2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第六章第一节　任意角、弧度制、任意角的三角函数

第一节　任意角、弧度制、任意角的三角函数

一、角的有关概念

1.角的形成

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

2.3.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}.

1.概念理解

(1)角的取值范围是任意大小的正角、负角和零角.

(2)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°的角,是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二类、第三类是区间角,其次,“小于90°的角”不等同于“锐角”,“锐角”不等同于“第一象限角”,锐角为{α|0°<α<90°},第一象限角为{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z},小于90°的角包括锐角、负角、零角.

2.与终边相同角的表示相关的结论

(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍.

(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.

(3)角的集合表示形式不是唯一的.

二、弧度制

1.定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.

2.公式

3.规定

正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.

1.概念理解

(1)用弧度数表示的角与弧长、半径的大小无关,而是取决于两者的比值.

(2)扇形的面积公式S=l·r可类比三角形的面积公式(底边长与对应高的乘积的一半)来记忆.

2.与度量制相关的知识

在同一个式子中角度制和弧度制不能混用.如与终边相同的角,不能表示为{α|α=2kπ+60°,k∈Z},应表示为{α|α=2kπ+,k∈Z}或{α|α=k·360°+60°,k∈Z}.

三、任意角的三角函数

1.定义

设角α终边与单位圆交于P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0).

2.三角函数值在各象限内符号为正的口诀

一全正,二正弦,三正切,四余弦.

3.几何表示

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).

如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.

与三角函数定义的应用求值相关的结论

(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.

(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若所给的终边是射线,三角函数值只有一种情况;若所给的终边是直线,注意要讨论两种情况,避免漏解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.

(3)若角α终边上的点的坐标中含有参数,要讨论参数的各种情况,以确定角α终边所在的象限,进一步正确得出各个三角函数值.

1.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则点Q的坐标为(　A　)

(A)(-,) (B)(-,-)

(C)(-,-) (D)(-,)

解析:由三角函数定义可知点Q的坐标(x,y)满足x=cos=-,y=sin=.故选A.

2.若<α<2π,则直线+=1必不经过(　B　)

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

解析:判断cos α>0,sin α<0,数形结合可知选B.

3.若α是第二象限的角,则下列结论一定成立的是(　C　)

(A)sin >0 (B)cos >0

(C)tan >0 (D)sin cos <0

解析:因为+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,

所以+kπ<<+kπ,k∈Z.

当k为偶数时,是第一象限角;

当k为奇数时,是第三象限角.

即tan >0一定成立,故选C.

4.如图所示,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　C　)

解析:因为P0(,-),所以∠P0Ox=-.

按逆时针运动时间t后,得∠POP0=t,∠POx=t-.

由三角函数定义,知点P的纵坐标为2sin(t-),

因此d=2|sin(t-)|.

令t=0,则d=2|sin(-)|=,

当t=时,d=0,故选C.

考点一　象限角及终边相同的角

[例1] (1)设集合M=,N=,则两集合的关系为(　　)

(A)M=N (B)MN

(C)NM (D)M∩N=

(2)已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),则角α的集合为　　　　; 

(3)已知角α是第一象限角,则2α,的终边分别在　　　　　　　　　　　　　　. 

解析: (1)由于M=={…,-45°,45°,135°,225°,…},

N=={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有MN.

故选B.

(2)在0°～360°范围内,终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}∪{α|270°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}

={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z}∪

{α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z}

={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}.

(3)因为2kπ<α<2kπ+,k∈Z,

所以4kπ<2α<4kπ+π,k∈Z,

kπ<<kπ+,k∈Z.

所以2α的终边在第一或第二象限或y轴非负半轴上,的终边在第一或第三象限.

答案:(1)B

(2){α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}

(3)第一或第二象限或y轴非负半轴上,第一或第三象限

(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

(2)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α所在的象限.

(3)角α与所在象限的关系:

如图所示,若α为第一象限角,则为第一、三象限角,其终边所在位置即图中Ⅰ区域.

1.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ的终边所在的象限是(　B　)

(A)第一象限 (B)第二象限 

(C)第三象限 (D)第四象限

解析:因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,

所以sin θcos θ<0,2cos θ<0,

即

所以θ为第二象限角,

故选B.

2.(2019·浙南联盟考)若α是第三象限角,则y=+的值为(　A　)

(A)0 (B)2 

(C)-2 (D)2或-2

解析:由于α是第三象限角,所以是第二或第四象限角,

当是第二象限角时,

y=+=1-1=0;

当是第四象限角时,y=+=-1+1=0.故选A.

考点二　扇形的弧长、面积公式

[例2] 已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.

(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;

(2)若扇形的周长是一定值C,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?

解:(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则

α=60°=rad,R=10 cm,l=×10=(cm),

S弓=S扇-S三角形=××10-×102×sin

=π-=50(-)(cm2).

(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR,所以R=,

所以S扇=α·R2=α·()2

=α·

=·≤.

当且仅当α2=4,即α=2 rad时,扇形面积有最大值.

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.

若扇形的圆心角是α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l等于(　B　)

(A)π cm (B)π cm

(C)4 cm (D)8 cm

解析:

设扇形的半径为r cm,如图.

由sin 60°=,得r=4,

所以l=|α|·r=×4=

π(cm).故选B.

考点三　三角函数的定义的应用

[例3] 已知角α的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sin α=,求cos α,tan α的值.

解:由题设知x=-,y=m,

所以r2=|OP|2=(-)2+m2(O为原点),

r=.

所以sin α===,

所以r==2,

即3+m2=8,

解得m=±.

当m=时,r=2,x=-,y=,

所以cos α==-,

tan α=-;

当m=-时,r=2,x=-,y=-,

所以cos α==-,

tan α=.

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意“在终边上任取一点”应分为两种情况(点所在象限不同)进行分析.

1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ等于(　B　)

(A)- (B)- (C) (D)

解析:取终边上一点(a,2a)(a≠0),

根据任意角的三角函数定义,可得cos θ=±,

故cos 2θ=2cos2θ-1=-.故选B.

2.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=　　　　. 

解析:|OP|=,根据任意角三角函数的定义可得=-,可知y<0,解得y=-8.

答案:-8

考点四　易错辨析

[例4]如图所示,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为(　　)

解析:

圆半径为1,设弧长x所对的圆心角为α,则α=x,如图所示,

cos =1-t,

即cos =1-t,

则y=cos x=2cos2-1=2(1-t)2-1

=2(t-1)2-1(0≤t≤1).

其图象为以t=1为对称轴、开口向上、在[0,1]上的一段抛物线.故选B.

(1)不理解题意,运动变化的观念淡薄.近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导,一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式,运用三角知识考查分析问题、解决问题的能力.

(2)没有抓住不变量:α=x,cos=1-t.三角定义掌握与应用不熟练.

(3)求解二次函数图象时易忽略t的范围.

如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为(　C　)

解析:

如图,取AP的中点为D,

连接OD.

设∠DOA=θ,

则d=2sin θ,l=2θ,

故d=2sin.故选C.