2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第四章第四节　函数与方程

第四节　函数与方程

函数的零点

1.概念理解

(1)从“数”的角度看:即是使f(x)=0的实数x;

(2)从“形”的角度看:即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标;

(3)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切,则零点x0通常称为不变号零点;

(4)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相交,则零点x0通常称为变号零点.

2.与零点存在性定理相关的知识

(1)零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,不能判断不变号零点.所以在判断一个函数在某个区间内不存在零点时,不能完全依赖函数的零点存在性定理,要结合函数性质进行分析判断.

(2)f(a)·f(b)<0与函数f(x)存在零点的关系

①若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.

②由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图,f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.

③若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a,b]上只有一个零点.

1.函数y=log2x+-1的零点个数是(　B　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:据题意在同一坐标系内分别作出y=log2x,y=1-的图象,如图所示,观察图象可知共有1个交点,等价于函数y=log2x-1+有1个零点.故选B.

2.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是(　B　)

(A)(-2,-1) (B)(-1,0)

(C)(0,1) (D)(1,2)

解析:易知f(x)=2x+3x在R上是增函数.

而f(-2)=2-2-6<0,

f(-1)=2-1-3<0,f(0)=20=1>0,

所以f(-1)·f(0)<0,

故函数f(x)在区间(-1,0)上有零点.

3.(2018·绍兴市柯桥区高三上期末考试)已知x0是函数f(x)=e-x+的零点,若x1∈(0,x0),x2∈(x0,2),则(　C　)

(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0

(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0

解析:x0是f(x)=e-x+的零点等价于x0是e-x=-的解,画函数y=e-x与y=-(y>0)的图象.

由图象知x1∈(0,x0)时,>-,f(x1)>0;

x2∈(x0,2),<-,f(x2)<0.故选C.

4.已知函数f(x)=ln x+2x-6的零点位于区间(m-1,m),m∈Z上,则+log3m等于(　D　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:因为f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,

所以f(x)=ln x+2x-6的零点x0∈(2,3),

f(x)=ln x+2x-6在定义域(0,+∞)上单调递增,

f(x)=ln x+2x-6存在唯一的零点x0∈(2,3),

则整数m=3,

所以+log3m=3+1=4.

故选D.

5.设x0是方程10-x=lg x的解,且x0∈(k,k+1)(k∈Z),则k=　　　　. 

解析:令F(x)=10-x-lg x,

则F(9)=10-9-lg 9>0,F(10)=-1<0,

所以x0∈(9,10),k=9.

答案:9

考点一　函数零点所在区间的确定

[例1] (1)设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)(　　)

(A)在区间(,1),(1,e)内均有零点

(B)在区间(,1),(1,e)内均无零点

(C)在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点

(D)在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点

(2)函数f(x)=logax+x-b(2<a<3<b<4)的零点所在的一个区间是(　　)

(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)

解析:(1)

令f(x)=0得x=ln x.作出函数y=x和y=ln x的图象,如图,显然y=f(x)在(,1)内无零点,在(1,e)内有零点.

故选D.

(2)因为f(1)=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<0,f(3)=loga3+3-b>0,所以函数f(x)=logax+x-b(2 <a<3<b<4)的零点所在的一个区间是(2,3),故选C.

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数的零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.

(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

1.已知函数f(x)=ln x-()x-2的零点为x0,则x0所在的区间是(　C　)

(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)

解析:因为f(x)=ln x-()x-2在(0,+∞)上是增函数,

又f(1)=ln 1-()-1=ln 1-2<0,

f(2)=ln 2-()0=ln 2-1<0,

f(3)=ln 3->0.

故f(x)的零点x0∈(2,3).

故选C.

2.已知函数f(x)=存在唯一的负数零点,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:当a<0时,而x<a时,f(x)max<3a<0,则零点在右段函数取得,

故x≥a时,f(x)min=f()=3-=0,

解得a=-2或a=2(舍);

当a=0时,不成立;当a>0时,负零点在左段函数取得,

于是x≥a时,f(x)min=f(a)=3>0,成立.

综上所述,实数a的取值范围是{a|a=-2或a>0}.

答案:{a|a=-2或a>0}

考点二　函数零点及个数的确定

[例2] (1)已知函数f(x)=则下列关于函数y=f[f(kx)+1]+1(k≠0)的零点个数的判断正确的是(　　)

(A)当k>0时,有3个零点;当k<0时,有4个零点

(B)当k>0时,有4个零点;当k<0时,有3个零点

(C)无论k为何值,均有3个零点

(D)无论k为何值,均有4个零点

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x-10),且当0≤x<10时,f(x)=x3-2x,则函数f(x)在区间[0,2 018]上的零点个数为(　　)

(A)403 (B)402 (C)401 (D)201

解析:(1)令f(x)=-1,得x=0或x=,

则有f(kx)=-1或f(kx)=-1.

当k>0时,

①若x≤0,则kx≤0,ekx-2=-1或ekx-2=-1,

kx=0或kx=ln(1+),

解得x=0或x= (舍去);

②若x>0,则kx>0,ln(kx)=-1或ln(kx)=-1,

解得kx=或kx=,x=或x=,均满足.

所以,当k>0时,零点有3个;同理讨论可得,k<0时,

零点有3个.

所以,无论k为何值,均有3个零点.

故选C.

(2)由f(x)满足f(x)=f(x-10)知函数f(x)是以10为周期的周期函数,且f(1)<0,f(2)>0,

故函数f(x)=x3-2x在(1,2)内存在一个零点,f(8)>0,f(9)>0,f(10)<0,

故函数f(x)=x3-2x在(9,10)内存在一个零点,故函数在一个周期内存在两个零点,在区间[0,2 018]内存在402+1=403个零点.故选A.

判断函数y=f(x)零点个数的常用方法

(1)直接法.令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数.

(2)零点存在性定理法.判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数.

(3)数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题.(画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数)

1.已知函数f(x)= 则函数y=f(x)的零点个数是(　C　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:f(x)=0时,得或

解得x=-1或x=1.故选C.

2.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当 x∈[-1,0]时,f(x)=x2,函数g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,g(x)=lg x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点的个数是(　B　)

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

解析:由于f(x-1)=f(x+1),

所以函数y=f(x)的周期为2,

由h(x)=0,得出f(x)=g(x),

问题转化为函数y=f(x)与函数y=g(x)图象的交点个数,作出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图所示,

由图象可知,0≤f(x)≤1,当x>10时,g(x)=lg x>1,

则函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在(10,+∞)上没有交点,

结合图象可知,函数y=f(x)与函数y=g(x)图象共有10个交点,

故选B.

考点三　函数零点的应用

[例3] 已知函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数.若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是(　　)

(A)[-1,-)∪(,]

(B)(-1,-]∪[,)

(C)[-,-)∪(,1]

(D)(-,-]∪[,1)

解析:当0≤x<1时,f(x)=x,又f(x+1)=(x+1)-[x+1]=x-[x]=f(x),故函数f(x)是以1为周期的周期函数.在同一坐标系中,分别作出函数y=f(x),y=kx+k的图象(过定点(-1,0)),可知当方程f(x)=kx+k有三个不同的实根时,k满足或

解得≤k<或-1<k≤-.故选B.

函数零点应用问题的常见类型及解题策略

(1)已知函数零点求参数.根据函数零点或方程的根求解参数应分三步:①判断函数的单调性;②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组);③解不等式(组),即得参数的取值范围.

(2)已知函数零点的个数求参数,常利用数形结合法.

(3)借助函数零点比较大小.要比较f(a)与f(b)的大小,通常先比较f(a)f(b)与0的大小.

若f(x)为奇函数,且x0是y=f(x)-ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点(　A　)

(A)y=f(x)ex+1 (B)y=f(-x)e-x-1

(C)y=f(x)ex-1 (D)y=f(-x)ex+1

解析:f(x0)=,f(-x0)=-f(x0)=-,

所以f(-x0)+1=-+1=0.故选A.

考点四　易错辨析(作图不准确)

[例4] 已知以T=4为周期的函数f(x)=

若方程f(x)=mx恰有5个实数解,则正实数m的取值范围为　　　　. 

解析:因为当x∈[-1,1]时,将函数y=化为方程x2+y2=1(y≥0),其图象为半圆如图所示,同时在坐标系中作出当x∈(1,3]的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象如图,将y=mx代入(x-4)2+y2=1得(1+m2)x2-8x+15=0,令Δ=64-60(1+m2)>0,得m2<.即-<m<,当x=6时,6m>1,m>,由图可知所求正实数m的取值范围为(,).

答案:(,)

本例对图象的要求较高

(1)函数f(x)的图象中既有曲线,又有折线,画圆时注意自变量的取值范围,画折线时注意分类讨论,然后利用周期性得出函数在定义域中的图象.

(2)根据零点个数画直线y=mx时,要判定直线与半圆的位置关系,同时还需确定与折线顶点的位置关系,这也是容易遗漏的方面.

1.规定一种运算:a⊗b=a2+2ab-b2,设函数f(x)=x⊗2.且关于x的方程f(x)=lg|x+2|(x≠-2)恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值是(　D　)

(A)-4 (B)4 (C)8 (D)-8

解析:由题意函数f(x)=x2+4x-4,由于函数y=f(x)、函数y=lg|x+2|的大致图象均关于直线x=-2对称,故四个根之和为-8.故选D.

2.(2019·宁波市北仓中学高三模拟)设f(x)= ,g(x)=ax+5-2a(a>0),若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,则a的取值范围是(　A　)

(A)[,4] (B)[4,+∞)

(C)(0,] (D)[,+∞)

解析:当x1∈[0,1]时,f(x1)∈[0,1];当x0∈[0,1]时,g(x0)∈[5-2a,5-a].因为对于任意x1∈[0,1],总存在 x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,所以可知[0,1]⊆[5-2a,5-a],即解得≤a≤4,故选A.

零点个数的判定

[例题] (2015·广东卷)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).

(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;

(2)讨论f(x)的单调性;

(3)当a≥2时,讨论f(x)+在区间(0,+∞)内的零点个数.

解:(1)f(0)≤1⇔a2+|a|-a(a-1)≤1⇔|a|+a≤1⇔a≤,所以a的取值范围是(-∞,].

(2)f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1)

=

=

所以f(x)在(-∞,a]内单调递减,在[a,+∞)内单调递增.

(3)由(2)知f(x)min=f(a)=a-a2.

①当a=2时,f(x)min=f(2)=-2,

f(x)=

②f(x)在(0,2)上单调递减,

所以f(x)>f(2)=-2.

而g(x)=-在(0,2)上单调递增,

所以g(x)<g(2)=-2,

所以f(x)与g(x)在(0,2)上无交点.

当x≥2时,f(x)=x2-3x.

③f(x)+=0,即x3-3x2+4=0,

整理得(x-2)2(x+1)=0.

又x≥2,所以x=2.

所以当a=2时,f(x)+有一个零点x=2.

当a>2时,f(x)min=f(a)=a-a2<0.

当x∈(0,a)时,f(0)=2a>4,f(a)=a-a2,

而g(x)=-在(0,a)上单调递增.

当x=a时,g(a)=-.

④又a-a2-(-)

=<0,

所以f(a)=a-a2<-,

如图,易得当a>2时,

f(x)与g(x)=-有两个交点.

综上,当a=2时,f(x)+有一个零点x=2;当a>2时,f(x)+有两个零点.

规范要求:(1)第①步决定了分类讨论的标准,标准的起因可根据两个函数y=f(x),g(x)=-的图象的位置分析得出.

(2)第②步结合图象可知,图象不能精确地判定当x∈(2,+∞)时,两个图象交点的个数,但较易观察得出当x∈(0,2)时无交点,所以再次分类讨论,首先用数据说明当x∈(0,2)时无交点.

(3)第③步解方程说明两图象只有一个交点,即函数只有一个零点.

(4)第④步利用作差法比较当x=a时两个函数值的大小,从而确定零点存在与否,并结合函数图象确定零点的个数.

温馨提示:(1)解决复杂函数的零点个数问题的基本思想是化归与数形结合.

(2)含参数的函数问题要习惯于分类讨论,能准确捕捉讨论的起点,分类的标准,且最后要作出总结归纳.

[规范训练] (2018·宁波镇海中学高三上期中考试)设函数f(x)=|x-a|-+a,a∈R,若关于x的方程f(x)=2有且仅有三个不同的实数根,且它们成等差数列,则实数a的取值构成的集合为　　　　. 

解析:f(x)=|x-a|-+a=

由x-=2,解得x=-1或x=3,

当a≤-1时,x≥a时f(x)=2的两个根为-1和3,

因为方程f(x)=2有且仅有三个不同的实数根,且它们成等差数列,所以另一个根为-5,

即-5<a且5++2a=2,解得a=-;

当-1<a≤3时,x<a时f(x)=2有两根,

设为x1,x2,x≥a时f(x)=2有一根为3,且有x1+3=2x2,-x-+2a=2,

即x2-(2a-2)x+3=0的两根为x1,x2.

有x1+x2=2a-2,x1x2=3,解得a=,

因为-1<a≤3,所以a=;

当a>3时,f(x)=2最多有两个根,不符合题意.

综上实数a的取值构成的集合为{-,}.

答案:{-, }

类型一　函数零点所在区间的确定

1.函数f(x)=ln x+x3-8的零点所在的区间为(　B　)

(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)

解析:因为函数f(x)=ln x+x3-8是连续不断的函数,

又f(1)=0+1-8<0,f(2)=ln 2+8-8>0,

即f(1)·f(2)<0,

所以函数f(x)=ln x+x3-8的零点所在的区间为(1,2),

故选B.

类型二　函数零点及个数的确定

2.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=则方程f(x)-g(x)=0在区间[-5,5]上的解的个数为(　C　)

(A)5 (B)7 (C)8 (D)10

解析:依题意得,函数f(x)是以2为周期的函数,在同一坐标系下画出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象,结合图象得,当x∈[-5,5]时,它们的图象的交点共有8个,即方程 f(x)-g(x)=0在区间[-5,5]上的解的个数为8.故选C.

3.若方程x2-1=存在3个实数根,则实数a的取值范围是(　D　)

(A)[-2,0)∪(0,] (B)[-2,0)∪(0,)

(C)(-2,0)∪(0,] (D)(-2,0)∪(0,)

解析:当x=1时,可知等式成立,

即x=1为方程的1个实数根,

当x>1时,x2-1=可化为a=x(x+1),

当x<1且x≠0时,x2-1=可化为a=-x(x+1),x≠0,

令f(x)=

则只需y=f(x)与y=a有两个交点.

f(x)图象如图所示.

当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,f(x)max=f(-)=,

所以当a∈(-2,0)∪(0,)时,y=f(x)与y=a的图象有两个交点.

综上所述:当a∈(-2,0)∪(0,)时,x2-1=存在3个实数根,故选D.

类型三　函数零点的应用

4.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　C　)

(A)(1,3) (B)(1,2) (C)(0,3) (D)(0,2)

解析:因为y=2x在区间(1,2)单调递增,y=-在区间(1,2)单调递增,所以函数f(x)=2x--a在区间(1,2)有一个零点,只需f(1)·f(2)<0,

即(-a)(3-a)<0,解得0<a<3.故选C.

5.(2019·杭州市期末检测)若函数f(x)=+-a(a≠0)存在零点,则a的取值范围是　　　　. 

解析:函数f(x)= +-a(a≠0)存在零点等价于方程+=a有解,显然有a>0,

因为()2+()2=2a,

则不妨设=cos θ,

=sin θ,θ∈[0,],

所以+=a等价于cos θ+sin θ=

2sin(θ+)=a,

因为θ∈[0,],

所以θ+∈[,],

则2sin(θ+)∈[,2],

则要使方程cos θ+sin θ=2sin(θ+)=a有解,

则≤a≤2,

结合a>0,解得2≤a≤4,即实数a的取值范围为[2,4].

答案:[2,4]

类型四　易错辨析

6.已知单调函数f(x)的定义域为(0,+∞),对于定义域内任意x,f[f(x)-log2x]=3,则函数g(x)=f(x)+x-7的零点所在的区间为(　C　)

(A)(1,2) (B)(2,3) (C)(3,4) (D)(4,5)

解析:根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,

则f(x)-log2x为定值,设t=f(x)-log2x,

则f(x)=log2x+t,

又由f(t)=3,

所以f(t)=log2t+t=3,

所以t=2,

所以f(x)=log2x+2,

所以g(x)=log2x+x-5,

因为g(1)<0,g(2)<0,g(3)<0,g(4)>0,g(5)>0,

所以零点所在的区间为(3,4).

故选C.

7.已知关于x的方程xln x=ax+1(a∈R),下列说法正确的是(　B　)

(A)有两个不等实根 (B)只有一个正根

(C)无实数根 (D)不能确定

解析:由xln x=ax+1(a∈R)知x>0,

所以ln x=a+,

作出函数y1=ln x与y2=a+的图象(图略),易知选B.