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    (新)人教B版(2019)必修第三册学案:第8章 8.2 8.2.3 倍角公式(含解析)
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    数学必修 第三册8.2.3 倍角公式优秀导学案及答案

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    这是一份数学必修 第三册8.2.3 倍角公式优秀导学案及答案,共11页。







    二倍角公式


    S2α:sin 2α=2sin_αcs_α .


    C2α:cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α .


    T2α:tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α) .


    思考:你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的?


    [提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如2α是α的二倍角,8α是4α的二倍角,eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍角等.





    1.sin 15°sin 75°的值为( )


    A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),4)


    B [原式=sin 15°cs 15°=eq \f(1,2)sin 30°=eq \f(1,4).]


    2.计算1-2sin222.5°的结果为( )


    A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)


    C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)


    B [1-2sin222.5°=cs 45°=eq \f(\r(2),2).]


    3.已知cs α=eq \f(1,3),则cs 2α等于________.


    -eq \f(7,9) [由cs α=eq \f(1,3),得cs 2α=2cs2α-1=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(2)-1=-eq \f(7,9).]





    【例1】 化简求值.


    (1)cs4 eq \f(α,2)-sin4 eq \f(α,2);(2)sin eq \f(π,24)·cs eq \f(π,24)·cs eq \f(π,12);


    (3)1-2sin2 750°;(4)tan 150°+eq \f(1-3tan2 150°,2tan 150°).


    [思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项,然后求得.


    [解](1)cs4 eq \f(α,2)-sin4 eq \f(α,2)


    =eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)-sin2 \f(α,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)+sin2 \f(α,2)))


    =cs α.


    (2)原式=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,24)cs \f(π,24)))cseq \f(π,12)


    =eq \f(1,2)sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,12)cs \f(π,12)))


    =eq \f(1,4)sin eq \f(π,6)=eq \f(1,8),


    ∴原式=eq \f(1,8).


    (3)原式=cs(2×750°)=cs 1 500°


    =cs(4×360°+60°)=cs 60°=eq \f(1,2),


    ∴原式=eq \f(1,2).


    (4)原式=eq \f(2tan2150°+1-3tan2 150°,2tan 150°)


    =eq \f(1-tan2 150°,2tan 150°)=eq \f(1,tan2×150°)


    =eq \f(1,tan 300°)=eq \f(1,tan360°-60°)


    =-eq \f(1,tan 60°)=-eq \f(\r(3),3),


    ∴原式=-eq \f(\r(3),3).





    二倍角公式的灵活运用:


    (1)公式的逆用:逆用公式,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有:


    2sin αcs α=sin 2α,sin αcs α=eq \f(1,2)sin 2α,


    cs α=eq \f(sin 2α,2sin α),cs2 α-sin2 α=cs 2α,eq \f(2tan α,1-tan2 α)=tan 2α.


    (2)公式的变形:公式间有着密切的联系,这就要求思考时要融会贯通,有目的地活用公式.主要形式有:


    1±sin 2α=sin2 α+cs2 α±2sin αcs α=(sin α±cs α)2,1+cs 2α=2cs2 α,cs2 α=eq \f(1+cs 2α,2),sin2 α=eq \f(1-cs 2α,2).








    1.求下列各式的值:


    (1)sin eq \f(π,8)cs eq \f(π,8);


    (2)2sin2eq \f(π,12)+1;


    (3)cs 20°cs 40°cs 80°.


    [解](1)原式=eq \f(2sin \f(π,8)cs \f(π,8),2)=eq \f(sin \f(π,4),2)=eq \f(\r(2),4).


    (2)原式=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-2sin2\f(π,12)))+2=2-cs eq \f(π,6)=eq \f(4-\r(3),2).


    (3)原式=eq \f(2sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,2sin 20°)


    =eq \f(2sin 40°·cs 40°·cs 80°,4sin 20°)


    =eq \f(2sin 80°·cs 80°,8sin 20°)=eq \f(sin 160°,8sin 20°)=eq \f(1,8).


    【例2】(1)已知sin α=3cs α,那么tan 2α的值为( )


    A.2 B.-2 C.eq \f(3,4) D.-eq \f(3,4)


    (2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+α))=eq \f(1,3),则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-2α))的值等于( )


    A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,3)


    C.-eq \f(7,9)D.-eq \f(1,3)


    (3)已知cs α=-eq \f(3,4),sin β=eq \f(2,3),α是第三象限角,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)).


    ①求sin 2α的值;②求cs(2α+β)的值.


    [思路探究](1)可先求tan α,再求tan 2α;


    (2)可利用eq \f(2,3)π-2α=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))求值;


    (3)可先求sin 2α,cs 2α,cs β,再利用两角和的余弦公式求cs(2α+β).


    (1)D(2)C [(1)因为sin α=3cs α,


    所以tan α=3,


    所以tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2 α)=eq \f(2×3,1-32)=-eq \f(3,4).


    (2)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+α))=eq \f(1,3),


    所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-2α))=2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))-1=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(2)-1=-eq \f(7,9).]


    (3)[解] ①因为α是第三象限角,cs α=-eq \f(3,4),


    所以sin α=-eq \r(1-cs2 α)=-eq \f(\r(7),4),


    所以sin 2α=2sin αcs α


    =2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(7),4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,4)))=eq \f(3\r(7),8).


    ②因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),sin β=eq \f(2,3),


    所以cs β=-eq \r(1-sin2 β)=-eq \f(\r(5),3),


    cs 2α=2cs2 α-1=2×eq \f(9,16)-1=eq \f(1,8),


    所以cs(2α+β)=cs 2αcs β-sin 2αsin β=eq \f(1,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(5),3)))-eq \f(3\r(7),8)×eq \f(2,3)=-eq \f(\r(5)+6\r(7),24).





    直接应用二倍角公式求值的三种类型:


    (1)sin α(或cs α)eq \(―――――――――→,\s\up8(同角三角函数的关系))cs α(或sin α)eq \(――――→,\s\up8(二倍角公式))sin 2α(或cs 2α).


    (2)sin α(或cs α)eq \(――――→,\s\up8(二倍角公式))cs 2α=1-2sin2 α(或2cs2 α-1).


    (3)sin α(或cs α)eq \(――――――→,\s\up8(同角三角函数的关系))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α或sin α,,tan α\(――――→,\s\up8(二倍角公式))tan 2α.))








    2.(1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),sin α=eq \f(\r(5),5),则sin 2α=______,cs 2α=________,tan 2α=________.


    (2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=eq \f(1,6),且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),求tan 4α的值.


    (1)-eq \f(4,5) eq \f(3,5) -eq \f(4,3) [因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),sin α=eq \f(\r(5),5),所以cs α=-eq \f(2\r(5),5),所以sin 2α=2sin αcs α=2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2\r(5),5)))=-eq \f(4,5),cs 2α=1-2sin2 α=1-2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)=eq \f(3,5),tan 2α=eq \f(sin 2α,cs 2α)=-eq \f(4,3).]


    (2)[解] 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α)),


    则已知条件可化为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))=eq \f(1,6),


    即eq \f(1,2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))))=eq \f(1,6),


    所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+2α))=eq \f(1,3),


    所以cs 2α=eq \f(1,3).因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),所以2α∈(π,2π),


    从而sin 2α=-eq \r(1-cs22α)=-eq \f(2\r(2),3),


    所以tan 2α=eq \f(sin 2α,cs 2α)=-2eq \r(2),


    故tan 4α=eq \f(2tan 2α,1-tan22α)=-eq \f(4\r(2),1--2\r(2)2)=eq \f(4\r(2),7).


    【例3】 求证:eq \f(cs2α,\f(1,tan \f(α,2))-tan \f(α,2))=eq \f(1,4)sin 2α.


    [思路探究] 可先化简左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边.


    [证明] 法一:左边=eq \f(cs2α,\f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))-\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))=eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)-sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cs \f(α,2)))


    =eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)-sin2\f(α,2))=eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs α)


    =sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)cs α=eq \f(1,2)sin αcs α=eq \f(1,4)sin 2α=右边.


    ∴原式成立.


    法二:左边=eq \f(cs2αtan \f(α,2),1-tan2\f(α,2))=eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan \f(α,2),1-tan2\f(α,2))=


    eq \f(1,2)cs2α·tan α=eq \f(1,2)cs αsin α=eq \f(1,4)sin 2α=右边.


    ∴原式成立.





    证明问题的原则及一般步骤:


    (1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.


    (2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.








    3.求证:cs2(A+B)-sin2(A-B)=cs 2Acs 2B.


    [解] 左边=eq \f(1+cs2A+2B,2)-eq \f(1-cs2A-2B,2)


    =eq \f(cs2A+2B+cs2A-2B,2)


    =eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B-sin 2Asin 2B+cs 2Acs 2B+sin 2Asin 2B)=cs 2Acs 2B=右边,∴等式成立.


    [探究问题]


    1.在化简eq \f(1+sin α-cs α,1+sin α+cs α)+eq \f(1+cs α+sin α,1-cs α+sin α)时,如何灵活使用倍角公式?


    [提示] 在化简时,如果只是从α的关系去整理,化简可能感觉无从下手,但如果将α看成eq \f(α,2)的倍角,可能会有另一种思路,


    原式=eq \f(2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)+sin \f(α,2))),2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)+sin \f(α,2))))+eq \f(2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)+sin \f(α,2))),2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)+cs \f(α,2))))


    =eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))+eq \f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))=eq \f(1,sin \f(α,2)cs \f(α,2))=eq \f(2,sin α).


    2.如何求函数f(x)=2cs2x-1-2eq \r(3)sin xcs x(x∈R)的最小正周期?


    [提示] 求函数f(x)的最小正周期,可由f(x)=(2cs2x-1)-eq \r(3)(2sin xcs x)=cs 2x-eq \r(3)sin 2x=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-2x)),知其最小正周期为π.


    【例4】 求函数f(x)=5eq \r(3)cs2x+eq \r(3)sin2x-4sin xcs x,x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(7π,24)))的最小值,并求其单调减区间.


    [思路探究] eq \x(化简fx的解析式)→eq \x(fx=Asinωx+φ+B)


    →eq \x(ωx+φ的范围)→eq \x(求最小值,单调减区间)


    [解] f(x)=5eq \r(3)·eq \f(1+cs 2x,2)+eq \r(3)·eq \f(1-cs 2x,2)-2sin 2x


    =3eq \r(3)+2eq \r(3)cs 2x-2sin 2x


    =3eq \r(3)+4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x-\f(1,2)sin 2x))


    =3eq \r(3)+4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)cs 2x-cs \f(π,3)sin 2x))


    =3eq \r(3)+4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-2x))=3eq \r(3)-4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3))),


    ∵eq \f(π,4)≤x≤eq \f(7π,24),∴eq \f(π,6)≤2x-eq \f(π,3)≤eq \f(π,4),


    ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(\r(2),2))),


    所以当2x-eq \f(π,3)=eq \f(π,4),即x=eq \f(7π,24)时,


    f(x)取最小值为3eq \r(3)-2eq \r(2).


    因为y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(7π,24)))上单调递增,


    所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(7π,24)))上单调递减.





    本题考查二倍角公式,辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y=Asinωx+φ的形式,再利用函数图像解决问题.








    4.求函数y=sin4x+2eq \r(3)sin xcs x-cs4 x的最小正周期和最小值,并写出该函数在[0,π]上的单调递减区间.


    [解] y=sin4x+2eq \r(3)sin xcs x-cs4x


    =(sin2x+cs2x)(sin2x-cs2x)+2eq \r(3)sin xcs x


    =-cs 2x+eq \r(3)sin 2x


    =2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2x-\f(1,2)cs 2x))=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6))),


    所以T=eq \f(2π,2)=π,ymin=-2.


    由2kπ+eq \f(π,2)≤2x-eq \f(π,6)≤2kπ+eq \f(3π,2),k∈Z,


    得kπ+eq \f(π,3)≤x≤kπ+eq \f(5π,6),k∈Z,


    又x∈[0,π],


    所以令k=0,


    得函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(5π,6))).





    1.对于“二倍角”应该有广义上的理解


    如:8α是4α的二倍;4α是2α的二倍;eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍;eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍;eq \f(α,2n)=eq \f(2α,2n+1)(n∈N*).


    2.二倍角的余弦公式的运用


    在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广泛.常用形式:


    ①1+cs 2α=2cs2 α;②cs2 α=eq \f(1+cs 2α,2);③1-cs 2α=2sin2 α;④sin2α=eq \f(1-cs 2α,2).





    1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),2sin 2α=cs 2α+1,则sin α=( )


    A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)


    C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)


    B [由2sin 2α=cs 2α+1,得4sin α·cs α=2cs2α.


    ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴2sin α=cs α.又∵sin2 α+cs2 α=1,


    ∴sin2 α=eq \f(1,5).又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴sin α=eq \f(\r(5),5).


    故选B.]


    2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)-sin \f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)+sin \f(π,12)))的值为( )


    A.-eq \f(\r(3),2)B.-eq \f(1,2)


    C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)


    D [原式=cs2eq \f(π,12)-sin2eq \f(π,12)=cs eq \f(π,6)=eq \f(\r(3),2).]


    3.已知tan α=-eq \f(1,3),则eq \f(sin 2α-cs2α,1+cs 2α)=________.


    -eq \f(5,6) [eq \f(sin 2α-cs2α,1+cs 2α)=eq \f(2sin αcs α-cs2α,1+2cs2α-1)


    =eq \f(2sin αcs α-cs2α,2cs2α)=tan α-eq \f(1,2)=-eq \f(5,6).]


    4.求下列各式的值:


    (1)cs eq \f(π,5)cs eq \f(2π,5);


    (2)eq \f(1,2)-cs2eq \f(π,8).


    [解](1)原式=eq \f(2sin \f(π,5)cs \f(π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))


    =eq \f(sin \f(2π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))=eq \f(sin \f(4π,5),4sin \f(π,5))=eq \f(sin \f(π,5),4sin \f(π,5))=eq \f(1,4).


    (2)原式=eq \f(1-2cs2\f(π,8),2)=-eq \f(2cs2\f(π,8)-1,2)=-eq \f(1,2)cs eq \f(π,4)=-eq \f(\r(2),4).


    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.理解二倍角公式的推导过程,知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.(重点)


    2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)
    1.通过倍角公式的推导,培养学生的逻辑推理核心素养.


    2.借助倍角公式的应用,提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.
    利用二倍角公式化简求值
    利用二倍角公式解决条件求值问题
    利用二倍角公式证明
    倍角公式的灵活运用
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