高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦优秀课后复习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦优秀课后复习题，共7页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.计算cs 8°cs 38°＋sin8°sin38°等于( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(,2),2) C．eq \f(\r(,3),2) D．－eq \f(\r(,3),2)


C [逆用两角差的余弦公式，得cs 8°cs 38°＋sin8°sin38°＝cs(8°－38°)＝cs(－30°)＝cs 30°＝eq \f(\r(,3),2).]


2.已知sin α＝eq \f(1,3)，α是第二象限角，则cs(α－60°)为( )


A．eq \f(－\r(3)－2\r(2),\r(2)) B．eq \f(\r(3)－2\r(2),6)


C．eq \f(\r(3)＋2\r(2),6) D．eq \f(－\r(3)＋2\r(2),6)


B [因为sin α＝eq \f(1,3)，α是第二象限角，所以cs α＝－eq \f(2\r(2),3)，故cs(α－60°)＝cs αcs 60°＋sin αsin 60°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)))×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(－2\r(2)＋\r(3),6).]


3.满足cs αcs β＝eq \f(\r(3),2)－sin αsin β的一组α，β的值是( )


A．α＝eq \f(13,12)π，β＝eq \f(3,4)πB．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,3)


C．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,6)D．α＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,4)


B [由条件cs αcs β＝eq \f(\r(,3),2)－sin αsin β得cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(,3),2)，即cs(α－β)＝eq \f(\r(,3),2)， α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,3)满足题意．]


4．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(5,13)，0＜θ＜eq \f(π,3)，则cs θ等于( )


A．eq \f(5\r(,3)＋12,26) B．eq \f(12－5\r(,3),13)


C．eq \f(5＋12\r(,3),26) D．eq \f(6＋5\r(,3),13)


A [因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，


所以θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(12,13).


故cs θ＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))－\f(π,6)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cseq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sineq \f(π,6)


＝eq \f(5,13)×eq \f(\r(,3),2)＋eq \f(12,13)×eq \f(1,2)＝eq \f(5\r(,3)＋12,26).]


5．若sin x＋sin y＝eq \f(\r(,2),2)，cs x＋cs y＝eq \f(\r(,6),2)，则sin(x＋y)等于( )


A．eq \f(\r(,3),2) B．eq \f(\r(,2),2)


C．eq \f(\r(,6),2) D．1


A [由sin x＋sin y＝eq \f(\r(,2),2)，得sin2x＋sin2y＋2sin xsin y＝eq \f(1,2)，①


由cs x＋cs y＝eq \f(\r(,6),2)，得cs2x＋cs2y＋2cs xcs y＝eq \f(3,2)，②


两式相加得：cs(x－y)＝0.


②－①得：cs 2x＋2cs(x＋y)＋cs 2y＝2cs(x＋y)＋2cs(x＋y)cs(x－y)＝2cs(x＋y)＝1，


∴cs(x＋y)＝eq \f(1,2)，则x＋y＝2kπ±eq \f(π,3)，


验证x＋y＝2kπ－eq \f(π,3)不成立，∴x＋y＝2kπ＋eq \f(π,3)，


则sin(x＋y)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(,3),2).故选A．]


6．下列关于函数f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))cs(－x)－sin x＋eq \f(π,4)sinx的性质叙述错误的是( )


A．最小正周期为π


B．函数图像关于直线x＝eq \f(3π,8)对称


C．函数图像关于直线x＝－eq \f(π,8)对称


D．函数图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称


D [函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))cs(－x)－sinx＋eq \f(π,4)·sinx＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))cs(－x)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))sin(－x)＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，所以函数的最小正周期是π，由2x＋eq \f(π,4)＝kπ， k∈Z，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)， k∈Z，所以函数图像关于直线x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)， k∈Z，对称，故选项B、C都正确．由2x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)， k∈Z，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)， k∈Z，所以函数图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,8)，0))对称，其中，k∈Z，故选项D不正确．所以选D．]


二、填空题


7．计算cs(α＋120°) cs α－sin(α＋120°)sin(－α)＝________.


－eq \f(1,2) [法一：cs(α＋120°)cs α－sin(α＋120°)sin(－α)＝cs(α＋120°)cs(－α)－sin(α＋120°)sin(－α)


＝cs [(α＋120°)＋(－α)]＝cs 120°＝－eq \f(1,2).


法二：cs(α＋120°) cs α－sin(α＋120°)sin(－α)＝cs(α＋120°) cs α＋sin(α＋120°)sin α


＝cs [(α＋120°)－α]＝cs 120°＝－eq \f(1,2).]


8．已知向量a＝(cs α，sin α)，b＝(cs β，sin β)，若a与b的夹角为eq \f(π,3)，则cs(α－β)＝________.


eq \f(1,2) [因为a＝(cs α，sin α)，b＝(cs β，sin β)，


所以|a|＝|b|＝1，


又因为a与b的夹角为eq \f(π,3)，


所以a·b＝|a||b|cseq \f(π,3)＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).


又a·b＝(cs α，sin α)·(cs β，sin β)


＝cs αcs β＋sin αsin β＝cs(α－β)，


所以cs(α－β)＝eq \f(1,2).]


9．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为eq \f(3,5)，点B的横坐标为eq \f(5,13)，则cs(α－β)＝________.





eq \f(56,65) [由三角函数的定义可得，sin α＝eq \f(3,5)，cs β＝eq \f(5,13)，


∴cs α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(12,13).


∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＋eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(56,65).]


三、解答题


10．已知cs(α－β)＝－eq \f(4,5)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，eq \f(π,2)<α－β<π，eq \f(3π,2)<α＋β<2π，求β的值．


[解] ∵ eq \f(π,2)<α－β<π，cs(α－β)＝－eq \f(4,5)，


∴sin(α－β)＝eq \f(3,5).


∵eq \f(3,2)π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，∴cs(α＋β)＝eq \f(4,5).


∴cs 2β＝cs [(α＋β)－(α－β)]＝cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(3,5)＝－1.


∵eq \f(π,2)<α－β<π，eq \f(3π,2)<α＋β<2π，∴eq \f(π,2)<2β

[等级过关练]


1.若sin αsin β＝1，则cs(α－β)的值为( )


A．0 B．1


C．±1 D．－1


B [因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝1，,sin β＝1)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－1，,sin β＝－1，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝0，,cs β＝0，)) 于是cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝1.]


2.已知cs α＝eq \f(3,5)，cs(α－β)＝eq \f(7\r(,2),10)，且0＜β＜α＜eq \f(π,2)，那么β＝( )


A．eq \f(π,12) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)


C [cs β＝cs[α－(α－β)]


＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)，由已知cs α＝eq \f(3,5)，


cs(α－β)＝eq \f(7\r(,2),10)，0＜β＜α＜eq \f(π,2)，可知sin α＝eq \f(4,5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(,2),10)，代入上式得cs β＝eq \f(3,5)×eq \f(7\r(,2),10)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(,2),10)＝eq \f(25\r(,2),50)＝eq \f(\r(,2),2)，所以β＝eq \f(π,4).]


3.已知sin α＝－eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))，cs β＝－eq \f(4,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cs(α－β)＝________.


eq \f(8\r(,2)－3,15) [因为sin α＝－eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))，


所以cs α＝－eq \r(,1－sin2α)＝－eq \f(2\r(,2),3)，


又cs β＝－eq \f(4,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


所以sin β＝eq \r(,1－cs2β)＝eq \f(3,5)，


所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β


＝－eq \f(2\r(,2),3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(8\r(,2)－3,15).]


4．已知△ABC中，sin A＝eq \f(4,5)，cs B＝－eq \f(12,13)，则cs(A－B)＝________.


－eq \f(16,65) [因为cs B＝－eq \f(12,13)，且0

所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))eq \s\up12(2))＝eq \f(5,13)，


且0

所以cs(A－B)＝cs Acs B＋sin Asin B＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝－eq \f(16,65).]


5．(1)把向量eq \(OP,\s\up8(→))＝(x，y)绕原点顺时针方向旋转角α，得到向量eq \(OQ,\s\up8(→))＝(x′，y′)，用x，y及角α的三角函数表示x′.


(2)利用(1)的结论解答下面的问题：


如图点B(2,0)，半圆上动点A，求等边三角形ABC(逆时针方向排列)的顶点C的横坐标的取值范围．





[解](1)设eq \(OP,\s\up8(→))的模为r，eq \(OP,\s\up8(→))在角θ的终边上，则x＝rcs θ，y＝rsin θ，由题意可得eq \(OQ,\s\up8(→))在角θ－α的终边上，且eq \(OQ,\s\up8(→))的模也是r，


由三角函数的定义可得x′＝rcs(θ－α)＝rcs θcs α＋rsin θsin α＝xcs α＋ysin α.


即x′＝xcs α＋ysin α.


(2)设点C(x1，y1)，因为动点A在半圆上，


所以设点A(cs θ，sin θ)，0°≤θ≤180°，


则向量eq \(BA,\s\up8(→))的坐标为(cs θ－2，sin θ)，


向量eq \(BC,\s\up8(→))的坐标为(x1－2，y1)，


由已知可得向量eq \(BA,\s\up8(→))绕点B顺时针方向旋转60°得到向量eq \(BC,\s\up8(→)).


所以由(1)的结论得x1－2＝(cs θ－2)cs 60°＋sin θsin 60°


＝eq \f(1,2)cs θ＋eq \f(\r(,3),2)sin θ－1＝cs(θ－60°)－1，


所以x1＝1＋cs(θ－60°)，


因为0°≤θ≤180°，


所以－60°≤θ－60°≤120°，


所以－eq \f(1,2)≤cs(θ－60°)≤1，


所以x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).