数学必修 第三册8.2.3 倍角公式优秀导学案及答案

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二倍角公式


S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α .


C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α .


T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α) .


思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？


[提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍角等．





1.sin 15°sin 75°的值为( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),4)


B [原式＝sin 15°cs 15°＝eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(1,4).]


2.计算1－2sin222.5°的结果为( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)


C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(3),2)


B [1－2sin222.5°＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).]


3.已知cs α＝eq \f(1,3)，则cs 2α等于________．


－eq \f(7,9) [由cs α＝eq \f(1,3)，得cs 2α＝2cs2α－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(2)－1＝－eq \f(7,9).]





【例1】 化简求值．


(1)cs4 eq \f(α,2)－sin4 eq \f(α,2)；(2)sin eq \f(π,24)·cs eq \f(π,24)·cs eq \f(π,12)；


(3)1－2sin2 750°；(4)tan 150°＋eq \f(1－3tan2 150°,2tan 150°).


[思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得．


[解](1)cs4 eq \f(α,2)－sin4 eq \f(α,2)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)－sin2 \f(α,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)＋sin2 \f(α,2)))


＝cs α.


(2)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,24)cs \f(π,24)))cseq \f(π,12)


＝eq \f(1,2)sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,12)cs \f(π,12)))


＝eq \f(1,4)sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,8)，


∴原式＝eq \f(1,8).


(3)原式＝cs(2×750°)＝cs 1 500°


＝cs(4×360°＋60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，


∴原式＝eq \f(1,2).


(4)原式＝eq \f(2tan2150°＋1－3tan2 150°,2tan 150°)


＝eq \f(1－tan2 150°,2tan 150°)＝eq \f(1,tan2×150°)


＝eq \f(1,tan 300°)＝eq \f(1,tan360°－60°)


＝－eq \f(1,tan 60°)＝－eq \f(\r(3),3)，


∴原式＝－eq \f(\r(3),3).





二倍角公式的灵活运用：


(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：


2sin αcs α＝sin 2α，sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，


cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α)，cs2 α－sin2 α＝cs 2α，eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝tan 2α.


(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：


1±sin 2α＝sin2 α＋cs2 α±2sin αcs α＝(sin α±cs α)2，1＋cs 2α＝2cs2 α，cs2 α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2 α＝eq \f(1－cs 2α,2).








1.求下列各式的值：


(1)sin eq \f(π,8)cs eq \f(π,8)；


(2)2sin2eq \f(π,12)＋1；


(3)cs 20°cs 40°cs 80°.


[解](1)原式＝eq \f(2sin \f(π,8)cs \f(π,8),2)＝eq \f(sin \f(π,4),2)＝eq \f(\r(2),4).


(2)原式＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2sin2\f(π,12)))＋2＝2－cs eq \f(π,6)＝eq \f(4－\r(3),2).


(3)原式＝eq \f(2sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,2sin 20°)


＝eq \f(2sin 40°·cs 40°·cs 80°,4sin 20°)


＝eq \f(2sin 80°·cs 80°,8sin 20°)＝eq \f(sin 160°,8sin 20°)＝eq \f(1,8).


【例2】(1)已知sin α＝3cs α，那么tan 2α的值为( )


A．2 B．－2 C．eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)


(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))的值等于( )


A．eq \f(7,9) B．eq \f(1,3)


C．－eq \f(7,9)D．－eq \f(1,3)


(3)已知cs α＝－eq \f(3,4)，sin β＝eq \f(2,3)，α是第三象限角，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).


①求sin 2α的值；②求cs(2α＋β)的值．


[思路探究](1)可先求tan α，再求tan 2α；


(2)可利用eq \f(2,3)π－2α＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))求值；


(3)可先求sin 2α，cs 2α，cs β，再利用两角和的余弦公式求cs(2α＋β)．


(1)D(2)C [(1)因为sin α＝3cs α，


所以tan α＝3，


所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4).


(2)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(2)－1＝－eq \f(7,9).]


(3)[解] ①因为α是第三象限角，cs α＝－eq \f(3,4)，


所以sin α＝－eq \r(1－cs2 α)＝－eq \f(\r(7),4)，


所以sin 2α＝2sin αcs α


＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝eq \f(3\r(7),8).


②因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin β＝eq \f(2,3)，


所以cs β＝－eq \r(1－sin2 β)＝－eq \f(\r(5),3)，


cs 2α＝2cs2 α－1＝2×eq \f(9,16)－1＝eq \f(1,8)，


所以cs(2α＋β)＝cs 2αcs β－sin 2αsin β＝eq \f(1,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),3)))－eq \f(3\r(7),8)×eq \f(2,3)＝－eq \f(\r(5)＋6\r(7),24).





直接应用二倍角公式求值的三种类型：


(1)sin α(或cs α)eq \(―――――――――→,\s\up8(同角三角函数的关系))cs α(或sin α)eq \(――――→,\s\up8(二倍角公式))sin 2α(或cs 2α)．


(2)sin α(或cs α)eq \(――――→,\s\up8(二倍角公式))cs 2α＝1－2sin2 α(或2cs2 α－1)．


(3)sin α(或cs α)eq \(――――――→,\s\up8(同角三角函数的关系))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α或sin α，,tan α\(――――→,\s\up8(二倍角公式))tan 2α.))








2.(1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin 2α＝______，cs 2α＝________，tan 2α＝________.


(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,6)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求tan 4α的值．


(1)－eq \f(4,5) eq \f(3,5) －eq \f(4,3) [因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，所以cs α＝－eq \f(2\r(5),5)，所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，cs 2α＝1－2sin2 α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,5)，tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝－eq \f(4,3).]


(2)[解] 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，


则已知条件可化为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,6)，


即eq \f(1,2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝eq \f(1,6)，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))＝eq \f(1,3)，


所以cs 2α＝eq \f(1,3).因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以2α∈(π，2π)，


从而sin 2α＝－eq \r(1－cs22α)＝－eq \f(2\r(2),3)，


所以tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝－2eq \r(2)，


故tan 4α＝eq \f(2tan 2α,1－tan22α)＝－eq \f(4\r(2),1－－2\r(2)2)＝eq \f(4\r(2),7).


【例3】 求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan \f(α,2))－tan \f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α.


[思路探究] 可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边．


[证明] 法一：左边＝eq \f(cs2α,\f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))－\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cs \f(α,2)))


＝eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs α)


＝sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)cs α＝eq \f(1,2)sin αcs α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边．


∴原式成立．


法二：左边＝eq \f(cs2αtan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝


eq \f(1,2)cs2α·tan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边．


∴原式成立．





证明问题的原则及一般步骤：


(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．


(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．








3.求证：cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B．


[解] 左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)


＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)


＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)＝cs 2Acs 2B＝右边，∴等式成立.


[探究问题]


1.在化简eq \f(1＋sin α－cs α,1＋sin α＋cs α)＋eq \f(1＋cs α＋sin α,1－cs α＋sin α)时，如何灵活使用倍角公式？


[提示] 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成eq \f(α,2)的倍角，可能会有另一种思路，


原式＝eq \f(2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))),2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))))＋eq \f(2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))),2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))))


＝eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))＋eq \f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))＝eq \f(1,sin \f(α,2)cs \f(α,2))＝eq \f(2,sin α).


2.如何求函数f(x)＝2cs2x－1－2eq \r(3)sin xcs x(x∈R)的最小正周期？


[提示] 求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)＝(2cs2x－1)－eq \r(3)(2sin xcs x)＝cs 2x－eq \r(3)sin 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))，知其最小正周期为π.


【例4】 求函数f(x)＝5eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)sin2x－4sin xcs x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,24)))的最小值，并求其单调减区间．


[思路探究] eq \x(化简fx的解析式)→eq \x(fx＝Asinωx＋φ＋B)


→eq \x(ωx＋φ的范围)→eq \x(求最小值，单调减区间)


[解] f(x)＝5eq \r(3)·eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \r(3)·eq \f(1－cs 2x,2)－2sin 2x


＝3eq \r(3)＋2eq \r(3)cs 2x－2sin 2x


＝3eq \r(3)＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x－\f(1,2)sin 2x))


＝3eq \r(3)＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)cs 2x－cs \f(π,3)sin 2x))


＝3eq \r(3)＋4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝3eq \r(3)－4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，


∵eq \f(π,4)≤x≤eq \f(7π,24)，∴eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,4)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，


所以当2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，即x＝eq \f(7π,24)时，


f(x)取最小值为3eq \r(3)－2eq \r(2).


因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,24)))上单调递增，


所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,24)))上单调递减．





本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝Asinωx＋φ的形式，再利用函数图像解决问题.








4．求函数y＝sin4x＋2eq \r(3)sin xcs x－cs4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．


[解] y＝sin4x＋2eq \r(3)sin xcs x－cs4x


＝(sin2x＋cs2x)(sin2x－cs2x)＋2eq \r(3)sin xcs x


＝－cs 2x＋eq \r(3)sin 2x


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2x－\f(1,2)cs 2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，


所以T＝eq \f(2π,2)＝π，ymin＝－2.


由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，


得kπ＋eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，


又x∈[0，π]，


所以令k＝0，


得函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))).





1.对于“二倍角”应该有广义上的理解


如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2α,2n＋1)(n∈N*)．


2.二倍角的余弦公式的运用


在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：


①1＋cs 2α＝2cs2 α；②cs2 α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；③1－cs 2α＝2sin2 α；④sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).





1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝( )


A．eq \f(1,5) B．eq \f(\r(5),5)


C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(5),5)


B [由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin α·cs α＝2cs2α.


∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2sin α＝cs α.又∵sin2 α＋cs2 α＝1，


∴sin2 α＝eq \f(1,5).又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin α＝eq \f(\r(5),5).


故选B．]


2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)－sin \f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)＋sin \f(π,12)))的值为( )


A．－eq \f(\r(3),2)B．－eq \f(1,2)


C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)


D [原式＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).]


3.已知tan α＝－eq \f(1,3)，则eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝________.


－eq \f(5,6) [eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,1＋2cs2α－1)


＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,2cs2α)＝tan α－eq \f(1,2)＝－eq \f(5,6).]


4．求下列各式的值：


(1)cs eq \f(π,5)cs eq \f(2π,5)；


(2)eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8).


[解](1)原式＝eq \f(2sin \f(π,5)cs \f(π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))


＝eq \f(sin \f(2π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))＝eq \f(sin \f(4π,5),4sin \f(π,5))＝eq \f(sin \f(π,5),4sin \f(π,5))＝eq \f(1,4).


(2)原式＝eq \f(1－2cs2\f(π,8),2)＝－eq \f(2cs2\f(π,8)－1,2)＝－eq \f(1,2)cs eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),4).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．(重点)


2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换．(重点、难点)
1.通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．


2.借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.
利用二倍角公式化简求值
利用二倍角公式解决条件求值问题
利用二倍角公式证明
倍角公式的灵活运用