高中7.3.3 余弦函数的性质与图修优秀导学案

这是一份高中7.3.3 余弦函数的性质与图修优秀导学案，共9页。







1.余弦函数的图像


把正弦函数y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2)个单位长度就得到余弦函数y＝cs x的图像，该图像称为余弦曲线．





2.余弦函数的性质


3.余弦型函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝eq \f(2π,ω).


思考：在[0,2π]上画余弦函数图像的五个关键点是什么？


[提示] 画余弦曲线的五个关键点分别是(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，0))，(2π，1)．





1.用“五点法”作函数y＝cs 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是( )


A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2πB．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π


C．0，π，2π，3π，4πD．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)


B [令2x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)和2π，得x＝0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π，故选B．]


2.使cs x＝1－m有意义的m的值为( )


A．m≥0B．0≤m≤2


C．－11


B [∵－1≤cs x≤1，∴－1≤1－m≤1，


解得0≤m≤2.故选B．]


3.比较大小：(1)cs 15°________cs 35°；


(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))________cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4))).


(1)>(2)< [(1)∵y＝cs x在[0°，180°]上为减函数，并且0°<15°<35°<180°，


所以cs 15°>cs 35°.


(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝cs eq \f(π,3)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝cs eq \f(π,4)，


并且y＝cs x在x∈[0，π]上为减函数，


又∵0

∴cs eq \f(π,4)>cs eq \f(π,3)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))




【例1】 用“五点法”作函数y＝2＋cs x，x∈[0,2π]的简图．


[思路探究] 在[0,2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．


[解] 列表：


描点连线，如图








1.“五点法”是作三角函数图像的常用方法，“五点”即函数图像最高点、最低点、与x轴的交点．


2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．








1.用“五点法”作函数y＝3－2cs x，x∈[0,2π]的简图．


[解] 按五个关键点列表、描点画出图像(如图)．





【例2】 求函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递减区间．


[思路探究] 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))化为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))形式，故只需求y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的单调递减区间即可．


[解] y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，


令z＝x－eq \f(π,6)，则y＝cs z，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，


∴2kπ≤x－eq \f(π,6)≤2kπ＋π，k∈Z，


∴2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(7,6)π，k∈Z.


故函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递减区间为[2kπ＋eq \f(π,6)，2kπ＋eq \f(7,6)π]，k∈Z.





1.求形如y＝Acs(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．


2.具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．








2.求函数y＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))的单调递增区间．


[解] y＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))))).结合y＝|cs x|的图像．由kπ－eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,4)≤kπ(k∈Z)得kπ－eq \f(π,4)≤x≤kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．所以函数y＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))的单调递增区间为[kπ－eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(π,4)](k∈Z).


【例3】 已知函数y1＝a－bcs x的最大值是eq \f(3,2)，最小值是－eq \f(1,2)，求函数y＝－4asin 3bx的最大值．


[思路探究] 欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解．


[解] ∵函数y1的最大值是eq \f(3,2)，最小值是－eq \f(1,2)，


当b>0时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\f(3,2)，,a－b＝－\f(1,2)，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝1.))


当b<0时，由题意得


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝\f(3,2)，,a＋b＝－\f(1,2)，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝－1.))


因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x.


函数的最大值均为2.





1.对于求形如y＝acs x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cs x的范围．


2.求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．








3.函数y＝sin2x＋cs xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)≤x≤\f(π,4)))的值域为________．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(2),2))) [设cs x＝t，因为－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，


所以y＝1－cs2x＋cs x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，


故当t＝eq \f(\r(2),2)，即x＝±eq \f(π,4)时，y的最大值为eq \f(1＋\r(2),2)；


当t＝1，即x＝0时，y的最小值为1.


所以函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(2),2))).]


[探究问题]


1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？


[提示] 正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．


2.正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？


[提示] 正弦曲线的对称中心坐标为(kπ，0)，(k∈Z)，其对称轴方程为x＝eq \f(π,2)＋kπ，(k∈Z)．


余弦曲线的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ，(k∈Z)．


3.如何求y＝Acs(ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？


[提示] 只需令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)即可求得其对称中心的横坐标．


令ωx＋φ＝kπ，可求得其对称轴方程．


【例4】 已知函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3))).


(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；


(2)把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值．


[解](1)令2x＋eq \f(2π,3)＝kπ，k∈Z，


解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z.


令k＝0，x＝－eq \f(π,3)；令k＝1，x＝eq \f(π,6).


∴函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝eq \f(π,6).


(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，


则f(x)＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x－φ＋\f(2π,3)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)－2φ)).


∵y＝f(x)的图像关于原点(0,0)对称，


∴f(0)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2φ))＝0.


∴eq \f(2π,3)－2φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.


解得φ＝eq \f(π,12)－eq \f(kπ,2)(k∈Z)．


令k＝0，得φ＝eq \f(π,12).


∴φ的最小正值是eq \f(π,12).





关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：


1fx＝Asinωx＋φ或Acsωx＋φ的图像关于x＝x0对称⇔fx0＝A或－A.


2fx＝Asinωx＋φ或Acsωx＋φ的图像关于点x0，0中心对称⇔fx0＝0.








4．把函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)))的图像向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值．


[解] 由题意平移后的函数为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)－φ))，它是偶函数，因此，当x＝0时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－φ))取得最大值为1或最小值为－1，故eq \f(4π,3)－φ＝2nπ或(2n＋1)π(n∈Z)，即eq \f(4π,3)－φ＝kπ(k∈Z)．


∴φ＝eq \f(4π,3)－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值eq \f(π,3).





1.余弦曲线和正弦曲线的关系





2.余弦函数周期性的释疑


余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.


3.余弦函数的奇偶性


(1)余弦函数是偶函数，反映在图像上，余弦曲线关于y轴对称．


(2)余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．


4．余弦函数单调性的说明


(1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．


(2)求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．


(3)确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．


5．余弦函数最值的释疑


(1)明确余弦函数的有界性，即|cs x|≤1.


(2)对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．


(3)形如y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acs z的形式最值.





1.下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是( )


A．y＝sin eq \f(x,2) B．y＝sin 2x


C．y＝cs eq \f(x,4)D．y＝cs 4x


D [∵T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,2)，∴ω＝4.]


2.函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2 019,2)π))是( )


A．奇函数B．偶函数


C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数


B [∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2 019,2)π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)＋1 009π))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－cs x，∴函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2 019,2)π))是偶函数．]


3.函数y＝cs(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间是___________．


[0，π] [y＝cs(－x)＝cs x，其单调递减区间为[0，π]．]


4．用五点法作出函数y＝1－cs x(0≤x≤2π)的简图．


[解] 列表：


描点连线，如图．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acs(ωx＋φ)的图像．(重点)


2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点)
1.通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．


2.借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.
函数
y＝cs x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，递增；


当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减
最大值与


最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；


当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
用“五点法”作余弦型函数的图像
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
cs x
1
0
－1
0
1
y＝2＋cs x
3
2
1
2
3
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
y＝3－2cs x
1
3
5
3
1
求余弦型函数的单调区间
有关三角函数的最值问题
正、余弦函数的对称性
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
cs x
1
0
－1
0
1
y＝1－cs x
0
1
2
1
0