人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式学案

8．2.3　倍角公式

[课程目标] 1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．

2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式并能运用这些公式进行简单的恒等变换．

[填一填]

1．倍角公式

sin2α＝2sinαcosα，(S2α)

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(C2α)

tan2α＝.(T2α)

上面三组公式，称作倍角公式．

2．倍角公式的推导

在公式Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β中，分别令β＝α，得

sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；

cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；

tan2α＝tan(α＋α)＝＝.

即sin2α＝2sinαcosα，简记为S2α；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，简记为C2α；

tan2α＝，简记为T2α.

[答一答]

1．应用倍角公式应注意哪些问题？

提示：(1)在S2α、C2α中，α是任意角．

(2)在T2α中，α≠kπ＋，且α≠＋(k∈Z)时公式成立(因为α＝＋kπ(k∈Z)时，tanα的值不存在；当α＝＋(k∈Z)时，tan2α的值不存在)．当α＝＋kπ(k∈Z)时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的．这时求tan2α的值可以利用诱导公式，即tan2α＝tan2＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0.

(3)倍角公式是和角公式的特例，且在一般情况下，sin2α≠2sinα，如sin≠2sin，当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα成立，同样，在一般情况下，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.

(4)倍角公式不仅可运用于2α是α的2倍角的情况，还可以运用于诸如4α作为2α的2倍，α作为的2倍，3α作为的2倍，α＋β作为的2倍的情况等等．要熟练地利用倍角公式，必须熟悉什么样的两个角成2倍关系，例如：

sin＝2sincos，

cos＝cos2－sin2.

2．倍角公式有哪些方面的应用？

提示：(1)有了二倍角的三角函数公式，就可以用单角的三角函数来表示二倍角的三角函数．

(2)有了二倍角的三角函数公式，可以对某些类似的式子进行化简求值(角)、证明三角函数式．

(3)要熟悉这组公式的逆用．如

sin3αcos3α＝sin6α，

4sincos＝2·＝2sin，

＝tan2α，

cos22α－sin22α＝cos4α.

3．二倍角公式有哪些常见的变形形式？

提示：升幂公式：①1＋cosα＝2cos2，

1－cosα＝2sin2，

1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，

1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.

降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，

(sinα±cosα)2＝1±sin2α.

类型一　　给角求值问题

[例1]　求下列各式的值：

(1)sincos；(2)1－2sin2750°；

(3)；(4)－.

[解]　(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1 500°

＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.

(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)

＝－tan60°＝－.

(4)原式＝

＝

＝

＝＝4.

根据三角函数式的特征，经过适当变形，同时变换出特殊角，进而利用公式，获得三角函数式的值，在变形中一定要从整体上考虑式子的特征.

[变式训练1]　利用倍角公式求下列各式的值：

(1)sincos；(2)cos2－sin2；

(3)－sin2；(4).

解：(1)原式＝×2sincos

＝×sin＝×＝；

(2)原式＝cos＝cos＝；

(3)原式＝＝cos＝×＝；

(4)原式＝tan(2×15°)＝tan30°＝.

类型二　给值求值问题

[例2]　(1)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，求cos2α；

(2)已知sin·sin＝，α∈，求sin4α.

[解]　(1)由sinα＋cosα＝两边平方可得1＋sin2α＝，sin2α＝－.∵α是第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴cosα－sinα＝

－＝－＝－，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝×＝－.

(2)方法1：因为sin·sin

＝sincos＝，

所以sin＝，即cos2α＝.

因为α∈，则2α∈(π，2π)，

所以sin2α＝－＝－，

于是sin4α＝2sin2αcos2α＝－.

方法2：由条件得(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝，

即(cos2α－sin2α)＝，所以cos2α＝.

由2α∈(π，2π)得sin2α＝－，

所以sin4α＝－.

对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“已知角”.若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论.应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要掌握拆角、拼角等技巧.

[变式训练2]　已知x∈，sin＝－，求cos2x的值．

解：方法一：由已知条件得cosx－sinx＝－，

将此式两边平方得2sinxcosx＝，

由此可得(cosx＋sinx)2＝.

因为x∈，所以sinx>0，cosx>0，

所以cosx＋sinx＝.

故cos2x＝cos2x－sin2x＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)

＝×＝－.

方法二：cos2x＝sin

＝2sincos，

因为sin＝－，x∈，

所以－x∈，cos＝，

故cos2x＝2××＝－.

类型三　　三角函数式的化简

 [例3]　(1)化简.

(2)已知π<α<π，化简＋

.

[解]　(1)方法一：原式＝

＝

＝＝＝1.

方法二：原式＝

＝

＝＝＝1.

(2)∵π<α<π，∴<<π，

∴＝＝－cos，

＝＝sin.

∴＋

＝＋

＝＋

＝－cos.

1对于三角函数式的化简有下面的要求：,①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数.,2化简的方法：,①弦切互化，异名化同名，异角化同角.,②降幂或升幂.,③一个重要结论：sinθ±cosθ2＝1±sin2θ.

 [变式训练3]　化简：cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos2θ.

解：cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos2θ

＝＋－cos2θ

＝1＋[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－cos2θ.

＝1＋(cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°)－cos2θ

＝1＋×2cos2θcos30°－cos2θ

＝1＋cos2θ－cos2θ＝1.

类型四　　三角恒等式的证明

 [例4]　已知tan(α＋β)＝3tanα，

求证：2sin2β－sin2α＝sin(2α＋2β)．

[分析]　先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答．

[证明]　tan(α＋β)＝3tanα，

可变为sin(α＋β)·cosα＝3sinα·cos(α＋β)

⇒sin(α＋β)·cosα－sinα·cos(α＋β)＝2sinα·cos(α＋β)

⇒sin[(α＋β)－α]＝2sinα·(cosαcosβ－sinαsinβ)

⇒sinβ＝2sinα·cosα·cosβ－2sin2α·sinβ

⇒(1＋2sin2α)·sinβ＝sin2α·cosβ.

两边同乘以2cosβ(∵cosβ≠0，否则由1＋2sin2α≠0得sinβ＝0，矛盾)，

得(1＋2sin2α)·sin2β＝sin2α·2cos2β

⇒sin2β＋(1－cos2α)·sin2β＝sin2α·(1＋cos2β)

⇒2sin2β－sin2α＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝sin(2α＋2β)．

∴命题成立．

证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异角、函数、运算的差异，从解决某一差异入手同时消除其他差异，决定从该等式的哪边证明也可两边同时化简，当差异不易消除时，可采用转换命题法或用分析法等方法作进一步的化简.

变式训练4]　求证：tan2x＋＝.

证明：左边＝tan2x＋

＝＋＝

＝＝

＝＝＝右边．

所以tan2x＋＝.

类型五　三角公式的综合应用

 [例5]　已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋2cos2x，x∈R.求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．

[分析]　形如y＝Asin2x＋Bsinxcosx＋Ccos2x的函数求周期性、单调性、最值等，可逆用倍角公式，化为一个一次式，从而使问题解决．

[解]　f(x)＝－(1－2sin2x)＋×(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＋＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋.

∴f(x)的最小正周期T＝＝π.

由题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.

本题是逆用二倍角公式，将已知函数化简成

从而使问题得以解决.在求形如y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x＋d函数的最值，应先降幂，再利用公式化成和角或差角的三角函数来求.

[变式训练5]　已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在区间上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx，

所以f(x)＝sinωxcosωx＋＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin＋.

由于ω>0依题意得＝π，所以ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝sin＋，

所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.

当0≤x≤时，≤4x＋≤，

所以≤sin≤1.

因此1≤g(x)≤.

故g(x)在区间上的最小值为1.

1．cos＝，则cos(π－2α)＝(　C　)

A．－   B.

C．－   D.

解析：cos(π－2α)＝2cos2－1＝2×2－1＝－.

2．设α为钝角，且3sin2α＝cosα，则sinα等于(　B　)

A．－   B.

C.   D.

解析：∵α为钝角，∴sinα>0，cosα<0.由3sin2α＝cosα，可得6sinαcosα＝cosα，∴sinα＝.

3．已知sin2α＝，则tanα＋等于(　D　)

A．1　　　　B．2  C．4　　　　D．3

解析：tanα＋＝＋＝＝3.故选D.

4．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tan2α＝.

解析：∵a∥b，∴＝＝tanα.

∴tan2α＝＝＝.