). 

解析:当=+kπ,k∈Z时,f(x)为偶函数;当=kπ,k∈Z时,f(x)为奇函数.故①④是假命题,③是真命题.无论为何值,f(x)都不能恒等于零,故不存在,使f(x)既是奇函数,又是偶函数.故②是真命题.

答案:①④

考点三　三角函数的图象

[例3] (1)如图所示,函数y=cos x|tan x|(0≤x<且x≠)的图象是(　　)

(2)作出函数y=tan x+|tan x|的图象,并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期.

(1)解析:y=

故选C.

(2)解:y=tan x+|tan x|=

其图象如图所示,

由图象可知,其定义域是(kπ-,kπ+)(k∈Z);

值域是[0,+∞);

单调递增区间是[kπ,kπ+) (k∈Z);

最小正周期T=π.

(1)准确掌握三角函数的图象特征,包括关键点、特征直线、对称性等.

(2)含绝对值的函数要分类讨论,对于正切函数要注意定义域的限制.

1.若函数y=cos(ωx+)(ω∈N*)图象的一个对称中心是(,0),则ω的最小值为(　B　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:由题意知π+=kπ+(k∈Z),

所以ω=6k+2(k∈Z),

又ω∈N*,所以ωmin=2.故选B.

2.已知函数y=2sin x(≤x≤)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形,那么此封闭的图形的面积为　　　　. 

解析:数形结合,如图所示.

y=2sin x,x∈[,]的图象与直线y=2围成的封闭平面图形面积相当于由x=,x=,y=0,y=2围成的矩形面积,即S=(-)×2=4π.

答案:4π

考点四　易错辨析

[例4] 函数y=cos(-x)的单调递增区间为　　　　. 

解析:y=cos(-x)=cos(x-),

由2kπ-π≤x-≤2kπ,k∈Z得

2kπ-π≤x≤2kπ+,k∈Z.

所以原函数的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ+]

(k∈Z).

答案:[2kπ-π,2kπ+](k∈Z)

忽略复合函数的单调性的判定方法,把-x代入区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)导致错误.正确解法除把x的系数由负变正之外,还可以利用余弦函数的减区间求解.

　已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||≤),x=-为f(x)的一个零点,x=为y=f(x)图象的一条对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为　　　　. 

解析:因为x=-为f(x)的一个零点,x=为f(x)图象的一条对称轴,

所以-(-)=+,

即=T=·,

所以ω=2k+1(k∈N),

又因为f(x)在(,)上单调,

所以-=≤=,即ω≤12,

若ω=11,又||≤,则=-,

此时,f(x)=sin(11x-),

f(x)在(,)上单调递增,在(,)上单调递减,不满足条件.

若ω=9,又||≤,则=,

此时,f(x)=sin(9x+),满足f(x)在(,)上单调的条件.

由此得ω的最大值为9.

答案:9

类型一　三角函数的定义域与值域

1.函数y=tan 3x的定义域为(　D　)

(A){x|x≠+3kπ,k∈Z}

(B){x|x≠+kπ,k∈Z}

(C){x|x≠-+kπ,k∈Z}

(D){x|x≠+,k∈Z}

解析:由3x≠+kπ,

得x≠+,k∈Z.故选D.

2.函数y=tan(sin x)的值域为(　C　)

(A)[-,]       (B)[-,]

(C)[-tan 1,tan 1] (D)以上均不对

解析:因为-1≤sin x≤1,

y=tan x在[-1,1]上单调递增,

所以tan(-1)≤y≤tan 1,

即y∈[-tan 1,tan 1].故选C.

3.函数y=(0<x<π)的最小值为　　　　. 

解析:y= (0<x<π)表示A(0,2)与动点B(-sin x,cos x)连线的斜率,

又动点B在以原点为圆心,1为半径的圆上,0<x<π,

所以点B在y轴左侧的半圆上,

当直线AB与圆相切时,直线AB的斜率最小,

即ymin=.

答案:

4.函数y=2sin(x-)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为　　　　. 

解析:因为0≤x≤9,

所以0≤x≤,

所以-≤x-≤,

所以-≤sin(x-)≤1,

即-≤2sin(x-)≤2.

所以其最大值为2,最小值为-,故最大值与最小值之和为2-.

答案:2-

类型二　三角函数的奇偶性、单调性、周期性

5.函数y=cos 2x的递减区间是(　C　)

(A)(kπ-,kπ)(k∈Z)

(B)(kπ-,kπ+)(k∈Z)

(C)(kπ-,kπ)(k∈Z)

(D)(kπ,kπ+)(k∈Z)

解析:y=cos 2x的递减区间为cos 2x的递增区间,同时注意cos 2x>0,

所以2kπ-<2x<2kπ(k∈Z),

解得kπ-<x<kπ(k∈Z).

故选C.

6.(2019·衢州高三模拟)若将函数f(x)=sin(ωx+)的图象向右平移个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称,则ω的最小正值是　　　　. 

解析:若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称,

则平移的距离最小为,

所以≤,即Tmax=,

所以当T=时,ωmin===3.

答案:3

7.已知函数f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命题:

①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;

②f(x)的最小正周期是2π;

③f(x)在区间[-,]上是增函数;

④f(x)的图象关于直线x=对称.

其中真命题是　　　　(填真命题的序号). 

解析:f(x)=sin 2x, 当x1=0,x2=时,f(x1)=-f(x2),但x1≠-x2,故①是假命题;f(x)的最小正周期为π,故②是假命题;当x∈[-,]时,2x∈[-,],故③是真命题;因为f()=sin =-,故f(x)的图象关于直线x=对称,故④是真命题.

答案:③④

类型三　三角函数的图象

8.函数y=sin x2的图象是(　D　)

解析:函数y=sin x2为偶函数,排除A,C;

又当x=时函数取得最大值,排除B.故选D.

9.方程x2=cos x的实根个数是　　　　. 

解析:在同一直角坐标系中画出y=x2和y=cos x的大致图象,

观察交点的个数为2.

答案:2