高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.3 倍角公式优秀同步达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.3 倍角公式优秀同步达标检测题，共5页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1. sin 105°cs 105°的值为( )


A．eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4)


C．eq \f(\r(3),4) D．－eq \f(\r(3),4)


B [sin105°cs 105°＝eq \f(1,2)sin210°＝eq \f(1,2)sin(180°＋30°)


＝－eq \f(1,2)sin30°＝－eq \f(1,4).]


2.若tan α＝3，则eq \f(sin 2α,cs2α)＝( )


A．2 B．3


C．4 D．6


D [eq \f(sin 2α,cs2α)＝eq \f(2sin αcs α,cs2α)＝eq \f(2sin α,cs α)＝2tanα＝6.]


3.设f(tan x)＝tan 2x，则f(2)的值等于( )


A．eq \f(4,5)B．－eq \f(4,3)


C．－eq \f(2,3)D．4


B [∵f(tan x)＝eq \f(2tan x,1－tan2x)，∴f(2)＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3).


∴故选B．]


4.eq \r(,1＋cs 100°)－eq \r(,1－cs 100°)等于( )


A．－2cs 5°B．2cs 5°


C．－2sin 5°D．2sin 5°


C [原式＝eq \r(,2cs250°)－eq \r(,2sin250°)


＝eq \r(,2)(cs 50°－sin 50°)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)cs 50°－\f(\r(,2),2)sin 50°))


＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.]


5．已知等腰三角形底角的正弦值为eq \f(\r(5),3)，则顶角的正弦值是( )


A．eq \f(4\r(5),9) B．eq \f(2\r(5),9)


C．－eq \f(4\r(5),9) D．－eq \f(2\r(5),9)


A [设底角为θ，则θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝eq \f(\r(5),3)，∴cs θ＝eq \r(1－sin2θ)＝eq \f(2,3).


∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcs θ＝2×eq \f(\r(5),3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(5),9).]


6．下列关于函数f(x)＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的说法错误的是( )


A．最小正周期为π


B．最大值为1，最小值为－1


C．函数图像关于直线x＝0对称


D．函数图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称


C [函数f(x)＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))


＝sin 2x，函数的最小正周期T＝π， A正确．


最大值为1，最小值为－1，B正确．


由2x＝kπ＋eq \f(π,2)⇒x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，得函数图像关于直线x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z对称，C不正确．


由2x＝kπ⇒x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，得函数图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z对称，D正确．]


二、填空题


7．函数f(x)＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))－1的最小正周期为________．


π [f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝sin 2x，故f(x)的最小正周期为π.]


8．计算eq \f(tan75°,1－tan275°)＝________.


－eq \f(\r(3),6) [eq \f(tan75°,1－tan275°)＝eq \f(1,2)·eq \f(2tan75°,1－tan275°)＝eq \f(1,2)tan150°


＝－eq \f(1,2)tan30°＝－eq \f(\r(3),6).]


9．求函数f(x)＝cs 2x＋4sin x的值域是________．


[－5,3] [f(x)＝cs 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3.


当sin x＝1时，f(x)max＝3；当sin x＝－1时，f(x)min


＝－5.]


三、解答题


10．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(,2),10)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).


求：(1)cs α－sin α的值；


(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))的值．


[解](1)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(,2),10)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴eq \f(\r(,2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α＋sin α))＝eq \f(\r(,2),10)，


cs α＋sin α＝eq \f(1,5)平方化简可得sin 2α＝－eq \f(24,25)，


又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴sin α＞0，cs α＜0，cs α－sin α＝－eq \r(,cs α－sin α2)


＝－eq \r(,1－sin 2α)＝－eq \f(7,5)


(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cs 2α－eq \f(\r(,3),2)sin 2α


＝eq \f(1,2)(cs α＋sin α)(cs α－sin α)－eq \f(\r(,3),2)sin 2α＝eq \f(24\r(,3)－7,50).]


[等级过关练]


1.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则eq \f(1＋tan2θ,1－tan2θ)等于( )


A．eq \f(25,24)B．±eq \f(25,24)


C．eq \f(24,25)D．±eq \f(24,25)


B [∵eq \f(1＋tan2θ,1－tan2θ)＝eq \f(\f(cs 2θ＋sin2θ,cs 2θ),\f(cs 2θ－sin2θ,cs 2θ))＝eq \f(1,cs 2θ)，


由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，


得eq \f(\r(2),2)(sin θ－cs θ)＝eq \f(3,5)，两边平方得：sin 2θ＝eq \f(7,25)，


∴cs 2θ＝±eq \f(24,25).∴原式＝eq \f(1,±\f(24,25))＝±eq \f(25,24)，故选B．]


2.4cs 50°－tan 40°等于( )


A．eq \r(2) B．eq \f(\r(2)＋\r(3),2)


C．eq \r(3) D．2eq \r(2)－1


C [4cs 50°－tan 40°＝eq \f(4sin 40°cs 40°－sin 40°,cs 40°)


＝eq \f(2sin 80°－sin 40°,cs 40°)＝eq \f(2sin50°＋30°－sin40°,cs 40°)


＝eq \f(\r(3)sin 50°＋cs 50°－sin 40°,cs 40°)＝eq \f(\r(3)sin 50°,cs 40°)＝eq \r(3).]


3.函数y＝sin 2x＋2eq \r(3)sin2x的最小正周期T为________．


π [∵y＝sin 2x＋eq \r(3)(1－cs 2x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \r(3)，∴周期T＝π.]


4．已知tan eq \f(θ,2)＝3，则eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)＝________.


3 [eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)＝eq \f(2sin2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cs \f(θ,2),2cs2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cs \f(θ,2))


＝eq \f(2sin\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)＋cs \f(θ,2))),2cs \f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)＋sin\f(θ,2))))＝tan eq \f(θ,2)＝3.]


5．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x－cs 2x＋2eq \r(3)·sin xcs x.


(1)化简f(x)；


(2)若f(α)＝eq \f(1,7)，2α是第一象限角，求sin 2α.


[解](1)f(x)＝eq \f(1,2)cs 2x－eq \f(\r(3),2)sin 2x－cs 2x＋eq \r(3)sin 2x


＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).


(2)f(α)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＝eq \f(1,7)，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，


∴2kπ－eq \f(π,6)＜2α－eq \f(π,6)＜eq \f(π,3)＋2kπ，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＝eq \f(4\r(3),7)，


∴sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))sin eq \f(π,6)


＝eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)＝eq \f(5\r(3),14).