2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第六章第六节　两角和与差的三角函数

第六节　两角和与差的三角函数

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1.两角和与差的余弦公式

cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, 

cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 

2.两角和与差的正弦公式

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, 

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. 

3.两角和与差的正切公式

tan(α+β)=,

tan(α-β)=.

1.公式理解

两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点如下:C(α±β)同名相乘,符号反;S(α±β)异名相乘,符号同;T(α±β)分子同,分母反.

2.公式的常用变式

(1)和(差)与积互换公式tan α±tan β= tan(α±β)(1∓tan αtan β),tan αtan β=1-=-1.涉及tan α±tan β与tan α·tan β问题可利用两角和与差的正切及以上变形公式求解.

(2)辅助角公式:asin α+bcos α=sin(α+)(中sin =,cos =)一般形式有sin x+cos x=sin(x+)=cos(x-),sin x+cos x=2sin(x+)=2cos(x-),sin x±cos x=2sin(x±).

3.与三角变换相关的结论

三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称,其方法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.

1.sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°的值是(　C　)

(A) (B) (C)- (D)-

解析:sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°

=-(cos 34°cos 26°-sin 34°sin 26°)

=-cos(34°+26°)

=-cos 60°

=-.

2.已知tan(α-)=,tan(+β)= ,则tan(α+β)的值为(　D　)

(A) (B) (C) (D)1

解析:tan(α+β)=tan[(α-)+(+β)]

=

=

=1.

3.的值是(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:原式=

=

=

=.故选C.

4.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=　　　　. 

解析:因为tan (20°+40°)=,

所以-tan 20°tan 40°=tan 20°+tan 40°,

即tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=.

答案:

5.设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c=,则a,b,c按从小到大的顺序排列为　　　　. 

解析:a=sin 14°+cos 14°=sin 59°,b=sin 16°+cos 16°=sin 61°,c==sin 60°,

因为59°<60°<61°,

所以sin 59°<sin 60°<sin 61°,所以a<c<b.

答案:a<c<b

考点一　两角和与差公式的基本应用

[例1] 已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=,

(1)求A的值;

(2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈(0,),求f(-θ).

解:(1)由f()=,得Asin =,

又sin =,

所以A=.

解: (2)由(1)得f(x)=sin(x+),

由f(θ)+f(-θ)=,

得sin(θ+)+sin(-θ+)=,

化简得cos θ=,

因为θ∈(0,),

所以sin θ===,

故f(-θ)=sin(-θ+)

=sin θ

=×

=.

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.

1.已知角α为锐角,若sin(α-)=,则cos(α-)等于(　A　)

(A) (B)

(C) (D)

解析:由于角α为锐角,且sin(α-)=,

则cos(α-)=,

则cos(α-)=cos[(α-)-]

=cos(α-)cos +sin(α-)sin

=×+×=,故选A.

2.设θ为第二象限角,若tan(θ+)=,则sin θ+cos θ=　　　. 

解析:由θ在第二象限,且tan(θ+)=,

因而sin(θ+)=-,

因而sin θ+cos θ=sin(θ+)=-.

答案:-

考点二　两角和与差公式的逆用与变形应用

[例2] [2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·=　　　　. 

解析:原式=[2sin 50°+sin 10°(1+)]·sin 80°

=(2sin 50°+sin 10°·)·　cos 10°

=[2sin 50°cos 10°+2sin 10°(cos 10°+sin 10°)]

=2[sin 50°cos 10°+sin 10°cos(60°-10°)]

=2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)

=2sin(50°+10°)

=2sin 60°=2×=.

答案:

运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.

若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β )的值是　　　　. 

解析:-1=tan =tan(α+β)=,

所以tan αtan β-1=tan α+tan β.

所以1-tan α-tan β+tan αtan β=2,

即(1-tan α)(1-tan β)=2.

答案:2

考点三　角的变换

[例3] 已知α,β均为锐角,且sin α=,sin(α-β)=-,

(1)求cos β的值;

(2)求sin(α-2β)的值.

解:(1)因为α,β∈(0,),

所以-<α-β<,

因为sin(α-β)=-,

所以cos(α-β)=,

因为α为锐角,且sin α=,

所以cos α=.

所以cos β=cos [α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

=×+×(-)

=.

解: (2)因为sin(α-β)=-,cos(α-β)=,

cos β=,sin β=.

所以sin(α-2β)=sin [(α-β)-β]

=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β

=(-)×-×

=-.

(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.

(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

(3)常见的配角技巧:α=2·;α=(α+β)-β;α=β-(β-α);α=

[(α+β)+(α-β)];β=[(α+β)-(α-β)]; +α=-(-α).

1.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为　　　　. 

解析:因为α为锐角且cos(α+)=>0,

所以α+∈(,),

所以sin(α+)=.

所以sin(2α+)=sin[2(α+)-]

=sin 2(α+)cos -cos 2(α+)·sin

=sin(α+)cos(α+)-[2cos2(α+)-1]

=××-[2×()2-1]

=-

=.

答案:

2.已知α∈(,π),β∈(,π),且sin +cos =,sin(α-β)=-,则cos β的值为　　　　. 

解析:因为sin +cos =,

两边同时平方,得sin α=.

又<α<π,所以cos α=-.

又因为<β<π,

所以-π<-β<-,

故-<α-β<.

又sin(α-β)=-,得cos(α-β)=.

cos β=cos[α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

=-×+×(-)

=-.

答案:-

考点四　易错辨析

[例4] 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为　　　　. 

解析:因为tan α=tan[(α-β)+β]

=

==>0,

所以0<α<.

又tan 2α===>0,

所以0<2α<.

所以tan(2α-β)===1.

因为tan β=-<0,

所以<β<π,-π<2α-β<0.

所以2α-β=-.

答案:-

解决此类给值求角问题,防止增解的方法有两种,一是缩小角的范围,尽量缩至一个象限内;二是求合理的三角函数值,若角在第一、二象限,宜求余弦,若角在第一、四象限,宜求正弦.

1.(2019·嘉兴高三检测)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则α,β, 的大小关系是(　B　)

(A)α<<β (B)β<<α

(C)<α<β (D)<β<α

解析:因为α为锐角,sin α-cos α=>0,

所以<α<.

又tan α+tan β+tan αtan β=,

所以tan(α+β)== ,

所以α+β=,又α>,

所以β<<α.故选B.

2.已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=-,则2α+β=　　　. 

解析:因为sin α=,α∈(0,),

所以cos α=,

因为cos(α+β)=- ,α+β∈(0,π),

所以sin(α+β)= ,

所以sin(2α+β)=sin [α+(α+β)]

=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)

=×(-)+×=0.

又2α+β∈(0,),所以2α+β=π.

答案:π

类型一　两角和与差公式的基本应用

1.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β的值为　　　　. 

解析:因为cos(α+β)=,

所以cos αcos β-sin αsin β=.①

因为cos(α-β)=,

所以cos αcos β+sin αsin β=.②

①+②得cos αcos β=.

②-①得sin αsin β=.

所以tan αtan β==.

答案:

2.已知cos(+θ)cos(-θ)=,则sin4θ+cos4θ的值为　　　　. 

解析:因为cos(+θ)cos(-θ)

=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ)

=(cos2θ-sin2θ)

=cos 2θ=,

所以cos 2θ=.

故sin4θ+cos4θ=()2+()2=+=.

答案:

类型二　两角和与差公式的逆用与变形应用

3.已知sin x-sin y=-,cos x-cos y=,且x,y为锐角,则tan(x-y)等于(　B　)

(A)     (B)-

(C)±     (D)±

解析:因为sin x-sin y=-,x,y为锐角,

所以-<x-y<0,

又

①2+②2,

得2-2sin xsin y-2cos xcos y=(-)2+()2,

即2-2cos(x-y)=,得cos(x-y)=,

又-<x-y<0,

所以sin(x-y)=-

=-

=-,

所以tan(x-y)==-.故选B.

4.已知sin β=msin(2α+β),且tan(α+β)=3tan α,则实数m的值为(　B　)

(A)2 (B) (C)3 (D)

解析:因为sin β=msin(2α+β),

所以sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α],

即sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

=m[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α],

也即(1-m)sin(α+β)·cos α=(1+m)cos(α+β)sin α,

所以==3,

所以m=.故选B.

类型三　角的变换

5.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β等于(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:依题意有sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= ,

又0<β<α<,所以0<α-β<,

故cos(α-β)= =,

而cos α=,所以sin α=,

于是sin β=sin [α-(α-β)]

=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)

=×-×

=.

故β=.

6.在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为(　B　)

(A)- (B) (C) (D)-

解析:由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得

=-1,

即tan(A+B)=-1,

所以在△ABC中,A+B=,

则C=,cos C=.